4-вектор

4-вектор (четы́ре-ве́ктор, четырёхве́ктор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского. Координаты 4-вектора^[где?] при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.

• В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1, 2, 3 — совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
• Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым и иногда — в силу своего удобства — используется и в современной литературе.
• 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

Примеры 4-векторов

Здесь и далее используется сигнатура <math>(+,~-,~-,~-)</math>.

• 4-перемещение

  <math>dx^i = (cdt,~dx,~dy,~dz),</math>

• 4-скорость

  <math>u^i =\frac{dx^i}{ds}=\frac1c \frac{dx^i}{d\tau},</math> где <math>\tau</math> — «собственное время», равное деленному на скорость света интервалу, <math>\tau=\frac1c\int{ds}</math>, измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.

• 4-ускорение

  <math>a^i =\frac{du^i}{ds}= \frac1c\frac{du^i}{d\tau},</math> где <math>\tau</math> — см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.

• 4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс)

  <math>p^i = \left( \frac{\varepsilon}{c},~ p_x,~ p_y,~ p_z \right)</math>

• четырёхмерная плотность тока (4-ток)

  <math>j^i = (c\rho,~j_x,~j_y,~j_z);</math>

• волновой 4-вектор

  <math>k_i = \left( \frac{\omega}{c}, -k_x, -k_y, -k_z \right);</math>

• Электромагнитный потенциал

  <math>A_i = (\varphi,~-A_x,~-A_y,~-A_z).</math>

Свойства

• Закон преобразования четырёхвектора:

<math>\tilde A^i=\sum_j S_j^i\ A^j ,</math>

где <math>S_j^i</math> — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

• Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
  • Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
  • Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: <math>m^2 = E^2/c^4 - p^2/c^2</math> и т. д.

Обозначения

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор <math>a</math> обозначается как: <math>a^i</math> (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или <math>a_i.</math>

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как <math>x^i.</math>

Что означает при этом использование верхнего (<math>a^i</math>) или нижнего (<math>a_i</math>) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчета, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

<math>(a,b) = a^i b_i \equiv \sum_i a^i b_i = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 + a^4 b_4 = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4</math>

и в частности

<math>(a)^2 = (a,a) = a^i a_i \equiv \sum_i a^i a_i = a^1 a_1 + a^2 a_2 + a^3 a_3 + a^4 a_4 = (a_1)^2 - (a_2)^2 - (a_3)^2 - (a_4)^2</math>

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца <math>\eta_{ij}</math> (или <math>\eta^{ij}</math>):

<math>(a,b) = \eta_{ij} a^i b^j \equiv \sum_{i,j} \eta_{ij} a^i b^i = a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3 - a^4 b^4</math>

или

<math>(a,b) = \eta^{ij} a_i b_j \equiv \sum_{i,j} \eta^{ij} a_i b_i = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4</math>

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчета, в том числе при учете гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики <math>\eta_{ij}</math> приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику <math>g_{ij}.</math> (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше, надо в общем случае заменить <math>\eta_{ij}</math> на <math>g_{ij}</math>, а <math>\eta^{ij}</math> на <math>g^{ij}</math>). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестает действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики <math>g_{ij}</math> общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

<math>a^i = g^{ij} a_j \equiv \sum_j g^{ij} a_j,</math>

<math>a_i = g_{ij} a^j \equiv \sum_j g_{ij} a^j.</math>

(Как видим, эти формулы были верны и для <math>\eta_{ij},</math> но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат <math>x^i</math> уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам <math>dx^i</math> представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке <math>x^i</math>).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: <math>(\partial_0, -\partial_1, -\partial_2, -\partial_3),</math> так как полный дифференциал <math>df = \partial_0 f dx^0 + \partial_1 f dx^1 + \partial_2 f dx^2 + \partial_3 f dx^3</math> — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за <math>\eta_{ij}.</math>

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временно́й компоненты лишен этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже <math>\eta_{ij},</math> то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

• 4-перемещение <math>dx_\mu = ( i c ~dt, dx, dy, dz ),</math>
• 4-импульс <math>p_\mu = ( i E / c, p_x, p_y, p_z ),</math>
• четырёхмерная плотность тока <math>j_\mu = ( i c \rho,j_x,j_y,j_z),</math>
• волновой 4-вектор <math>k_\mu = ( i \omega / c, k_x, k_y, k_z ),</math>
• электромагнитный потенциал <math>A_\mu = ( i \phi, A_x, A_y, A_z ),</math>

и т. д., где i — мнимая единица.

4-вектор в математике

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

<math>\mathbf{x} := \left(ct, x, y, z \right),</math>

где <math>c</math> — скорость света, <math>t</math> — время события, а <math>x, y, z</math> — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

История

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 2. Интервал. § 3. Собственное время. § 6. Четырёхмерные векторы. § 7. Четырёхмерная скорость. // Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — гл. 25. «Электродинамика в релятивистских обозначениях». (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся, однако, к контравариантным компонентам 4-векторов).

Отрывок, характеризующий 4-вектор

– Хорош денек, а? И гоньба, и скачка, а? – сказал Николай, чеша за ушами Милку.
Данило не отвечал и помигал глазами.
– Уварку посылал послушать на заре, – сказал его бас после минутного молчанья, – сказывал, в отрадненский заказ перевела, там выли. (Перевела значило то, что волчица, про которую они оба знали, перешла с детьми в отрадненский лес, который был за две версты от дома и который был небольшое отъемное место.)
– А ведь ехать надо? – сказал Николай. – Приди ка ко мне с Уваркой.
– Как прикажете!
– Так погоди же кормить.
– Слушаю.
Через пять минут Данило с Уваркой стояли в большом кабинете Николая. Несмотря на то, что Данило был не велик ростом, видеть его в комнате производило впечатление подобное тому, как когда видишь лошадь или медведя на полу между мебелью и условиями людской жизни. Данило сам это чувствовал и, как обыкновенно, стоял у самой двери, стараясь говорить тише, не двигаться, чтобы не поломать как нибудь господских покоев, и стараясь поскорее всё высказать и выйти на простор, из под потолка под небо.
Окончив расспросы и выпытав сознание Данилы, что собаки ничего (Даниле и самому хотелось ехать), Николай велел седлать. Но только что Данила хотел выйти, как в комнату вошла быстрыми шагами Наташа, еще не причесанная и не одетая, в большом, нянином платке. Петя вбежал вместе с ней.
– Ты едешь? – сказала Наташа, – я так и знала! Соня говорила, что не поедете. Я знала, что нынче такой день, что нельзя не ехать.
– Едем, – неохотно отвечал Николай, которому нынче, так как он намеревался предпринять серьезную охоту, не хотелось брать Наташу и Петю. – Едем, да только за волками: тебе скучно будет.
– Ты знаешь, что это самое большое мое удовольствие, – сказала Наташа.
– Это дурно, – сам едет, велел седлать, а нам ничего не сказал.
– Тщетны россам все препоны, едем! – прокричал Петя.
– Да ведь тебе и нельзя: маменька сказала, что тебе нельзя, – сказал Николай, обращаясь к Наташе.
– Нет, я поеду, непременно поеду, – сказала решительно Наташа. – Данила, вели нам седлать, и Михайла чтоб выезжал с моей сворой, – обратилась она к ловчему.
И так то быть в комнате Даниле казалось неприлично и тяжело, но иметь какое нибудь дело с барышней – для него казалось невозможным. Он опустил глаза и поспешил выйти, как будто до него это не касалось, стараясь как нибудь нечаянно не повредить барышне.


Старый граф, всегда державший огромную охоту, теперь же передавший всю охоту в ведение сына, в этот день, 15 го сентября, развеселившись, собрался сам тоже выехать.
Через час вся охота была у крыльца. Николай с строгим и серьезным видом, показывавшим, что некогда теперь заниматься пустяками, прошел мимо Наташи и Пети, которые что то рассказывали ему. Он осмотрел все части охоты, послал вперед стаю и охотников в заезд, сел на своего рыжего донца и, подсвистывая собак своей своры, тронулся через гумно в поле, ведущее к отрадненскому заказу. Лошадь старого графа, игреневого меренка, называемого Вифлянкой, вел графский стремянной; сам же он должен был прямо выехать в дрожечках на оставленный ему лаз.
Всех гончих выведено было 54 собаки, под которыми, доезжачими и выжлятниками, выехало 6 человек. Борзятников кроме господ было 8 человек, за которыми рыскало более 40 борзых, так что с господскими сворами выехало в поле около 130 ти собак и 20 ти конных охотников.
Каждая собака знала хозяина и кличку. Каждый охотник знал свое дело, место и назначение. Как только вышли за ограду, все без шуму и разговоров равномерно и спокойно растянулись по дороге и полю, ведшими к отрадненскому лесу.
Как по пушному ковру шли по полю лошади, изредка шлепая по лужам, когда переходили через дороги. Туманное небо продолжало незаметно и равномерно спускаться на землю; в воздухе было тихо, тепло, беззвучно. Изредка слышались то подсвистыванье охотника, то храп лошади, то удар арапником или взвизг собаки, не шедшей на своем месте.
Отъехав с версту, навстречу Ростовской охоте из тумана показалось еще пять всадников с собаками. Впереди ехал свежий, красивый старик с большими седыми усами.
– Здравствуйте, дядюшка, – сказал Николай, когда старик подъехал к нему.
– Чистое дело марш!… Так и знал, – заговорил дядюшка (это был дальний родственник, небогатый сосед Ростовых), – так и знал, что не вытерпишь, и хорошо, что едешь. Чистое дело марш! (Это была любимая поговорка дядюшки.) – Бери заказ сейчас, а то мой Гирчик донес, что Илагины с охотой в Корниках стоят; они у тебя – чистое дело марш! – под носом выводок возьмут.
– Туда и иду. Что же, свалить стаи? – спросил Николай, – свалить…
Гончих соединили в одну стаю, и дядюшка с Николаем поехали рядом. Наташа, закутанная платками, из под которых виднелось оживленное с блестящими глазами лицо, подскакала к ним, сопутствуемая не отстававшими от нее Петей и Михайлой охотником и берейтором, который был приставлен нянькой при ней. Петя чему то смеялся и бил, и дергал свою лошадь. Наташа ловко и уверенно сидела на своем вороном Арабчике и верной рукой, без усилия, осадила его.
Дядюшка неодобрительно оглянулся на Петю и Наташу. Он не любил соединять баловство с серьезным делом охоты.
– Здравствуйте, дядюшка, и мы едем! – прокричал Петя.
– Здравствуйте то здравствуйте, да собак не передавите, – строго сказал дядюшка.
– Николенька, какая прелестная собака, Трунила! он узнал меня, – сказала Наташа про свою любимую гончую собаку.
«Трунила, во первых, не собака, а выжлец», подумал Николай и строго взглянул на сестру, стараясь ей дать почувствовать то расстояние, которое должно было их разделять в эту минуту. Наташа поняла это.
– Вы, дядюшка, не думайте, чтобы мы помешали кому нибудь, – сказала Наташа. Мы станем на своем месте и не пошевелимся.
– И хорошее дело, графинечка, – сказал дядюшка. – Только с лошади то не упадите, – прибавил он: – а то – чистое дело марш! – не на чем держаться то.
Остров отрадненского заказа виднелся саженях во ста, и доезжачие подходили к нему. Ростов, решив окончательно с дядюшкой, откуда бросать гончих и указав Наташе место, где ей стоять и где никак ничего не могло побежать, направился в заезд над оврагом.
– Ну, племянничек, на матерого становишься, – сказал дядюшка: чур не гладить (протравить).
– Как придется, отвечал Ростов. – Карай, фюит! – крикнул он, отвечая этим призывом на слова дядюшки. Карай был старый и уродливый, бурдастый кобель, известный тем, что он в одиночку бирал матерого волка. Все стали по местам.
Старый граф, зная охотничью горячность сына, поторопился не опоздать, и еще не успели доезжачие подъехать к месту, как Илья Андреич, веселый, румяный, с трясущимися щеками, на своих вороненьких подкатил по зеленям к оставленному ему лазу и, расправив шубку и надев охотничьи снаряды, влез на свою гладкую, сытую, смирную и добрую, поседевшую как и он, Вифлянку. Лошадей с дрожками отослали. Граф Илья Андреич, хотя и не охотник по душе, но знавший твердо охотничьи законы, въехал в опушку кустов, от которых он стоял, разобрал поводья, оправился на седле и, чувствуя себя готовым, оглянулся улыбаясь.
Подле него стоял его камердинер, старинный, но отяжелевший ездок, Семен Чекмарь. Чекмарь держал на своре трех лихих, но также зажиревших, как хозяин и лошадь, – волкодавов. Две собаки, умные, старые, улеглись без свор. Шагов на сто подальше в опушке стоял другой стремянной графа, Митька, отчаянный ездок и страстный охотник. Граф по старинной привычке выпил перед охотой серебряную чарку охотничьей запеканочки, закусил и запил полубутылкой своего любимого бордо.
Илья Андреич был немножко красен от вина и езды; глаза его, подернутые влагой, особенно блестели, и он, укутанный в шубку, сидя на седле, имел вид ребенка, которого собрали гулять. Худой, со втянутыми щеками Чекмарь, устроившись с своими делами, поглядывал на барина, с которым он жил 30 лет душа в душу, и, понимая его приятное расположение духа, ждал приятного разговора. Еще третье лицо подъехало осторожно (видно, уже оно было учено) из за леса и остановилось позади графа. Лицо это был старик в седой бороде, в женском капоте и высоком колпаке. Это был шут Настасья Ивановна.
– Ну, Настасья Ивановна, – подмигивая ему, шопотом сказал граф, – ты только оттопай зверя, тебе Данило задаст.
– Я сам… с усам, – сказал Настасья Ивановна.
– Шшшш! – зашикал граф и обратился к Семену.
– Наталью Ильиничну видел? – спросил он у Семена. – Где она?
– Они с Петром Ильичем от Жаровых бурьяно встали, – отвечал Семен улыбаясь. – Тоже дамы, а охоту большую имеют.
– А ты удивляешься, Семен, как она ездит… а? – сказал граф, хоть бы мужчине в пору!
– Как не дивиться? Смело, ловко.
– А Николаша где? Над Лядовским верхом что ль? – всё шопотом спрашивал граф.
– Так точно с. Уж они знают, где стать. Так тонко езду знают, что мы с Данилой другой раз диву даемся, – говорил Семен, зная, чем угодить барину.
– Хорошо ездит, а? А на коне то каков, а?
– Картину писать! Как намеднись из Заварзинских бурьянов помкнули лису. Они перескакивать стали, от уймища, страсть – лошадь тысяча рублей, а седоку цены нет. Да уж такого молодца поискать!
– Поискать… – повторил граф, видимо сожалея, что кончилась так скоро речь Семена. – Поискать? – сказал он, отворачивая полы шубки и доставая табакерку.
– Намедни как от обедни во всей регалии вышли, так Михаил то Сидорыч… – Семен не договорил, услыхав ясно раздававшийся в тихом воздухе гон с подвыванием не более двух или трех гончих. Он, наклонив голову, прислушался и молча погрозился барину. – На выводок натекли… – прошептал он, прямо на Лядовской повели.
Граф, забыв стереть улыбку с лица, смотрел перед собой вдаль по перемычке и, не нюхая, держал в руке табакерку. Вслед за лаем собак послышался голос по волку, поданный в басистый рог Данилы; стая присоединилась к первым трем собакам и слышно было, как заревели с заливом голоса гончих, с тем особенным подвыванием, которое служило признаком гона по волку. Доезжачие уже не порскали, а улюлюкали, и из за всех голосов выступал голос Данилы, то басистый, то пронзительно тонкий. Голос Данилы, казалось, наполнял весь лес, выходил из за леса и звучал далеко в поле.
Прислушавшись несколько секунд молча, граф и его стремянной убедились, что гончие разбились на две стаи: одна большая, ревевшая особенно горячо, стала удаляться, другая часть стаи понеслась вдоль по лесу мимо графа, и при этой стае было слышно улюлюканье Данилы. Оба эти гона сливались, переливались, но оба удалялись. Семен вздохнул и нагнулся, чтоб оправить сворку, в которой запутался молодой кобель; граф тоже вздохнул и, заметив в своей руке табакерку, открыл ее и достал щепоть. «Назад!» крикнул Семен на кобеля, который выступил за опушку. Граф вздрогнул и уронил табакерку. Настасья Ивановна слез и стал поднимать ее.