Теорема теннисной ракетки

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Эффект Джанибекова»)
Перейти к: навигация, поиск

Теорема теннисной ракетки, или теорема промежуточной оси, является следствием законов классической механики, описывающих движение твердого тела с тремя различными главными моментами инерции. Это явление также называют эффектом Джанибекова, в честь российского космонавта Владимира Джанибекова, который заметил это явление, находясь в космосе в 1985 году.[1] Статья, объясняющая эффект, была опубликована в 1991 году.[2]

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта относительно его первой и третьей главных осей является стабильным, в то время как вращение вокруг его второй главной оси (или промежуточной оси) — нет.

Таким подтверждением может служить следующий эксперимент: возьмите за ручку теннисную ракетку и попытайтесь подбросить её в воздух так, чтобы она выполнила полный оборот вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной рукоятке, и поймайте за ручку. Почти во всех случаях ракетка выполнит пол-оборота вдоль продольной оси и будет смотреть на вас другой стороной. Если подбрасывать ракетку и закручивать её по другим осям, то ракетка сохранит свою ориентацию после полного оборота.

Эксперимент может быть выполнен с любым объектом, который имеет три различных момента инерции, например с книгой или пультом дистанционного управления. Эффект возникает, когда ось вращения немного отличается от второй главной (принципиальной) оси объекта; сопротивлением воздуха или гравитацией можно смело пренебречь.[3]





Математическое обоснование

Теорема теннисной ракетки может быть проанализирована с помощью уравнений Эйлера.

При свободном вращении они принимают следующую форму:

<math>

\begin{align} I_1\dot{\omega}_{1}&=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}\\ I_2\dot{\omega}_{2}&=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}\\ I_3\dot{\omega}_{3}&=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(3)} \end{align} </math> Здесь <math>I_1, I_2, I_3</math> обозначают главные моменты инерции, и мы предполагаем, что <math> I_1 > I_2 > I_3</math>. Угловые скорости трёх главных осей — <math>\omega_1, \omega_2, \omega_3</math>, их производные по времени — <math>\dot\omega_1, \dot\omega_2, \dot\omega_3</math>.

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции <math>I_1</math>. Для определения характера равновесия, предположим, что существуют две малые начальные угловые скорости вдоль других двух осей. В результате, согласно уравнению (1), <math>\dot{\omega}_{1}</math> очень мала. Следовательно, зависимостью от времени <math>\omega_1</math> можно пренебречь.

Теперь дифференцируем уравнение (2) и подставим <math>\dot{\omega}_3</math> из уравнения (3):

<math>

\begin{align} I_2 I_3 \ddot{\omega}_{2}&= (I_3-I_1) (I_1-I_2)(\omega_1)^2\omega_{2}\\ \end{align} </math> Обратим внимание, что <math>\omega_2</math> изменил знак, и поэтому вращение вокруг этой оси является стабильным для объекта.

Аналогичное рассуждение показывает, что вращение вокруг оси с моментом инерции <math>I_3</math> тоже стабильно.

Теперь применим эти рассуждения к оси с моментом инерции <math>I_2</math>. В этот раз <math>\dot{\omega}_{2}</math> очень мала. Следовательно, зависимостью от времени <math>\omega_2</math> можно пренебречь.

Теперь дифференцируем уравнение (1) и подставим <math>\dot{\omega}_3</math> из уравнения (3):

<math>

\begin{align} I_1 I_3 \ddot{\omega}_{1}&= (I_2-I_3) (I_1-I_2) (\omega_{2})^2\omega_1\\ \end{align} </math> Обратим внимание, что <math>\omega_1</math> не изменила знак (и, следовательно, будет расти) и поэтому вращение вокруг 2 оси является неустойчивым. Поэтому даже небольшие возмущения вдоль других осей заставляют объект "переворачиваться".

См. также

Напишите отзыв о статье "Теорема теннисной ракетки"

Ссылки

  1. [live.cnews.ru/forum/index.php?showtopic=71214 Эффект Джанибекова - Форумы CNews]. live.cnews.ru. Проверено 26 марта 2016.
  2. Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone and Richard H. Cushman (1991).
  3. Mark Levi (2014).

Напишите отзыв о статье "Теорема теннисной ракетки"

Ссылки

  • [www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw Видео эффекта Джанибекова] с Международной космической станции
  • [www.youtube.com/watch?v=fCaZlVDgaiI Еще одно видео демонстрации] эффекта в пространстве
  • [www.youtube.com/watch?v=4dqCQqI-Gis Замедленное видео], демонстрирующие вращение настольной теннисной ракетки

Отрывок, характеризующий Теорема теннисной ракетки

– Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей.
– Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника.
– Да это невозможно, – сказал князь Андрей, как будто про давно решенное дело.
Пьер с удивлением посмотрел на него.
– Однако, – сказал он, – ведь говорят же, что война подобна шахматной игре.
– Да, – сказал князь Андрей, – только с тою маленькою разницей, что в шахматах над каждым шагом ты можешь думать сколько угодно, что ты там вне условий времени, и еще с той разницей, что конь всегда сильнее пешки и две пешки всегда сильнее одной, a на войне один батальон иногда сильнее дивизии, а иногда слабее роты. Относительная сила войск никому не может быть известна. Поверь мне, – сказал он, – что ежели бы что зависело от распоряжений штабов, то я бы был там и делал бы распоряжения, а вместо того я имею честь служить здесь, в полку вот с этими господами, и считаю, что от нас действительно будет зависеть завтрашний день, а не от них… Успех никогда не зависел и не будет зависеть ни от позиции, ни от вооружения, ни даже от числа; а уж меньше всего от позиции.
– А от чего же?
– От того чувства, которое есть во мне, в нем, – он указал на Тимохина, – в каждом солдате.
Князь Андрей взглянул на Тимохина, который испуганно и недоумевая смотрел на своего командира. В противность своей прежней сдержанной молчаливости князь Андрей казался теперь взволнованным. Он, видимо, не мог удержаться от высказывания тех мыслей, которые неожиданно приходили ему.
– Сражение выиграет тот, кто твердо решил его выиграть. Отчего мы под Аустерлицем проиграли сражение? У нас потеря была почти равная с французами, но мы сказали себе очень рано, что мы проиграли сражение, – и проиграли. А сказали мы это потому, что нам там незачем было драться: поскорее хотелось уйти с поля сражения. «Проиграли – ну так бежать!» – мы и побежали. Ежели бы до вечера мы не говорили этого, бог знает что бы было. А завтра мы этого не скажем. Ты говоришь: наша позиция, левый фланг слаб, правый фланг растянут, – продолжал он, – все это вздор, ничего этого нет. А что нам предстоит завтра? Сто миллионов самых разнообразных случайностей, которые будут решаться мгновенно тем, что побежали или побегут они или наши, что убьют того, убьют другого; а то, что делается теперь, – все это забава. Дело в том, что те, с кем ты ездил по позиции, не только не содействуют общему ходу дел, но мешают ему. Они заняты только своими маленькими интересами.
– В такую минуту? – укоризненно сказал Пьер.
– В такую минуту, – повторил князь Андрей, – для них это только такая минута, в которую можно подкопаться под врага и получить лишний крестик или ленточку. Для меня на завтра вот что: стотысячное русское и стотысячное французское войска сошлись драться, и факт в том, что эти двести тысяч дерутся, и кто будет злей драться и себя меньше жалеть, тот победит. И хочешь, я тебе скажу, что, что бы там ни было, что бы ни путали там вверху, мы выиграем сражение завтра. Завтра, что бы там ни было, мы выиграем сражение!
– Вот, ваше сиятельство, правда, правда истинная, – проговорил Тимохин. – Что себя жалеть теперь! Солдаты в моем батальоне, поверите ли, не стали водку, пить: не такой день, говорят. – Все помолчали.
Офицеры поднялись. Князь Андрей вышел с ними за сарай, отдавая последние приказания адъютанту. Когда офицеры ушли, Пьер подошел к князю Андрею и только что хотел начать разговор, как по дороге недалеко от сарая застучали копыта трех лошадей, и, взглянув по этому направлению, князь Андрей узнал Вольцогена с Клаузевицем, сопутствуемых казаком. Они близко проехали, продолжая разговаривать, и Пьер с Андреем невольно услыхали следующие фразы:
– Der Krieg muss im Raum verlegt werden. Der Ansicht kann ich nicht genug Preis geben, [Война должна быть перенесена в пространство. Это воззрение я не могу достаточно восхвалить (нем.) ] – говорил один.