Эпиморфизм

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм <math>m:A\to B</math>, такой что из всякого равенства <math>f\circ m=h\circ m</math> следует <math>f=h</math> (другими словами, на <math>m</math> можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение Z → Q — несюръективный эпиморфизм. Чтобы доказать, что он является эпиморфизмом, достаточно заметить, что любой гомоморфизм из Q определяется своими значениеми на целых числах (точнее, образом единицы). Аналогичным образом показывается, что естественный гомоморфизм из кольца в одну из его локализаций является эпиморфизмом.

Свойства

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм j : Y → X, такой что fj = id_Y, то легко проверить, что f — эпиморфизм, домножив на j справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция fg двух морфизмов — эпиморфизм, то f должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, f является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: f : X → Y — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение

<math>\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,Z) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,Z)\\

g &\mapsto& gf\end{matrix}</math> инъективно для всех Z.

См. также

• мономорфизм
• подобъект

Литература

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.

Отрывок, характеризующий Эпиморфизм

– Иди, что ли… Падай, эка… Чего стал? То то… Веселые, безобразные ругательства не замолкали.
– Вы чего? – вдруг послышался начальственный голос солдата, набежавшего на несущих.
– Господа тут; в избе сам анарал, а вы, черти, дьяволы, матершинники. Я вас! – крикнул фельдфебель и с размаху ударил в спину первого подвернувшегося солдата. – Разве тихо нельзя?
Солдаты замолкли. Солдат, которого ударил фельдфебель, стал, покряхтывая, обтирать лицо, которое он в кровь разодрал, наткнувшись на плетень.
– Вишь, черт, дерется как! Аж всю морду раскровянил, – сказал он робким шепотом, когда отошел фельдфебель.
– Али не любишь? – сказал смеющийся голос; и, умеряя звуки голосов, солдаты пошли дальше. Выбравшись за деревню, они опять заговорили так же громко, пересыпая разговор теми же бесцельными ругательствами.
В избе, мимо которой проходили солдаты, собралось высшее начальство, и за чаем шел оживленный разговор о прошедшем дне и предполагаемых маневрах будущего. Предполагалось сделать фланговый марш влево, отрезать вице короля и захватить его.
Когда солдаты притащили плетень, уже с разных сторон разгорались костры кухонь. Трещали дрова, таял снег, и черные тени солдат туда и сюда сновали по всему занятому, притоптанному в снегу, пространству.
Топоры, тесаки работали со всех сторон. Все делалось без всякого приказания. Тащились дрова про запас ночи, пригораживались шалашики начальству, варились котелки, справлялись ружья и амуниция.
Притащенный плетень осьмою ротой поставлен полукругом со стороны севера, подперт сошками, и перед ним разложен костер. Пробили зарю, сделали расчет, поужинали и разместились на ночь у костров – кто чиня обувь, кто куря трубку, кто, донага раздетый, выпаривая вшей.


Казалось бы, что в тех, почти невообразимо тяжелых условиях существования, в которых находились в то время русские солдаты, – без теплых сапог, без полушубков, без крыши над головой, в снегу при 18° мороза, без полного даже количества провианта, не всегда поспевавшего за армией, – казалось, солдаты должны бы были представлять самое печальное и унылое зрелище.