Эрмитово-сопряжённая матрица

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транспони́рованная ма́трица — это матрица <math>A</math>^* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы <math>A</math> транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.

Определение и обозначения

Если исходная матрица <math>A</math> имеет размер <math>m \times n</math>, то эрмитово-сопряжённая к <math>A</math> матрица <math>A^*</math> будет иметь размер <math>n \times m,</math> а её <math>(i, j)</math>-й элемент будет равен:

<math>\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},</math>

где <math>\overline{z}</math> обозначает комплексно-сопряжённое число к <math>z</math> (сопряжённое число к <math>a + bi</math> есть <math>a - bi</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — вещественные числа).

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как <math>A^*</math> или <math>A^H</math> (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

• <math>A^{\dagger}</math> — в квантовой механике;
• <math>A^+</math> — но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
• <math>{\overline A}^\text{T}</math>.

Пример

Если

<math>A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}</math>

тогда

<math>A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.</math>

Связанные определения

Если матрица <math>A</math> состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

<math>A^* = A^T,</math> если <math>a_{ij} \in \mathbb{R}.</math>

Квадратная матрица <math>A</math> называется:

• эрмитовой, если <math>A^*= A</math>;
• антиэрмитовой или косоэрмитовой, если <math>A^* = -A</math>;
• нормальной, если <math>A^*A = AA^*</math>;
• унитарной, если <math>A^*A = AA^* = I</math>, где <math>I</math> — единичная матрица.

Свойства

• <math>(A + B)^* = A^* + B^*</math> для любых двух матриц <math>A</math> и <math>B</math> одинаковых размеров.
• <math>(cA)^* = \overline{c} A^*</math> для любого комплексного скаляра <math>c \in \mathbb{C}</math>.
• <math>(AB)^* = B^* A^*</math> для любых матриц <math>A</math> и <math>B</math>, таких, что определено их произведение <math>AB</math>. Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
• <math>(A^*)^* = A</math> для любой матрицы <math>A</math>.
• Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
• <math>A</math> обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица <math>A^*</math>. При этом:

  <math>(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*</math>

• <math>\langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle</math> для любой матрицы <math>A</math> размера <math>m \times n</math> и любых векторов <math>x \in \mathbb{C}^n</math> и <math>y \in \mathbb{C}^m</math>. Обозначение <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
• Матрицы <math>AA^*</math> и <math>A^*A</math> являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы <math>A</math> (необязательно квадратной). Если <math>A</math> квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

См. также

• Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html Conjugate Transpose] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Эрмитово-сопряжённая матрица

На другой день после приема в ложу, Пьер сидел дома, читая книгу и стараясь вникнуть в значение квадрата, изображавшего одной своей стороною Бога, другою нравственное, третьею физическое и четвертою смешанное. Изредка он отрывался от книги и квадрата и в воображении своем составлял себе новый план жизни. Вчера в ложе ему сказали, что до сведения государя дошел слух о дуэли, и что Пьеру благоразумнее бы было удалиться из Петербурга. Пьер предполагал ехать в свои южные имения и заняться там своими крестьянами. Он радостно обдумывал эту новую жизнь, когда неожиданно в комнату вошел князь Василий.
– Мой друг, что ты наделал в Москве? За что ты поссорился с Лёлей, mon сher? [дорогой мoй?] Ты в заблуждении, – сказал князь Василий, входя в комнату. – Я всё узнал, я могу тебе сказать верно, что Элен невинна перед тобой, как Христос перед жидами. – Пьер хотел отвечать, но он перебил его. – И зачем ты не обратился прямо и просто ко мне, как к другу? Я всё знаю, я всё понимаю, – сказал он, – ты вел себя, как прилично человеку, дорожащему своей честью; может быть слишком поспешно, но об этом мы не будем судить. Одно ты помни, в какое положение ты ставишь ее и меня в глазах всего общества и даже двора, – прибавил он, понизив голос. – Она живет в Москве, ты здесь. Помни, мой милый, – он потянул его вниз за руку, – здесь одно недоразуменье; ты сам, я думаю, чувствуешь. Напиши сейчас со мною письмо, и она приедет сюда, всё объяснится, а то я тебе скажу, ты очень легко можешь пострадать, мой милый.
Князь Василий внушительно взглянул на Пьера. – Мне из хороших источников известно, что вдовствующая императрица принимает живой интерес во всем этом деле. Ты знаешь, она очень милостива к Элен.
Несколько раз Пьер собирался говорить, но с одной стороны князь Василий не допускал его до этого, с другой стороны сам Пьер боялся начать говорить в том тоне решительного отказа и несогласия, в котором он твердо решился отвечать своему тестю. Кроме того слова масонского устава: «буди ласков и приветлив» вспоминались ему. Он морщился, краснел, вставал и опускался, работая над собою в самом трудном для него в жизни деле – сказать неприятное в глаза человеку, сказать не то, чего ожидал этот человек, кто бы он ни был. Он так привык повиноваться этому тону небрежной самоуверенности князя Василия, что и теперь он чувствовал, что не в силах будет противостоять ей; но он чувствовал, что от того, что он скажет сейчас, будет зависеть вся дальнейшая судьба его: пойдет ли он по старой, прежней дороге, или по той новой, которая так привлекательно была указана ему масонами, и на которой он твердо верил, что найдет возрождение к новой жизни.
– Ну, мой милый, – шутливо сказал князь Василий, – скажи же мне: «да», и я от себя напишу ей, и мы убьем жирного тельца. – Но князь Василий не успел договорить своей шутки, как Пьер с бешенством в лице, которое напоминало его отца, не глядя в глаза собеседнику, проговорил шопотом:
– Князь, я вас не звал к себе, идите, пожалуйста, идите! – Он вскочил и отворил ему дверь.
– Идите же, – повторил он, сам себе не веря и радуясь выражению смущенности и страха, показавшемуся на лице князя Василия.
– Что с тобой? Ты болен?
– Идите! – еще раз проговорил дрожащий голос. И князь Василий должен был уехать, не получив никакого объяснения.