0,(9)
0,(9) или 0,999… (<math style="position:relative;top:-.35em"> 0.\bar{9} , 0.\dot{9}</math>) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,
- <math>1=0{,}(9).</math>
У этого равенства существует несколько доказательств, основанных на теории пределов.
Содержание
Доказательства
Алгебраические
Деление столбиком
Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например <math>\frac{1}{3}</math> приводит к бесконечному 0,333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0,999… = 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0,333… эквивалентно 0,999…. И 3 × 1⁄3 эквивалентно 1, поэтому 0,999… = 1[1].
| <math>1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9);</math> | <math>1 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 9 \cdot 0{,}111\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9).</math> |
Манипуляции с цифрами
Когда число в десятичной записи умножается на 10, то цифры не меняются, но каждый разряд передвигается на одну цифру влево. Следовательно, 10 × 0,999… = 9,999…, что на 9 больше, чем исходное число. Чтобы это увидеть, отнимем 0,999… от 9,999…, каждая цифра после запятой исчезает, так как 9 — 9 = 0 для каждого разряда. Последний шаг использует правила алгебры:
- <math>
\begin{align} x &= 0{,}999\ldots; \\ 10x &= 9{,}999\ldots; \\ 10x - x &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots; \\ 9x &= 9; \\ x &= 1; \\ 0{,}999\ldots &= 1. \end{align} </math>
Нахождение разности
Два числа равны, если их разность равняется нулю. Таким образом, нужно найти значение выражения 1-0,(9). Сперва рассмотрим более простой пример. Найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация), затем, добавив к вычитаемому в следующий за последним разрядом цифру 9 (получится число 0,99), найдем разность 1 и нового вычитаемого 0,99 (вторая итерация). После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация) и т. д.
- <math>
\begin{align} 1-0{,}9 &= 0{,}1 \\ 1-0{,}99 &= 0{,}01 \\ 1-0{,}999 &= 0{,}001 \\ \ldots \\ \end{align} </math> Итак, при повышении номера итерации, значение вычитаемого стремится к 0,(9), а разность — к нулю. И в общем случае, данную ситуацию можно записать следующим образом:
- <math>
\begin{align}
1-0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} &= 0{,}\underbrace{ 00\ldots0 }_{m=n-1}1, \\
\end{align}
</math>
где n — номер итерации (количество девяток после запятой вычитаемого),
m — количество нулей между запятой и единицей разности.
Для нахождения разности 1-0,(9) положим значение номера итерации равным бесконечности: <math>n = \infty</math>. Тогда <math>m = n-1 =\infty</math>.
Таким образом, искомая разность формально имеет бесконечное количество нолей после запятой, после которых идет единица
- <math>1-0{,}(9) = [0{,}(0)1]</math>[2].
На самом деле, если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае нулей), то в следующий после него разряд невозможно вписать больше ни единой цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае искомая разница после запятой будет иметь совокупность нулей, которая никогда не закончится (бесконечность нулей), а следовательно единицы после всех нолей не будет. Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:
- <math>0{,}(0) = 0.</math>
Таким образом,
- <math>1-0{,}(9) = 0,</math>
а значит
- <math>1 = 0{,}(9).</math>
Аналитические
Число 0,999… в общем виде можно записать как <math>b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots</math>
Бесконечные последовательности
В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда:
- <math>b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .</math>
Для 0,999… применим теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии[3]:
- Если <math>|r| < 1</math> , то <math>ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.</math>
Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) <math>r=\textstyle\frac{1}{10}</math>, и таким образом:
- <math>0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.</math>
Такое доказательство (об эквивалентности 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании Элементы алгебры (англ.)[4].
Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 году учебник An Introduction to Algebra также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9)[5]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм[6].
Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел x тогда и только тогда, когда |x − xn| бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел[7]:
- <math>0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.</math>
Последний шаг <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0</math> — делается на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.
Применение
Существует много применений, например в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении на простые числа. Например:
- 1/7 = 0,142857142857… и 142 + 857 = 999.
- 1/73 = 0,0136986301369863… и 0136 + 9863 = 9999.
Миди в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди.
В популярной культуре
Новостная колонка The Straight Dope доказывает 0,999… с помощью 1⁄3 и пределов, говоря о непонимании,
Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается.
Чушь.[8]
Вопрос о 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов Battle.net, что компания выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:
Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей[9].
Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.
См. также
Напишите отзыв о статье "0,(9)"
Примечания
- ↑ cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin’s Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
- ↑ Квадратные скобки указывают на формальность находящегося в них выражения. И не всегда формальное выражение будет равняться реальному. В данном случае они как раз отличаются <math>([x]\neq x)</math>.
- ↑ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
- ↑ Euler p.170
- ↑ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
- ↑ For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
- ↑ The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
- ↑ Cecil Adams. [www.straightdope.com/columns/030711.html An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?]. The Straight Dope. Chicago Reader (11 июля 2003). Проверено 6 сентября 2006. [www.webcitation.org/65XB1ys1B Архивировано из первоисточника 18 февраля 2012].
- ↑ [us.blizzard.com/en-us/company/press/pressreleases.html?id=2843583 Blizzard Entertainment:Press Releases]
 |
В другом языковом разделе есть более полная статья 0.999... (англ.) Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода.
|
Отрывок, характеризующий 0,(9)
– Рана штыком, я остался во фронте. Попомните, ваше превосходительство.Про батарею Тушина было забыто, и только в самом конце дела, продолжая слышать канонаду в центре, князь Багратион послал туда дежурного штаб офицера и потом князя Андрея, чтобы велеть батарее отступать как можно скорее. Прикрытие, стоявшее подле пушек Тушина, ушло, по чьему то приказанию, в середине дела; но батарея продолжала стрелять и не была взята французами только потому, что неприятель не мог предполагать дерзости стрельбы четырех никем не защищенных пушек. Напротив, по энергичному действию этой батареи он предполагал, что здесь, в центре, сосредоточены главные силы русских, и два раза пытался атаковать этот пункт и оба раза был прогоняем картечными выстрелами одиноко стоявших на этом возвышении четырех пушек.
Скоро после отъезда князя Багратиона Тушину удалось зажечь Шенграбен.
– Вишь, засумятились! Горит! Вишь, дым то! Ловко! Важно! Дым то, дым то! – заговорила прислуга, оживляясь.
Все орудия без приказания били в направлении пожара. Как будто подгоняя, подкрикивали солдаты к каждому выстрелу: «Ловко! Вот так так! Ишь, ты… Важно!» Пожар, разносимый ветром, быстро распространялся. Французские колонны, выступившие за деревню, ушли назад, но, как бы в наказание за эту неудачу, неприятель выставил правее деревни десять орудий и стал бить из них по Тушину.
Из за детской радости, возбужденной пожаром, и азарта удачной стрельбы по французам, наши артиллеристы заметили эту батарею только тогда, когда два ядра и вслед за ними еще четыре ударили между орудиями и одно повалило двух лошадей, а другое оторвало ногу ящичному вожатому. Оживление, раз установившееся, однако, не ослабело, а только переменило настроение. Лошади были заменены другими из запасного лафета, раненые убраны, и четыре орудия повернуты против десятипушечной батареи. Офицер, товарищ Тушина, был убит в начале дела, и в продолжение часа из сорока человек прислуги выбыли семнадцать, но артиллеристы всё так же были веселы и оживлены. Два раза они замечали, что внизу, близко от них, показывались французы, и тогда они били по них картечью.
Маленький человек, с слабыми, неловкими движениями, требовал себе беспрестанно у денщика еще трубочку за это , как он говорил, и, рассыпая из нее огонь, выбегал вперед и из под маленькой ручки смотрел на французов.
– Круши, ребята! – приговаривал он и сам подхватывал орудия за колеса и вывинчивал винты.
В дыму, оглушаемый беспрерывными выстрелами, заставлявшими его каждый раз вздрагивать, Тушин, не выпуская своей носогрелки, бегал от одного орудия к другому, то прицеливаясь, то считая заряды, то распоряжаясь переменой и перепряжкой убитых и раненых лошадей, и покрикивал своим слабым тоненьким, нерешительным голоском. Лицо его всё более и более оживлялось. Только когда убивали или ранили людей, он морщился и, отворачиваясь от убитого, сердито кричал на людей, как всегда, мешкавших поднять раненого или тело. Солдаты, большею частью красивые молодцы (как и всегда в батарейной роте, на две головы выше своего офицера и вдвое шире его), все, как дети в затруднительном положении, смотрели на своего командира, и то выражение, которое было на его лице, неизменно отражалось на их лицах.
Вследствие этого страшного гула, шума, потребности внимания и деятельности Тушин не испытывал ни малейшего неприятного чувства страха, и мысль, что его могут убить или больно ранить, не приходила ему в голову. Напротив, ему становилось всё веселее и веселее. Ему казалось, что уже очень давно, едва ли не вчера, была та минута, когда он увидел неприятеля и сделал первый выстрел, и что клочок поля, на котором он стоял, был ему давно знакомым, родственным местом. Несмотря на то, что он всё помнил, всё соображал, всё делал, что мог делать самый лучший офицер в его положении, он находился в состоянии, похожем на лихорадочный бред или на состояние пьяного человека.
Из за оглушающих со всех сторон звуков своих орудий, из за свиста и ударов снарядов неприятелей, из за вида вспотевшей, раскрасневшейся, торопящейся около орудий прислуги, из за вида крови людей и лошадей, из за вида дымков неприятеля на той стороне (после которых всякий раз прилетало ядро и било в землю, в человека, в орудие или в лошадь), из за вида этих предметов у него в голове установился свой фантастический мир, который составлял его наслаждение в эту минуту. Неприятельские пушки в его воображении были не пушки, а трубки, из которых редкими клубами выпускал дым невидимый курильщик.
– Вишь, пыхнул опять, – проговорил Тушин шопотом про себя, в то время как с горы выскакивал клуб дыма и влево полосой относился ветром, – теперь мячик жди – отсылать назад.
– Что прикажете, ваше благородие? – спросил фейерверкер, близко стоявший около него и слышавший, что он бормотал что то.
– Ничего, гранату… – отвечал он.
«Ну ка, наша Матвевна», говорил он про себя. Матвевной представлялась в его воображении большая крайняя, старинного литья пушка. Муравьями представлялись ему французы около своих орудий. Красавец и пьяница первый номер второго орудия в его мире был дядя ; Тушин чаще других смотрел на него и радовался на каждое его движение. Звук то замиравшей, то опять усиливавшейся ружейной перестрелки под горою представлялся ему чьим то дыханием. Он прислушивался к затиханью и разгоранью этих звуков.
– Ишь, задышала опять, задышала, – говорил он про себя.
Сам он представлялся себе огромного роста, мощным мужчиной, который обеими руками швыряет французам ядра.
– Ну, Матвевна, матушка, не выдавай! – говорил он, отходя от орудия, как над его головой раздался чуждый, незнакомый голос:
– Капитан Тушин! Капитан!
Тушин испуганно оглянулся. Это был тот штаб офицер, который выгнал его из Грунта. Он запыхавшимся голосом кричал ему:
– Что вы, с ума сошли. Вам два раза приказано отступать, а вы…
«Ну, за что они меня?…» думал про себя Тушин, со страхом глядя на начальника.
– Я… ничего… – проговорил он, приставляя два пальца к козырьку. – Я…
Но полковник не договорил всего, что хотел. Близко пролетевшее ядро заставило его, нырнув, согнуться на лошади. Он замолк и только что хотел сказать еще что то, как еще ядро остановило его. Он поворотил лошадь и поскакал прочь.
– Отступать! Все отступать! – прокричал он издалека. Солдаты засмеялись. Через минуту приехал адъютант с тем же приказанием.
Это был князь Андрей. Первое, что он увидел, выезжая на то пространство, которое занимали пушки Тушина, была отпряженная лошадь с перебитою ногой, которая ржала около запряженных лошадей. Из ноги ее, как из ключа, лилась кровь. Между передками лежало несколько убитых. Одно ядро за другим пролетало над ним, в то время как он подъезжал, и он почувствовал, как нервическая дрожь пробежала по его спине. Но одна мысль о том, что он боится, снова подняла его. «Я не могу бояться», подумал он и медленно слез с лошади между орудиями. Он передал приказание и не уехал с батареи. Он решил, что при себе снимет орудия с позиции и отведет их. Вместе с Тушиным, шагая через тела и под страшным огнем французов, он занялся уборкой орудий.
– А то приезжало сейчас начальство, так скорее драло, – сказал фейерверкер князю Андрею, – не так, как ваше благородие.
Князь Андрей ничего не говорил с Тушиным. Они оба были и так заняты, что, казалось, и не видали друг друга. Когда, надев уцелевшие из четырех два орудия на передки, они двинулись под гору (одна разбитая пушка и единорог были оставлены), князь Андрей подъехал к Тушину.
