Пустое множество

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

<math>\in</math>-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Пустое множество играет исключительно важную роль в математике.

Обозначения пустого множества

Символы со сходным начертанием: Ø · ⌀

Обычно пустое множество обозначают как <math>\varnothing</math>, <math>\emptyset</math> или <math>\{\}</math>.

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: <math>0</math> и <math>\Lambda</math>.

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205, ∅).

Символы <math>\varnothing</math> и <math>\emptyset</math> введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ <math>\varnothing</math> идентичен букве Ø в датско-норвежском алфавите.

Свойства пустого множества

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, <math>\forall a \ (a \notin \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \notin \varnothing</math>.
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \subseteq a)</math> и, в частности, <math>\varnothing \subseteq \varnothing</math>.
• Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,<math>\forall a \ (\varnothing \cup a = a) </math> и, в частности, <math>\varnothing \cup \varnothing = \varnothing</math>.
• Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \cap \varnothing = \varnothing</math>.
• Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, <math>\forall a \ (a \setminus \varnothing = a) </math> и, в частности, <math>\varnothing \setminus \varnothing = \varnothing</math>.
• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \setminus \varnothing = \varnothing</math>.
• Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a)</math> и, в частности, <math>\varnothing \triangle \varnothing = \varnothing</math>
• Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, <math>\forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing)</math> и, в частности, <math>\varnothing \times \varnothing = \varnothing</math>.
• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, <math>\mathrm{Trans}(\varnothing)</math>, где <math>\mathrm{Trans}(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing)</math>.
• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, <math>\mathrm{Ord}(\varnothing)</math>, где <math>\mathrm{Ord}(\varnothing) \Leftrightarrow \mathrm{Trans}(\varnothing) \ \land \ \forall b \ (b \in \varnothing \to \mathrm{Trans}(b))</math>.
• Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, <math>|\varnothing| = 0</math>.
• Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, <math>\mu(\varnothing) = 0</math>

См. также

• Аксиома пустого множества
• Аксиоматика теории множеств

Отрывок, характеризующий Пустое множество

«Мое призвание другое, – думала про себя княжна Марья, мое призвание – быть счастливой другим счастием, счастием любви и самопожертвования. И что бы мне это ни стоило, я сделаю счастие бедной Ame. Она так страстно его любит. Она так страстно раскаивается. Я все сделаю, чтобы устроить ее брак с ним. Ежели он не богат, я дам ей средства, я попрошу отца, я попрошу Андрея. Я так буду счастлива, когда она будет его женою. Она так несчастлива, чужая, одинокая, без помощи! И Боже мой, как страстно она любит, ежели она так могла забыть себя. Может быть, и я сделала бы то же!…» думала княжна Марья.


Долго Ростовы не имели известий о Николушке; только в середине зимы графу было передано письмо, на адресе которого он узнал руку сына. Получив письмо, граф испуганно и поспешно, стараясь не быть замеченным, на цыпочках пробежал в свой кабинет, заперся и стал читать. Анна Михайловна, узнав (как она и всё знала, что делалось в доме) о получении письма, тихим шагом вошла к графу и застала его с письмом в руках рыдающим и вместе смеющимся. Анна Михайловна, несмотря на поправившиеся дела, продолжала жить у Ростовых.
– Mon bon ami? – вопросительно грустно и с готовностью всякого участия произнесла Анна Михайловна.
Граф зарыдал еще больше. «Николушка… письмо… ранен… бы… был… ma сhere… ранен… голубчик мой… графинюшка… в офицеры произведен… слава Богу… Графинюшке как сказать?…»
Анна Михайловна подсела к нему, отерла своим платком слезы с его глаз, с письма, закапанного ими, и свои слезы, прочла письмо, успокоила графа и решила, что до обеда и до чаю она приготовит графиню, а после чаю объявит всё, коли Бог ей поможет.
Всё время обеда Анна Михайловна говорила о слухах войны, о Николушке; спросила два раза, когда получено было последнее письмо от него, хотя знала это и прежде, и заметила, что очень легко, может быть, и нынче получится письмо. Всякий раз как при этих намеках графиня начинала беспокоиться и тревожно взглядывать то на графа, то на Анну Михайловну, Анна Михайловна самым незаметным образом сводила разговор на незначительные предметы. Наташа, из всего семейства более всех одаренная способностью чувствовать оттенки интонаций, взглядов и выражений лиц, с начала обеда насторожила уши и знала, что что нибудь есть между ее отцом и Анной Михайловной и что нибудь касающееся брата, и что Анна Михайловна приготавливает. Несмотря на всю свою смелость (Наташа знала, как чувствительна была ее мать ко всему, что касалось известий о Николушке), она не решилась за обедом сделать вопроса и от беспокойства за обедом ничего не ела и вертелась на стуле, не слушая замечаний своей гувернантки. После обеда она стремглав бросилась догонять Анну Михайловну и в диванной с разбега бросилась ей на шею.
– Тетенька, голубушка, скажите, что такое?
– Ничего, мой друг.
– Нет, душенька, голубчик, милая, персик, я не отстaнy, я знаю, что вы знаете.
Анна Михайловна покачала головой.
– Voua etes une fine mouche, mon enfant, [Ты вострушка, дитя мое.] – сказала она.
– От Николеньки письмо? Наверно! – вскрикнула Наташа, прочтя утвердительный ответ в лице Анны Михайловны.
– Но ради Бога, будь осторожнее: ты знаешь, как это может поразить твою maman.
– Буду, буду, но расскажите. Не расскажете? Ну, так я сейчас пойду скажу.
Анна Михайловна в коротких словах рассказала Наташе содержание письма с условием не говорить никому.
Честное, благородное слово, – крестясь, говорила Наташа, – никому не скажу, – и тотчас же побежала к Соне.
– Николенька…ранен…письмо… – проговорила она торжественно и радостно.
– Nicolas! – только выговорила Соня, мгновенно бледнея.
Наташа, увидав впечатление, произведенное на Соню известием о ране брата, в первый раз почувствовала всю горестную сторону этого известия.
Она бросилась к Соне, обняла ее и заплакала. – Немножко ранен, но произведен в офицеры; он теперь здоров, он сам пишет, – говорила она сквозь слезы.
– Вот видно, что все вы, женщины, – плаксы, – сказал Петя, решительными большими шагами прохаживаясь по комнате. – Я так очень рад и, право, очень рад, что брат так отличился. Все вы нюни! ничего не понимаете. – Наташа улыбнулась сквозь слезы.
– Ты не читала письма? – спрашивала Соня.
– Не читала, но она сказала, что всё прошло, и что он уже офицер…
– Слава Богу, – сказала Соня, крестясь. – Но, может быть, она обманула тебя. Пойдем к maman.
Петя молча ходил по комнате.
– Кабы я был на месте Николушки, я бы еще больше этих французов убил, – сказал он, – такие они мерзкие! Я бы их побил столько, что кучу из них сделали бы, – продолжал Петя.
– Молчи, Петя, какой ты дурак!…
– Не я дурак, а дуры те, кто от пустяков плачут, – сказал Петя.
– Ты его помнишь? – после минутного молчания вдруг спросила Наташа. Соня улыбнулась: «Помню ли Nicolas?»
– Нет, Соня, ты помнишь ли его так, чтоб хорошо помнить, чтобы всё помнить, – с старательным жестом сказала Наташа, видимо, желая придать своим словам самое серьезное значение. – И я помню Николеньку, я помню, – сказала она. – А Бориса не помню. Совсем не помню…
– Как? Не помнишь Бориса? – спросила Соня с удивлением.