Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

В геометрии японская теорема утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.

Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.

В частности, пусть □ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть M₁, M₂, M₃, M₄ — центры вписанных в треугольники △ABD, △ABC, △BCD, △ACD окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами M₁, M₂, M₃, M₄, является прямоугольником.

Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках. Для доказательства случая четырёхугольника просто строим параллелограмм, проходящий через вершины четырёхугольника (центры окружностей), со сторонами, параллельными диагоналям вписанного четырёхугольника. Из построения следует, что получится ромб, что следует из утверждения, что суммы радиусов вписанных окружностей, касающихся диагоналей, равны (а это следует из равенства сумм площадей пар треугольников).

Из случая четырёхугольника немедленно вытекает доказательство для общего вписанного многоугольника (по индукции по числу треугольников в разбиении многоугольника).

См. также

• Формула Карно
• Сангаку
• Васан

Литература

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: [wayback.archive.org/web/20070208105128/www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/2006.2/mangho999.ps In Search of the Japanese Theorem] (postscript file)
• [www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml#explanation Theorem] at Cut-the-Knot
• Wataru Uegaki: [hdl.handle.net/10076/4917 "Japanese Theoremの起源と歴史"] (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
• Wilfred Reyes: [forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200223.pdf An Application of Thebault’s Theorem]. Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185

Ссылки

• [www.gogeometry.com/sangaku2.html Japanese theorem, interactive proof with animation]

Отрывок, характеризующий Японская теорема о вписанном четырёхугольнике

– Помощь дается токмо от Бога, – сказал он, – но ту меру помощи, которую во власти подать наш орден, он подаст вам, государь мой. Вы едете в Петербург, передайте это графу Вилларскому (он достал бумажник и на сложенном вчетверо большом листе бумаги написал несколько слов). Один совет позвольте подать вам. Приехав в столицу, посвятите первое время уединению, обсуждению самого себя, и не вступайте на прежние пути жизни. Затем желаю вам счастливого пути, государь мой, – сказал он, заметив, что слуга его вошел в комнату, – и успеха…
Проезжающий был Осип Алексеевич Баздеев, как узнал Пьер по книге смотрителя. Баздеев был одним из известнейших масонов и мартинистов еще Новиковского времени. Долго после его отъезда Пьер, не ложась спать и не спрашивая лошадей, ходил по станционной комнате, обдумывая свое порочное прошедшее и с восторгом обновления представляя себе свое блаженное, безупречное и добродетельное будущее, которое казалось ему так легко. Он был, как ему казалось, порочным только потому, что он как то случайно запамятовал, как хорошо быть добродетельным. В душе его не оставалось ни следа прежних сомнений. Он твердо верил в возможность братства людей, соединенных с целью поддерживать друг друга на пути добродетели, и таким представлялось ему масонство.


Приехав в Петербург, Пьер никого не известил о своем приезде, никуда не выезжал, и стал целые дни проводить за чтением Фомы Кемпийского, книги, которая неизвестно кем была доставлена ему. Одно и всё одно понимал Пьер, читая эту книгу; он понимал неизведанное еще им наслаждение верить в возможность достижения совершенства и в возможность братской и деятельной любви между людьми, открытую ему Осипом Алексеевичем. Через неделю после его приезда молодой польский граф Вилларский, которого Пьер поверхностно знал по петербургскому свету, вошел вечером в его комнату с тем официальным и торжественным видом, с которым входил к нему секундант Долохова и, затворив за собой дверь и убедившись, что в комнате никого кроме Пьера не было, обратился к нему:
– Я приехал к вам с поручением и предложением, граф, – сказал он ему, не садясь. – Особа, очень высоко поставленная в нашем братстве, ходатайствовала о том, чтобы вы были приняты в братство ранее срока, и предложила мне быть вашим поручителем. Я за священный долг почитаю исполнение воли этого лица. Желаете ли вы вступить за моим поручительством в братство свободных каменьщиков?