4-градиент

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается D, <math>\nabla_{\mu}</math> или <math>\partial_{\mu}</math>) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как

<math>\partial_\mu = \nabla_{\mu} = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \vec{\nabla} \right) = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right),</math>

где <math>\vec{\nabla} = \left( \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right) </math> — 3-вектор градиента.

Если вычислить скалярное произведение D на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:

<math>\square = D \cdot D = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu} = \partial^{\nu}\partial_{\nu}= \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \Delta = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \;,</math>

где <math>g^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math> — метрический тензор, Δ — оператор Лапласа; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам.

Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а — скаляр, то его 4-градиент

<math>\partial_{\mu}a = a_{\;,\mu}\;.</math>

Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:

<math>D \cdot A = \partial_{\mu}A^{\mu} = A^{\mu}_{\;,\mu} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \nabla \mathbf{A},</math>

где <math>A^{\mu}=\{A^0,A^1,A^2,A^3\}=\{A_t, \mathbf{A}\}</math> — контравариантные компоненты 4-вектора, а <math>\nabla \mathbf{A}</math> — дивергенция.

Символ <math>D_\mu</math> (и иногда <math>\nabla_\mu</math>) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:

<math>D_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu_{\alpha\mu} A^\alpha,</math>

где <math>\Gamma^\nu_{\alpha\mu}</math> — символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:

<math>D_\mu a = \partial_\mu a.</math>


Напишите отзыв о статье "4-градиент"



Ссылки

  • S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003.
  • L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
  • J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X.

Отрывок, характеризующий 4-градиент

В середине лета, княжна Марья получила неожиданное письмо от князя Андрея из Швейцарии, в котором он сообщал ей странную и неожиданную новость. Князь Андрей объявлял о своей помолвке с Ростовой. Всё письмо его дышало любовной восторженностью к своей невесте и нежной дружбой и доверием к сестре. Он писал, что никогда не любил так, как любит теперь, и что теперь только понял и узнал жизнь; он просил сестру простить его за то, что в свой приезд в Лысые Горы он ничего не сказал ей об этом решении, хотя и говорил об этом с отцом. Он не сказал ей этого потому, что княжна Марья стала бы просить отца дать свое согласие, и не достигнув бы цели, раздражила бы отца, и на себе бы понесла всю тяжесть его неудовольствия. Впрочем, писал он, тогда еще дело не было так окончательно решено, как теперь. «Тогда отец назначил мне срок, год, и вот уже шесть месяцев, половина прошло из назначенного срока, и я остаюсь более, чем когда нибудь тверд в своем решении. Ежели бы доктора не задерживали меня здесь, на водах, я бы сам был в России, но теперь возвращение мое я должен отложить еще на три месяца. Ты знаешь меня и мои отношения с отцом. Мне ничего от него не нужно, я был и буду всегда независим, но сделать противное его воле, заслужить его гнев, когда может быть так недолго осталось ему быть с нами, разрушило бы наполовину мое счастие. Я пишу теперь ему письмо о том же и прошу тебя, выбрав добрую минуту, передать ему письмо и известить меня о том, как он смотрит на всё это и есть ли надежда на то, чтобы он согласился сократить срок на три месяца».
После долгих колебаний, сомнений и молитв, княжна Марья передала письмо отцу. На другой день старый князь сказал ей спокойно:
– Напиши брату, чтоб подождал, пока умру… Не долго – скоро развяжу…
Княжна хотела возразить что то, но отец не допустил ее, и стал всё более и более возвышать голос.
– Женись, женись, голубчик… Родство хорошее!… Умные люди, а? Богатые, а? Да. Хороша мачеха у Николушки будет! Напиши ты ему, что пускай женится хоть завтра. Мачеха Николушки будет – она, а я на Бурьенке женюсь!… Ха, ха, ха, и ему чтоб без мачехи не быть! Только одно, в моем доме больше баб не нужно; пускай женится, сам по себе живет. Может, и ты к нему переедешь? – обратился он к княжне Марье: – с Богом, по морозцу, по морозцу… по морозцу!…