3j-символ

3j-символы Вигнера, называемые также 3jm-символами, находят применение в квантовой механике и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:

<math>

\begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 m_1 & m_2 & m_3

\end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 (-m_3) j_1 j_2\rangle. </math>

Обратная связь

Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j₁  − j₂ − m₃ это целое число и делая подстановку <math> m_3 \rightarrow -m_3 </math>, получим:

<math>

\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 j_1 j_2\rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 m_1 & m_2 & -m_3

\end{pmatrix}. </math>

Симметрия

Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

<math>

\begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 m_1 & m_2 & m_3

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

 j_2 & j_3 & j_1\\
 m_2 & m_3 & m_1

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

 j_3 & j_1 & j_2\\
 m_3 & m_1 & m_2

\end{pmatrix}. </math> Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

<math>

\begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 m_1 & m_2 & m_3

\end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}

 j_2 & j_1 & j_3\\
 m_2 & m_1 & m_3

\end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_3 & j_2\\
 m_1 & m_3 & m_2

\end{pmatrix}. </math> Замена знака квантовых чисел <math>m</math> также даёт дополнительную фазу:

<math>

\begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 -m_1 & -m_2 & -m_3

\end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 m_1 & m_2 & m_3

\end{pmatrix}. </math>

Правила отбора

3j-символ Вигнера не равен нулю только при выполнении следующих условий:

<math>m_1+m_2+m_3=0,</math>

<math>j_1+j_2 + j_3</math> — целое,

<math>|m_i| \leqslant j_i,</math>

<math>|j_1-j_2| \leqslant j_3 \leqslant j_1+j_2.</math>

Скалярная инвариантность

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами

<math>

 \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3}
 |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle

\begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 m_1 & m_2 & m_3

\end{pmatrix} </math> инвариантна при вращениях.

Ортогональность

3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:

<math>

(2j+1)\sum_{m_1 m_2} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j\\
 m_1 & m_2 & m

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j'\\
 m_1 & m_2 & m'

\end{pmatrix} =\delta_{j j'}\delta_{m m'}, </math>

<math>

\sum_{j m} (2j+1) \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j\\
 m_1 & m_2 & m

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j\\
 m_1' & m_2' & m

\end{pmatrix} =\delta_{m_1 m_1'}\delta_{m_2 m_2'}. </math>

Связь со сферическими гармониками

Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:

<math>\int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=

\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}

 l_1 & l_2 & l_3\\
 0 & 0 & 0

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

 l_1 & l_2 & l_3\\
 m_1 & m_2 & m_3

\end{pmatrix}, </math> где <math>l_1</math>, <math>l_2</math> и <math>l_3</math> являются целыми числами.

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

<math> \int d{\mathbf{\hat n}} {}_{s_1} Y_{j_1 m_1}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_2} Y_{j_2m_2}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_3} Y_{j_3m_3}({\mathbf{\hat n}})=(-1)^{m_1+s_1} \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 m_1 & m_2 & m_3

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

 j_1 & j_2 & j_3\\
 -s_1 & -s_2 & -s_3

\end{pmatrix}. </math>

Прочие свойства

<math>\sum_m (-1)^{j+m} \begin{pmatrix}

 j & j & J\\
 m & -m & 0

\end{pmatrix} = \sqrt{\frac{2j+1}{2J+1}}\delta_{J0}. </math>

<math> \frac{1}{2} \int_{-1}^1 dx P_{l_1}(x)P_{l_2}(x)P_{l}(x) = \begin{pmatrix}

 l & l_1 & l_2 \\
 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}^2. </math>

См. также

• Коэффициенты Клебша — Гордана
• 6j-символ
• 9j-символ
• 12j-символ
• 15j-символ

Литература

• Собельман И. И.: Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963
• L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
• A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
• Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/VarshalovichMoskalevHersonskij1975ru.djvu Квантовая теория углового момента.] — Л.: Наука, 1975.
• E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

Ссылки

• [www-stone.ch.cam.ac.uk/wigner.shtml Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна] (даёт точный ответ)
• [www.volya.net/vc/vc.php Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов] (численно)
• [plasma-gate.weizmann.ac.il/369j.html калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана] (численно)

Отрывок, характеризующий 3j-символ

Князь Андрей чувствовал в Наташе присутствие совершенно чуждого для него, особенного мира, преисполненного каких то неизвестных ему радостей, того чуждого мира, который еще тогда, в отрадненской аллее и на окне, в лунную ночь, так дразнил его. Теперь этот мир уже более не дразнил его, не был чуждый мир; но он сам, вступив в него, находил в нем новое для себя наслаждение.
После обеда Наташа, по просьбе князя Андрея, пошла к клавикордам и стала петь. Князь Андрей стоял у окна, разговаривая с дамами, и слушал ее. В середине фразы князь Андрей замолчал и почувствовал неожиданно, что к его горлу подступают слезы, возможность которых он не знал за собой. Он посмотрел на поющую Наташу, и в душе его произошло что то новое и счастливое. Он был счастлив и ему вместе с тем было грустно. Ему решительно не об чем было плакать, но он готов был плакать. О чем? О прежней любви? О маленькой княгине? О своих разочарованиях?… О своих надеждах на будущее?… Да и нет. Главное, о чем ему хотелось плакать, была вдруг живо сознанная им страшная противуположность между чем то бесконечно великим и неопределимым, бывшим в нем, и чем то узким и телесным, чем он был сам и даже была она. Эта противуположность томила и радовала его во время ее пения.
Только что Наташа кончила петь, она подошла к нему и спросила его, как ему нравится ее голос? Она спросила это и смутилась уже после того, как она это сказала, поняв, что этого не надо было спрашивать. Он улыбнулся, глядя на нее, и сказал, что ему нравится ее пение так же, как и всё, что она делает.
Князь Андрей поздно вечером уехал от Ростовых. Он лег спать по привычке ложиться, но увидал скоро, что он не может спать. Он то, зажжа свечку, сидел в постели, то вставал, то опять ложился, нисколько не тяготясь бессонницей: так радостно и ново ему было на душе, как будто он из душной комнаты вышел на вольный свет Божий. Ему и в голову не приходило, чтобы он был влюблен в Ростову; он не думал о ней; он только воображал ее себе, и вследствие этого вся жизнь его представлялась ему в новом свете. «Из чего я бьюсь, из чего я хлопочу в этой узкой, замкнутой рамке, когда жизнь, вся жизнь со всеми ее радостями открыта мне?» говорил он себе. И он в первый раз после долгого времени стал делать счастливые планы на будущее. Он решил сам собою, что ему надо заняться воспитанием своего сына, найдя ему воспитателя и поручив ему; потом надо выйти в отставку и ехать за границу, видеть Англию, Швейцарию, Италию. «Мне надо пользоваться своей свободой, пока так много в себе чувствую силы и молодости, говорил он сам себе. Пьер был прав, говоря, что надо верить в возможность счастия, чтобы быть счастливым, и я теперь верю в него. Оставим мертвым хоронить мертвых, а пока жив, надо жить и быть счастливым», думал он.


В одно утро полковник Адольф Берг, которого Пьер знал, как знал всех в Москве и Петербурге, в чистеньком с иголочки мундире, с припомаженными наперед височками, как носил государь Александр Павлович, приехал к нему.
– Я сейчас был у графини, вашей супруги, и был так несчастлив, что моя просьба не могла быть исполнена; надеюсь, что у вас, граф, я буду счастливее, – сказал он, улыбаясь.
– Что вам угодно, полковник? Я к вашим услугам.
– Я теперь, граф, уж совершенно устроился на новой квартире, – сообщил Берг, очевидно зная, что это слышать не могло не быть приятно; – и потому желал сделать так, маленький вечерок для моих и моей супруги знакомых. (Он еще приятнее улыбнулся.) Я хотел просить графиню и вас сделать мне честь пожаловать к нам на чашку чая и… на ужин.
– Только графиня Елена Васильевна, сочтя для себя унизительным общество каких то Бергов, могла иметь жестокость отказаться от такого приглашения. – Берг так ясно объяснил, почему он желает собрать у себя небольшое и хорошее общество, и почему это ему будет приятно, и почему он для карт и для чего нибудь дурного жалеет деньги, но для хорошего общества готов и понести расходы, что Пьер не мог отказаться и обещался быть.