Эрми́това (или самосопряжённая) ма́трица — квадратная матрица, элементы которой являются комплексными числами, и которая, будучи транспонирована, равна комплексно сопряжённой: <math>A^T=\overline{A}</math>. То есть, для любого столбца <math>i</math> и строки <math>j</math> справедливо равенство
- <math>a_{i,\;j}=\overline{a_{j,\;i}},</math>
или
- <math>A=(\overline{A})^T=A^*=A^\dagger,</math>
где <math>{}^*</math> — эрмитово сопряжение
- <math>{}^\dagger</math> — оператор эрмитового сопряжения (обозначение в квантовой механике).
Например, матрица
- <math>\begin{bmatrix}5&2+i\\2-i&7\end{bmatrix}</math>
является эрмитовой.
Соответственно, антиэрмитовой матрицей называют квадратную матрицу, элементы которой удовлетворяют равенству <math>a_{i,\;j}=-\overline{a_{j,\;i}}</math>, или <math>A=-A^*</math>.
Основные свойства
Эрмитова матрица является нормальной.
Диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны.
Вещественная эрмитова матрица (то есть та, все элементы которой — вещественные числа) является симметричной:
Аналогично, чисто мнимая эрмитова матрица (с элементами без вещественных составляющих) является кососимметричной.
Определитель эрмитовой матрицы — вещественное число.
Сумма двух эрмитовых матриц является эрмитовой.
Обратная к эрмитовой матрица также эрмитова, если существует.
Произведение двух эрмитовых матриц является эрмитовым тогда и только тогда, когда они коммутируют друг с другом, то есть если <math>AB=BA</math>.
У эрмитовой матрицы все собственные значения вещественны, а собственные векторы могут быть собраны в ортонормированную систему.
Собственные вектора эрмитовой матрицы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Но если одному собственному значению отвечают два собственных вектора, то они не обязательно ортогональны между собой, но ортогональны всем другим собственным векторам, отвечающим другим собственным значениям.
Жорданова форма эрмитовой матрицы диагональна.
Дополнительные свойства
- Сумма любой квадратной матрицы <math>B</math> и её эрмитово сопряженной <math>B^*</math>, <math>(B+B^*)</math> является эрмитовой.
- Разность любой квадратной матрицы <math>B</math> и матрицы <math>B^*</math>, эрмитово сопряжённой ей, <math>(B-B^*)</math> является антиэрмитовой. То есть, <math>B-B^*=-(B-B^*)^*</math>.
- Любую квадратную матрицу C можно представить как сумму эрмитовой и антиэрмитовой матриц :
- <math>C=A+B</math>, причем эти слагаемые определяются однозначно: <math>A=(C+C^*)/2</math>, <math>B=(C-C^*)/2</math>. Их эрмитовость и антиэрмитовость следуют из двух предыдущих утверждений соответственно.
См. также
Напишите отзыв о статье "Эрмитова матрица"
Ссылки
- [www.mathpages.com/home/kmath306/kmath306.htm Hermitian Matrices] / Mathpages (англ.)
- [ir.nmu.org.ua/bitstream/handle/123456789/33496/4675dac7f328267a3f027a3e2712d798.pdf?sequence=1#page=77 2.9 Эрмитовы матрицы] / П.Ланкастер ТЕОРИЯ МАТРИЦ, Издательство" Наукa", Главная редакция физико-математической литературы, 1973, стр 75-79
Отрывок, характеризующий Эрмитова матрица
Прения продолжались долго, и чем дольше они продолжались, тем больше разгорались споры, доходившие до криков и личностей, и тем менее было возможно вывести какое нибудь общее заключение из всего сказанного. Князь Андрей, слушая этот разноязычный говор и эти предположения, планы и опровержения и крики, только удивлялся тому, что они все говорили. Те, давно и часто приходившие ему во время его военной деятельности, мысли, что нет и не может быть никакой военной науки и поэтому не может быть никакого так называемого военного гения, теперь получили для него совершенную очевидность истины. «Какая же могла быть теория и наука в деле, которого условия и обстоятельства неизвестны и не могут быть определены, в котором сила деятелей войны еще менее может быть определена? Никто не мог и не может знать, в каком будет положении наша и неприятельская армия через день, и никто не может знать, какая сила этого или того отряда. Иногда, когда нет труса впереди, который закричит: „Мы отрезаны! – и побежит, а есть веселый, смелый человек впереди, который крикнет: «Ура! – отряд в пять тысяч стоит тридцати тысяч, как под Шепграбеном, а иногда пятьдесят тысяч бегут перед восемью, как под Аустерлицем. Какая же может быть наука в таком деле, в котором, как во всяком практическом деле, ничто не может быть определено и все зависит от бесчисленных условий, значение которых определяется в одну минуту, про которую никто не знает, когда она наступит. Армфельд говорит, что наша армия отрезана, а Паулучи говорит, что мы поставили французскую армию между двух огней; Мишо говорит, что негодность Дрисского лагеря состоит в том, что река позади, а Пфуль говорит, что в этом его сила. Толь предлагает один план, Армфельд предлагает другой; и все хороши, и все дурны, и выгоды всякого положения могут быть очевидны только в тот момент, когда совершится событие. И отчего все говорят: гений военный? Разве гений тот человек, который вовремя успеет велеть подвезти сухари и идти тому направо, тому налево? Оттого только, что военные люди облечены блеском и властью и массы подлецов льстят власти, придавая ей несвойственные качества гения, их называют гениями. Напротив, лучшие генералы, которых я знал, – глупые или рассеянные люди. Лучший Багратион, – сам Наполеон признал это. А сам Бонапарте! Я помню самодовольное и ограниченное его лицо на Аустерлицком поле. Не только гения и каких нибудь качеств особенных не нужно хорошему полководцу, но, напротив, ему нужно отсутствие самых лучших высших, человеческих качеств – любви, поэзии, нежности, философского пытливого сомнения. Он должен быть ограничен, твердо уверен в том, что то, что он делает, очень важно (иначе у него недостанет терпения), и тогда только он будет храбрый полководец. Избави бог, коли он человек, полюбит кого нибудь, пожалеет, подумает о том, что справедливо и что нет. Понятно, что исстари еще для них подделали теорию гениев, потому что они – власть. Заслуга в успехе военного дела зависит не от них, а от того человека, который в рядах закричит: пропали, или закричит: ура! И только в этих рядах можно служить с уверенностью, что ты полезен!“
