B-сплайн — сплайн-функция, имеющая наименьший носитель для заданной степени, порядка гладкости и разбиения области определения. Фундаментальная теорема устанавливает, что любая сплайн-функция для заданной степени, гладкости и области определения может быть представлена как линейная комбинация B-сплайнов той же степени и гладкости на той же области определения.[1] Термин B-сплайн был введён И. Шёнбергом и является сокращением от словосочетания «базисный сплайн».[2] B-сплайны могут быть вычислены с помощью алгоритма де Бора, обладающего устойчивостью.
В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.
Определение
Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является однородным, в противном случае его называют неоднородным
Замечания
Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье. Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.
Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.
Базисный сплайн степени n
- <math>b_{i,n}(t)\,\;</math>
не обращается в нуль только на промежутке [ti, ti+n], то есть
- <math>b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix}
>0 & \mathrm{if} \quad t_{i} \le t < t_{i+n} \\
0 & \mathrm{otherwise}
\end{matrix}
\right.
</math>
Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье.
Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна
См. также
Напишите отзыв о статье "B-сплайн"
Ссылки
- [www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Basis.htm Interactive java applets for B-splines]
- [mathworld.wolfram.com/B-Spline.html B-spline on MathWorld]
- [math.fullerton.edu/mathews/n2003/B-SplinesMod.html Module B-Splines by John H. Mathews]
- [www.qwerkop.de/qwerkop-projects-bspline.php BSpline Java Applet by Stefan Beck (with C++ Source)]
Примечания
- ↑ Carl de Boor. A Practical Guide to Splines. — Springer-Verlag, 1978. — P. 113-114.
- ↑ Carl de Boor. A Practical Guide to Splines. — Springer-Verlag, 1978. — P. 114-115.
Литература
- Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
- Корнейчук, Н. П., Бабенко, В. Ф., Лигун, А. А. [ru.dleex.com/details/?1961 Экстремальные свойства полиномов и сплайнов] / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. — К.: Наукова думка, 1992. — 304 с. — ISBN 5-12-002210-3.
 |
|---|
| | Определения | |
|---|
| | Преобразованные | |
|---|
| | Неплоские | |
|---|
| Плоские
алгебраические | |
|---|
| Плоские
трансцендентные | |
|---|
| | Фрактальные |
Простые | |
|---|
| | </div> |
|---|
</table></div></td></tr></table></td></tr></table>
Отрывок, характеризующий B-сплайн– Какова, какова? Смотрите, смотрите, – сказала старая графиня, проходя через залу и указывая на Наташу.
Наташа покраснела и засмеялась.
– Ну, что вы, мама? Ну, что вам за охота? Что ж тут удивительного?
В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке:
– Семен! Данилу Купора знаешь?
Это был любимый танец графа, танцованный им еще в молодости. (Данило Купор была собственно одна фигура англеза .)
– Смотрите на папа, – закричала на всю залу Наташа (совершенно забыв, что она танцует с большим), пригибая к коленам свою кудрявую головку и заливаясь своим звонким смехом по всей зале.
Действительно, всё, что только было в зале, с улыбкою радости смотрело на веселого старичка, который рядом с своею сановитою дамой, Марьей Дмитриевной, бывшей выше его ростом, округлял руки, в такт потряхивая ими, расправлял плечи, вывертывал ноги, слегка притопывая, и всё более и более распускавшеюся улыбкой на своем круглом лице приготовлял зрителей к тому, что будет. Как только заслышались веселые, вызывающие звуки Данилы Купора, похожие на развеселого трепачка, все двери залы вдруг заставились с одной стороны мужскими, с другой – женскими улыбающимися лицами дворовых, вышедших посмотреть на веселящегося барина.
– Батюшка то наш! Орел! – проговорила громко няня из одной двери.
Граф танцовал хорошо и знал это, но его дама вовсе не умела и не хотела хорошо танцовать. Ее огромное тело стояло прямо с опущенными вниз мощными руками (она передала ридикюль графине); только одно строгое, но красивое лицо ее танцовало. Что выражалось во всей круглой фигуре графа, у Марьи Дмитриевны выражалось лишь в более и более улыбающемся лице и вздергивающемся носе. Но зато, ежели граф, всё более и более расходясь, пленял зрителей неожиданностью ловких выверток и легких прыжков своих мягких ног, Марья Дмитриевна малейшим усердием при движении плеч или округлении рук в поворотах и притопываньях, производила не меньшее впечатление по заслуге, которую ценил всякий при ее тучности и всегдашней суровости. Пляска оживлялась всё более и более. Визави не могли ни на минуту обратить на себя внимания и даже не старались о том. Всё было занято графом и Марьею Дмитриевной. Наташа дергала за рукава и платье всех присутствовавших, которые и без того не спускали глаз с танцующих, и требовала, чтоб смотрели на папеньку. Граф в промежутках танца тяжело переводил дух, махал и кричал музыкантам, чтоб они играли скорее. Скорее, скорее и скорее, лише, лише и лише развертывался граф, то на цыпочках, то на каблуках, носясь вокруг Марьи Дмитриевны и, наконец, повернув свою даму к ее месту, сделал последнее па, подняв сзади кверху свою мягкую ногу, склонив вспотевшую голову с улыбающимся лицом и округло размахнув правою рукой среди грохота рукоплесканий и хохота, особенно Наташи. Оба танцующие остановились, тяжело переводя дыхание и утираясь батистовыми платками.
|
|---|
|
