Тривиальные объекты в алгебре

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество {0}».

Важнейшими из таких объектов являются:

• Тривиальная группа, простейшая из групп.

  Является также простейшей из абелевых групп, и все нижеперечисленные объекты наследуют её структуру, понимаемую как сложение.

• Тривиальное кольцо, простейшее из колец.
• Нулевой (тривиальный, или пустопорождённый) модуль, простейший из модулей над заданным кольцом R).
• Нулевое (или нульмерное) линейное пространство над полем R, простейшее из линейных пространств.
• Нулевая алгебра, простейшая из алгебр над кольцом или над полем R.

В трёх последних случаях умножение на скаляр определяется как κ0 = 0 , где κ ∈ R.

Всякая нулевая алгебра также тривиальна как кольцо. Нулевая алгебра над полем является нулевым линейным пространством, а над кольцом — нулевым модулем.

Трактовка при помощи теории категорий

С точки зрения теории категорий, тривиальный объект является терминальным, а иногда (в зависимости от определения морфизма) нулевым (то есть одновременно терминальным и начальным) объектом.

Тривиальный объект единственен с точностью до изоморфизма.

Терминальность тривиального объекта означает, что морфизм A → {0} существует и единственен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает всякий элемент объекта A в 0.

2↕	<math>\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}</math>	=	<math>\begin{bmatrix} \, \\ \,\end{bmatrix}</math>	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (справа), умножен на пустую матрицу 2×0 для получения 2-мерного нулевого вектора (слева). Правила умножения матриц соблюдены.

В категориях Rng (колец без обязательной единицы), R-Mod и Vect_R, тривиальное кольцо, нулевые модуль и пространство соответственно являются нулевыми объектами. Нулевой объект по определению начален, то есть морфизм {0} → A существует и единственен для любого объекта A в категории. Этот морфизм отображает 0, единственный элемент объекта {0}, в нуль 0 ∈ A. Это мономорфизм, и его образ (подмодуль/подпространство в A, порождённый нулём элементов) изоморфен {0}.

Структуры с единицей

В структурах с единицей (нейтральным элементом умножения) дело не так просто. Когда определение морфизма в категории требует их сохранения, тривиальный объект либо является только терминальным (но не начальным), либо не существует вовсе (например, когда определение структуры требует неравенство 1 ≠ 0).

В категории Ring колец с единицами, кольцо целых чисел Z является начальным объектом, а не {0}.

См. также

• Пустая полугруппа
• Тривиальная алгебра

Ссылки

• David Sharpe. Rings and factorization. — Cambridge University Press, 1987. — P. [books.google.fr/books?id=Nmg4AAAAIAAJ&pg=PA10 10] : trivial ring. — ISBN 0-521-33718-6.
• Barile, Margherita. [mathworld.wolfram.com/TrivialModule.html Trivial Module] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Barile, Margherita. [mathworld.wolfram.com/ZeroModule.html Zero Module] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Тривиальные объекты в алгебре

– Ah, mon ami, oubliez les torts qu'on a pu avoir envers vous, pensez que c'est votre pere… peut etre a l'agonie. – Она вздохнула. – Je vous ai tout de suite aime comme mon fils. Fiez vous a moi, Pierre. Je n'oublirai pas vos interets. [Забудьте, друг мой, в чем были против вас неправы. Вспомните, что это ваш отец… Может быть, в агонии. Я тотчас полюбила вас, как сына. Доверьтесь мне, Пьер. Я не забуду ваших интересов.]
Пьер ничего не понимал; опять ему еще сильнее показалось, что всё это так должно быть, и он покорно последовал за Анною Михайловной, уже отворявшею дверь.
Дверь выходила в переднюю заднего хода. В углу сидел старик слуга княжен и вязал чулок. Пьер никогда не был на этой половине, даже не предполагал существования таких покоев. Анна Михайловна спросила у обгонявшей их, с графином на подносе, девушки (назвав ее милой и голубушкой) о здоровье княжен и повлекла Пьера дальше по каменному коридору. Из коридора первая дверь налево вела в жилые комнаты княжен. Горничная, с графином, второпях (как и всё делалось второпях в эту минуту в этом доме) не затворила двери, и Пьер с Анною Михайловной, проходя мимо, невольно заглянули в ту комнату, где, разговаривая, сидели близко друг от друга старшая княжна с князем Васильем. Увидав проходящих, князь Василий сделал нетерпеливое движение и откинулся назад; княжна вскочила и отчаянным жестом изо всей силы хлопнула дверью, затворяя ее.
Жест этот был так не похож на всегдашнее спокойствие княжны, страх, выразившийся на лице князя Василья, был так несвойствен его важности, что Пьер, остановившись, вопросительно, через очки, посмотрел на свою руководительницу.
Анна Михайловна не выразила удивления, она только слегка улыбнулась и вздохнула, как будто показывая, что всего этого она ожидала.
– Soyez homme, mon ami, c'est moi qui veillerai a vos interets, [Будьте мужчиною, друг мой, я же стану блюсти за вашими интересами.] – сказала она в ответ на его взгляд и еще скорее пошла по коридору.
Пьер не понимал, в чем дело, и еще меньше, что значило veiller a vos interets, [блюсти ваши интересы,] но он понимал, что всё это так должно быть. Коридором они вышли в полуосвещенную залу, примыкавшую к приемной графа. Это была одна из тех холодных и роскошных комнат, которые знал Пьер с парадного крыльца. Но и в этой комнате, посередине, стояла пустая ванна и была пролита вода по ковру. Навстречу им вышли на цыпочках, не обращая на них внимания, слуга и причетник с кадилом. Они вошли в знакомую Пьеру приемную с двумя итальянскими окнами, выходом в зимний сад, с большим бюстом и во весь рост портретом Екатерины. Все те же люди, почти в тех же положениях, сидели, перешептываясь, в приемной. Все, смолкнув, оглянулись на вошедшую Анну Михайловну, с ее исплаканным, бледным лицом, и на толстого, большого Пьера, который, опустив голову, покорно следовал за нею.
На лице Анны Михайловны выразилось сознание того, что решительная минута наступила; она, с приемами деловой петербургской дамы, вошла в комнату, не отпуская от себя Пьера, еще смелее, чем утром. Она чувствовала, что так как она ведет за собою того, кого желал видеть умирающий, то прием ее был обеспечен. Быстрым взглядом оглядев всех, бывших в комнате, и заметив графова духовника, она, не то что согнувшись, но сделавшись вдруг меньше ростом, мелкою иноходью подплыла к духовнику и почтительно приняла благословение одного, потом другого духовного лица.
– Слава Богу, что успели, – сказала она духовному лицу, – мы все, родные, так боялись. Вот этот молодой человек – сын графа, – прибавила она тише. – Ужасная минута!
Проговорив эти слова, она подошла к доктору.
– Cher docteur, – сказала она ему, – ce jeune homme est le fils du comte… y a t il de l'espoir? [этот молодой человек – сын графа… Есть ли надежда?]
Доктор молча, быстрым движением возвел кверху глаза и плечи. Анна Михайловна точно таким же движением возвела плечи и глаза, почти закрыв их, вздохнула и отошла от доктора к Пьеру. Она особенно почтительно и нежно грустно обратилась к Пьеру.
– Ayez confiance en Sa misericorde, [Доверьтесь Его милосердию,] – сказала она ему, указав ему диванчик, чтобы сесть подождать ее, сама неслышно направилась к двери, на которую все смотрели, и вслед за чуть слышным звуком этой двери скрылась за нею.