Четырёхимпульс

Четырёхи́мпульс, 4-и́мпульс — 4-вектор энергии-импульса, релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора импульса (количества движения) на четырёхмерное пространство-время. Три компонента классического вектора импульса <math>\vec {p} = (p_x, p_y, p_z)</math> материальной точки при этом становятся тремя пространственными компонентами вектора четырёхимпульса. Временно́й компонентой вектора четырёхимпульса является (с точностью до множителя) полная энергия материальной точки.

<math>

p^\mu= \begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E/c \\ \vec p \end{pmatrix}. </math>

Четырёхимпульс полезен при релятивистских расчётах, поскольку он является ковариантным вектором Лоренца (четырёхвектором) и, следовательно, инвариантен при переходе в другую инерциальную систему отсчёта (его компоненты при этом изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца).

Квадрат четырёхимпульса

Квадрат вектора четырёхимпульса точечной частицы является скалярным инвариантом, равным (с точностью до множителя <math>c^2</math>) квадрату массы частицы:

<math>p^2 = g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = m^2c^2, </math>

где c — скорость света, индексы <math>\mu,\nu = 0,...,3;\quad</math> используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Матрица g, входящая в скалярное произведение 4-вектора p на самого себя, является метрическим тензором пространства-времени. В специальной теории относительности используется метрика Минковского, особый вид матрицы <math>g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}</math>, отвечающий плоскому (неискривлённому) пространству-времени:

<math>\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix};</math> в этом случае <math>m^2c^2 = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2</math>

Таким образом, в СТО масса частицы не меняется при лоренцевских преобразованиях. Модуль четырёхимпульса <math>|p| = \sqrt{p^2} = mc</math> для реальных частиц всегда неотрицателен (то есть 4-импульс всегда времениподобен или светоподобен; он мог бы быть отрицательным для гипотетических тахионов, движущихся быстрее света). Четырёхимпульс фотонов и других безмассовых частиц имеет нулевой модуль, для массивных частиц модуль положителен. В зависимости от соглашения о сигнатуре, модуль 4-импульса может быть определён с противоположным знаком.

Отношение к четырёхскорости

Для массивной частицы 4-импульс равен произведению её массы на четырёхскорость

<math>p^\mu = m \, U^\mu\!,</math>

где 4-скорость есть вектор

<math>

U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}= \begin{pmatrix} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma c \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z \end{pmatrix}, </math>

а величина <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}</math> — это фактор Лоренца и <math>d\tau</math> — собственное время частицы.

Канонический импульс в пространстве в присутствии электромагнитного потенциала

Для применения в релятивистской квантовой механике целесообразно определить «канонический» четырёхимпульс P_μ, который представляет собой сумму четырёхимпульса частицы и произведения её электрического заряда на четырёхвекторный потенциал электромагнитного поля:

<math> P_{\mu} = p_{\mu} + q A_{\mu} \!,</math>

где 4-потенциал является результатом комбинирования скалярного потенциала <math>\varphi</math> и 3-векторного потенциала <math>\vec{A}:</math>

<math>

\begin{pmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi \\ -A_x \\ -A_y \\ -A_z \end{pmatrix}. </math>

Это указывает на потенциальную энергию заряженных частиц в электростатическом потенциале и на силу Лоренца, которая управляет движением заряженных частиц в магнитном поле, давая возможность включить их в уравнение Шрёдингера.

См. также

• Интервал
• Тензор энергии-импульса

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Отрывок, характеризующий Четырёхимпульс

– Николенька, ты поедешь к Иогелю? Пожалуйста, поезжай, – сказала ему Наташа, – он тебя особенно просил, и Василий Дмитрич (это был Денисов) едет.
– Куда я не поеду по приказанию г'афини! – сказал Денисов, шутливо поставивший себя в доме Ростовых на ногу рыцаря Наташи, – pas de chale [танец с шалью] готов танцовать.
– Коли успею! Я обещал Архаровым, у них вечер, – сказал Николай.
– А ты?… – обратился он к Долохову. И только что спросил это, заметил, что этого не надо было спрашивать.
– Да, может быть… – холодно и сердито отвечал Долохов, взглянув на Соню и, нахмурившись, точно таким взглядом, каким он на клубном обеде смотрел на Пьера, опять взглянул на Николая.
«Что нибудь есть», подумал Николай и еще более утвердился в этом предположении тем, что Долохов тотчас же после обеда уехал. Он вызвал Наташу и спросил, что такое?
– А я тебя искала, – сказала Наташа, выбежав к нему. – Я говорила, ты всё не хотел верить, – торжествующе сказала она, – он сделал предложение Соне.
Как ни мало занимался Николай Соней за это время, но что то как бы оторвалось в нем, когда он услыхал это. Долохов был приличная и в некоторых отношениях блестящая партия для бесприданной сироты Сони. С точки зрения старой графини и света нельзя было отказать ему. И потому первое чувство Николая, когда он услыхал это, было озлобление против Сони. Он приготавливался к тому, чтобы сказать: «И прекрасно, разумеется, надо забыть детские обещания и принять предложение»; но не успел он еще сказать этого…
– Можешь себе представить! она отказала, совсем отказала! – заговорила Наташа. – Она сказала, что любит другого, – прибавила она, помолчав немного.
«Да иначе и не могла поступить моя Соня!» подумал Николай.
– Сколько ее ни просила мама, она отказала, и я знаю, она не переменит, если что сказала…
– А мама просила ее! – с упреком сказал Николай.
– Да, – сказала Наташа. – Знаешь, Николенька, не сердись; но я знаю, что ты на ней не женишься. Я знаю, Бог знает отчего, я знаю верно, ты не женишься.
– Ну, этого ты никак не знаешь, – сказал Николай; – но мне надо поговорить с ней. Что за прелесть, эта Соня! – прибавил он улыбаясь.
– Это такая прелесть! Я тебе пришлю ее. – И Наташа, поцеловав брата, убежала.
Через минуту вошла Соня, испуганная, растерянная и виноватая. Николай подошел к ней и поцеловал ее руку. Это был первый раз, что они в этот приезд говорили с глазу на глаз и о своей любви.
– Sophie, – сказал он сначала робко, и потом всё смелее и смелее, – ежели вы хотите отказаться не только от блестящей, от выгодной партии; но он прекрасный, благородный человек… он мой друг…
Соня перебила его.
– Я уж отказалась, – сказала она поспешно.
– Ежели вы отказываетесь для меня, то я боюсь, что на мне…
Соня опять перебила его. Она умоляющим, испуганным взглядом посмотрела на него.
– Nicolas, не говорите мне этого, – сказала она.
– Нет, я должен. Может быть это suffisance [самонадеянность] с моей стороны, но всё лучше сказать. Ежели вы откажетесь для меня, то я должен вам сказать всю правду. Я вас люблю, я думаю, больше всех…
– Мне и довольно, – вспыхнув, сказала Соня.
– Нет, но я тысячу раз влюблялся и буду влюбляться, хотя такого чувства дружбы, доверия, любви, я ни к кому не имею, как к вам. Потом я молод. Мaman не хочет этого. Ну, просто, я ничего не обещаю. И я прошу вас подумать о предложении Долохова, – сказал он, с трудом выговаривая фамилию своего друга.
– Не говорите мне этого. Я ничего не хочу. Я люблю вас, как брата, и всегда буду любить, и больше мне ничего не надо.
– Вы ангел, я вас не стою, но я только боюсь обмануть вас. – Николай еще раз поцеловал ее руку.


У Иогеля были самые веселые балы в Москве. Это говорили матушки, глядя на своих adolescentes, [девушек,] выделывающих свои только что выученные па; это говорили и сами adolescentes и adolescents, [девушки и юноши,] танцовавшие до упаду; эти взрослые девицы и молодые люди, приезжавшие на эти балы с мыслию снизойти до них и находя в них самое лучшее веселье. В этот же год на этих балах сделалось два брака. Две хорошенькие княжны Горчаковы нашли женихов и вышли замуж, и тем еще более пустили в славу эти балы. Особенного на этих балах было то, что не было хозяина и хозяйки: был, как пух летающий, по правилам искусства расшаркивающийся, добродушный Иогель, который принимал билетики за уроки от всех своих гостей; было то, что на эти балы еще езжали только те, кто хотел танцовать и веселиться, как хотят этого 13 ти и 14 ти летние девочки, в первый раз надевающие длинные платья. Все, за редкими исключениями, были или казались хорошенькими: так восторженно они все улыбались и так разгорались их глазки. Иногда танцовывали даже pas de chale лучшие ученицы, из которых лучшая была Наташа, отличавшаяся своею грациозностью; но на этом, последнем бале танцовали только экосезы, англезы и только что входящую в моду мазурку. Зала была взята Иогелем в дом Безухова, и бал очень удался, как говорили все. Много было хорошеньких девочек, и Ростовы барышни были из лучших. Они обе были особенно счастливы и веселы. В этот вечер Соня, гордая предложением Долохова, своим отказом и объяснением с Николаем, кружилась еще дома, не давая девушке дочесать свои косы, и теперь насквозь светилась порывистой радостью.
Наташа, не менее гордая тем, что она в первый раз была в длинном платье, на настоящем бале, была еще счастливее. Обе были в белых, кисейных платьях с розовыми лентами.
Наташа сделалась влюблена с самой той минуты, как она вошла на бал. Она не была влюблена ни в кого в особенности, но влюблена была во всех. В того, на кого она смотрела в ту минуту, как она смотрела, в того она и была влюблена.