Яма с бесконечными стенками

Яма с бесконечными стенками, в квантовой механике, представляет собой модель частицы, заключённую в "ящике" определённой формы. В одномерном случае этот ящик представляет собой конечный отрезок. Внутри отрезка потенциал считается нулевым. Во всех остальных точках вещественной прямой потенциал обращается в бесконечность. Математически это обычно отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции обращаются в нуль на концах отрезка. Данный потенциал является предельным случаем прямоугольной квантовой ямы. В многомерном случае потенциал считается равным нулю внутри некоторой области, на границах которой ставятся граничные условия Дирихле. Часто рассматривают прямоугольную область (прямоугольный "ящик").

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

<math>U(x) = \begin{cases}

0, & x \in (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}),\\ \infty, & x \notin (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) \end{cases}</math> Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале <math>\left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)</math>

<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi(x)=E\Psi(x).</math>

С учётом обозначения <math>k = \sqrt{2 m E / \hbar^2}</math>, оно примет вид:

<math> \Psi(x) + k^2 \Psi(x) = 0.</math>

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

<math>\Psi(x) = C^+ \cos k x + C^- \sin k x.</math>

Граничные значения имеют вид:

<math>\Psi \left(-\frac{a}{2}\right) = \Psi \left(\frac{a}{2} \right) = 0.</math>

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

<math>\begin{cases}

C^+ \cos \frac{k a}{2} + C^- \sin \frac{k a}{2} = 0,\\ C^+ \cos \frac{k a}{2} - C^- \sin \frac{k a}{2} = 0, \end{cases}</math> которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

<math>

- 2\cos \frac{k a}{2}\sin \frac{k a}{2} = 0, </math> что после тригонометрических преобразований принимает вид:

<math>

\sin k a = 0. </math> Корни этого уравнения имеют вид

<math>

k_{n} = \frac{\pi n}{a}, \qquad n \in \mathbb{Z}_+. </math> Подставляя в систему, имеем:

<math>C^-_n = 0, \qquad n = 2 n_0 + 1, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

<math>C^+_n = 0, \qquad n = 2 n_0 , \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+.</math>

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

<math>\Psi_{n_0}^+(x) = C^+_{2 n_0 + 1} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

<math>\Psi_{n_0}^-(x) = C^-_{2 n_0} \sin \frac{2 n_0 \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+.</math>

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

<math> \int\limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \left(\Psi_{n_0}^{\pm}(x)\right)^2 dx = 1,</math>

получим явный вид нормировочных множителей:

<math> C^+_{2 n_0 + 1} = C^-_{2 n_0} =\sqrt{\frac{2}{a}}.</math>

В результате получим собственные функции гамильтониана:

<math>\Psi_{n_0}^+(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

<math>\Psi_{n_0}^-(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{2 n_0 \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+,</math>

с соответствующим энергетическим спектром:

<math>E^+_{n_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2 (2 n_0 + 1)^2}{2m a^2}</math>

<math>E^-_{n_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2 (2n_0)^2}{2m a^2}</math>

Литература

• Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

Отрывок, характеризующий Яма с бесконечными стенками

Французские орудия опять поспешно заряжали. Пехота в синих капотах бегом двинулась к мосту. Опять, но в разных промежутках, показались дымки, и защелкала и затрещала картечь по мосту. Но в этот раз Несвицкий не мог видеть того, что делалось на мосту. С моста поднялся густой дым. Гусары успели зажечь мост, и французские батареи стреляли по ним уже не для того, чтобы помешать, а для того, что орудия были наведены и было по ком стрелять.
– Французы успели сделать три картечные выстрела, прежде чем гусары вернулись к коноводам. Два залпа были сделаны неверно, и картечь всю перенесло, но зато последний выстрел попал в середину кучки гусар и повалил троих.
Ростов, озабоченный своими отношениями к Богданычу, остановился на мосту, не зная, что ему делать. Рубить (как он всегда воображал себе сражение) было некого, помогать в зажжении моста он тоже не мог, потому что не взял с собою, как другие солдаты, жгута соломы. Он стоял и оглядывался, как вдруг затрещало по мосту будто рассыпанные орехи, и один из гусар, ближе всех бывший от него, со стоном упал на перилы. Ростов побежал к нему вместе с другими. Опять закричал кто то: «Носилки!». Гусара подхватили четыре человека и стали поднимать.
– Оооо!… Бросьте, ради Христа, – закричал раненый; но его всё таки подняли и положили.
Николай Ростов отвернулся и, как будто отыскивая чего то, стал смотреть на даль, на воду Дуная, на небо, на солнце. Как хорошо показалось небо, как голубо, спокойно и глубоко! Как ярко и торжественно опускающееся солнце! Как ласково глянцовито блестела вода в далеком Дунае! И еще лучше были далекие, голубеющие за Дунаем горы, монастырь, таинственные ущелья, залитые до макуш туманом сосновые леса… там тихо, счастливо… «Ничего, ничего бы я не желал, ничего бы не желал, ежели бы я только был там, – думал Ростов. – Во мне одном и в этом солнце так много счастия, а тут… стоны, страдания, страх и эта неясность, эта поспешность… Вот опять кричат что то, и опять все побежали куда то назад, и я бегу с ними, и вот она, вот она, смерть, надо мной, вокруг меня… Мгновенье – и я никогда уже не увижу этого солнца, этой воды, этого ущелья»…
В эту минуту солнце стало скрываться за тучами; впереди Ростова показались другие носилки. И страх смерти и носилок, и любовь к солнцу и жизни – всё слилось в одно болезненно тревожное впечатление.
«Господи Боже! Тот, Кто там в этом небе, спаси, прости и защити меня!» прошептал про себя Ростов.
Гусары подбежали к коноводам, голоса стали громче и спокойнее, носилки скрылись из глаз.
– Что, бг'ат, понюхал пог'оху?… – прокричал ему над ухом голос Васьки Денисова.
«Всё кончилось; но я трус, да, я трус», подумал Ростов и, тяжело вздыхая, взял из рук коновода своего отставившего ногу Грачика и стал садиться.
– Что это было, картечь? – спросил он у Денисова.
– Да еще какая! – прокричал Денисов. – Молодцами г'аботали! А г'абота сквег'ная! Атака – любезное дело, г'убай в песи, а тут, чог'т знает что, бьют как в мишень.
И Денисов отъехал к остановившейся недалеко от Ростова группе: полкового командира, Несвицкого, Жеркова и свитского офицера.