4-ускорение

4-ускоре́ние (четы́ре-ускоре́ние, четырёхускоре́ние) в релятивистской кинематике — четырёхвектор, обобщающий классическое ускорение и определяющийся как производная 4-скорости по собственному времени частицы:

<math>\mathbf{A} =\frac{d\mathbf{U}}{d\tau}=\left(\gamma_u\dot\gamma_u c, \quad \gamma_u^2\mathbf a+\gamma_u\dot\gamma_u\mathbf u\right) =\left(\gamma_u^4\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{u})}{c}, \quad \gamma_u^2\mathbf{a}+\gamma_u^4\frac{\left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\right)}{c^2}\mathbf{u}\right),</math>

где

<math>\mathbf a = {d\mathbf u \over dt}</math> — 3-ускорение,

<math>\boldsymbol{\beta} = \mathbf{u}/c</math> — безразмерная 3-скорость,

<math>\dot\gamma_u = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \gamma_u^3 = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \frac{1}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^{3/2}}</math>

и <math>\gamma_u</math> является лоренц-фактором для 3-скорости u. Точка над переменной означает производную по координатному времени в данной системе отсчёта, а не по собственному времени <math>\tau .</math>

В мгновенной сопутствующей инерциальной системе отсчёта <math>\mathbf u = 0 ,</math> <math>\gamma_u = 1</math> и <math>\dot\gamma_u = 0 ,</math> то есть в такой системе отсчёта

<math>\mathbf{A} =\left(0, \mathbf a\right).</math>

Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии.

Таким образом, модуль 4-ускорения (который является инвариантным скаляром) равен собственному ускорению, которое «чувствует» частица, движущаяся вдоль своей мировой линии. Мировые линии, имеющие постоянную величину 4-ускорения, являются кругами Минковского, то есть гиперболами (см. гиперболическое движение) .

Даже при релятивистских скоростях 4-ускорение связано с действующей на частицу 4-силой по формуле, обобщающей классический второй закон Ньютона:

<math> F^\mu = mA^\mu ;</math>

здесь m — масса частицы.

Скалярное произведение 4-скорости и соответствующего 4-ускорения всегда равно нулю. Это легко увидеть, продифференцировав тождество <math>\mathbf{U}\cdot \mathbf{U} \equiv c^2</math> по собственному времени: <math>\frac{d}{d\tau}(\mathbf{U}\cdot \mathbf{U}) = 2\frac{d\mathbf{U}}{d\tau}\cdot \mathbf{U} = 2\mathbf{A}\cdot \mathbf{U} \equiv \frac{d}{d\tau}c^2 = 0.</math> Таким образом, 4-ускорение и сонаправленная с ней соответствующая 4-сила, действующие на частицу, всегда ортогональны её 4-скорости (и сонаправленному с 4-скоростью 4-импульсу <math> p^\mu = mU^\mu </math>) — в отличие от классической механики.

В общей теории относительности компоненты четырёхвектора ускорения связаны с компонентами 4-скорости через ковариантную производную по собственному времени.

<math>A^\lambda := \frac{DU^\lambda }{d\tau} = \frac{dU^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}U^\mu U^\nu</math>

(Γ^λ_μν — символы Кристоффеля).

В специальной теории относительности координаты обычно выражаются в прямолинейной инерциальной системе отсчёта, так что член с символами Кристоффеля исчезает, но иногда, когда авторы для описания ускоренной системы используют криволинейные координаты, система отсчёта не является инерциальной, но физика всё равно остаётся спецрелятивистской, так как метрика является просто координатным преобразованием метрики пространства Минковского. В таком случае должно быть использовано вышеприведённое выражение, потому что здесь символы Кристоффеля не все равны нулю.

Когда 4-сила равна нулю, на частицу действует только гравитация, и четырёхвекторная версия второго закона Ньютона (см. выше) сводится к уравнению геодезической. Частица, совершающая геодезическое движение, имеет нулевое значение для каждого компонента 4-вектора ускорения. Это согласуется с тем, что гравитация не является силой.

См. также

• 4-вектор
• 4-скорость
• 4-импульс
• 4-сила

Литература

• Pauli W. Theory of Relativity. — republished in 1981 Dover. — B.G. Teubner, Leipzig, 1921. — ISBN 978-0-486-64152-2.
• Papapetrou A. Lectures on General Relativity. — D. Reidel Publishing Company, 1974. — ISBN 90-277-0514-3.
• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). — Oxford: Oxford University Press, 1991. — ISBN 0-19-853952-5.
• Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. — republished in 1978 Dover. — University of Toronto Press, 1949. — ISBN 0-486-63612-7.

Отрывок, характеризующий 4-ускорение

Она хотела выйти, он остановил ее жестом и достал с высокого стола новую неразрезанную книгу.
– Вот еще какой то Ключ таинства тебе твоя Элоиза посылает. Религиозная. А я ни в чью веру не вмешиваюсь… Просмотрел. Возьми. Ну, ступай, ступай!
Он потрепал ее по плечу и сам запер за нею дверь.
Княжна Марья возвратилась в свою комнату с грустным, испуганным выражением, которое редко покидало ее и делало ее некрасивое, болезненное лицо еще более некрасивым, села за свой письменный стол, уставленный миниатюрными портретами и заваленный тетрадями и книгами. Княжна была столь же беспорядочная, как отец ее порядочен. Она положила тетрадь геометрии и нетерпеливо распечатала письмо. Письмо было от ближайшего с детства друга княжны; друг этот была та самая Жюли Карагина, которая была на именинах у Ростовых:
Жюли писала:
«Chere et excellente amie, quelle chose terrible et effrayante que l'absence! J'ai beau me dire que la moitie de mon existence et de mon bonheur est en vous, que malgre la distance qui nous separe, nos coeurs sont unis par des liens indissolubles; le mien se revolte contre la destinee, et je ne puis, malgre les plaisirs et les distractions qui m'entourent, vaincre une certaine tristesse cachee que je ressens au fond du coeur depuis notre separation. Pourquoi ne sommes nous pas reunies, comme cet ete dans votre grand cabinet sur le canape bleu, le canape a confidences? Pourquoi ne puis je, comme il y a trois mois, puiser de nouvelles forces morales dans votre regard si doux, si calme et si penetrant, regard que j'aimais tant et que je crois voir devant moi, quand je vous ecris».
[Милый и бесценный друг, какая страшная и ужасная вещь разлука! Сколько ни твержу себе, что половина моего существования и моего счастия в вас, что, несмотря на расстояние, которое нас разлучает, сердца наши соединены неразрывными узами, мое сердце возмущается против судьбы, и, несмотря на удовольствия и рассеяния, которые меня окружают, я не могу подавить некоторую скрытую грусть, которую испытываю в глубине сердца со времени нашей разлуки. Отчего мы не вместе, как в прошлое лето, в вашем большом кабинете, на голубом диване, на диване «признаний»? Отчего я не могу, как три месяца тому назад, почерпать новые нравственные силы в вашем взгляде, кротком, спокойном и проницательном, который я так любила и который я вижу перед собой в ту минуту, как пишу вам?]
Прочтя до этого места, княжна Марья вздохнула и оглянулась в трюмо, которое стояло направо от нее. Зеркало отразило некрасивое слабое тело и худое лицо. Глаза, всегда грустные, теперь особенно безнадежно смотрели на себя в зеркало. «Она мне льстит», подумала княжна, отвернулась и продолжала читать. Жюли, однако, не льстила своему другу: действительно, и глаза княжны, большие, глубокие и лучистые (как будто лучи теплого света иногда снопами выходили из них), были так хороши, что очень часто, несмотря на некрасивость всего лица, глаза эти делались привлекательнее красоты. Но княжна никогда не видала хорошего выражения своих глаз, того выражения, которое они принимали в те минуты, когда она не думала о себе. Как и у всех людей, лицо ее принимало натянуто неестественное, дурное выражение, как скоро она смотрелась в зеркало. Она продолжала читать: 211
«Tout Moscou ne parle que guerre. L'un de mes deux freres est deja a l'etranger, l'autre est avec la garde, qui se met en Marieche vers la frontiere. Notre cher еmpereur a quitte Petersbourg et, a ce qu'on pretend, compte lui meme exposer sa precieuse existence aux chances de la guerre. Du veuille que le monstre corsicain, qui detruit le repos de l'Europe, soit terrasse par l'ange que le Tout Рuissant, dans Sa misericorde, nous a donnee pour souverain. Sans parler de mes freres, cette guerre m'a privee d'une relation des plus cheres a mon coeur. Je parle du jeune Nicolas Rostoff, qui avec son enthousiasme n'a pu supporter l'inaction et a quitte l'universite pour aller s'enroler dans l'armee. Eh bien, chere Marieie, je vous avouerai, que, malgre son extreme jeunesse, son depart pour l'armee a ete un grand chagrin pour moi. Le jeune homme, dont je vous parlais cet ete, a tant de noblesse, de veritable jeunesse qu'on rencontre si rarement dans le siecle оu nous vivons parmi nos villards de vingt ans. Il a surtout tant de franchise et de coeur. Il est tellement pur et poetique, que mes relations avec lui, quelque passageres qu'elles fussent, ont ete l'une des plus douees jouissances de mon pauvre coeur, qui a deja tant souffert. Je vous raconterai un jour nos adieux et tout ce qui s'est dit en partant. Tout cela est encore trop frais. Ah! chere amie, vous etes heureuse de ne pas connaitre ces jouissances et ces peines si poignantes. Vous etes heureuse, puisque les derienieres sont ordinairement les plus fortes! Je sais fort bien, que le comte Nicolas est trop jeune pour pouvoir jamais devenir pour moi quelque chose de plus qu'un ami, mais cette douee amitie, ces relations si poetiques et si pures ont ete un besoin pour mon coeur. Mais n'en parlons plus. La grande nouvelle du jour qui occupe tout Moscou est la mort du vieux comte Безухой et son heritage. Figurez vous que les trois princesses n'ont recu que tres peu de chose, le prince Basile rien, est que c'est M. Pierre qui a tout herite, et qui par dessus le Marieche a ete reconnu pour fils legitime, par consequent comte Безухой est possesseur de la plus belle fortune de la Russie. On pretend que le prince Basile a joue un tres vilain role dans toute cette histoire et qu'il est reparti tout penaud pour Petersbourg.