D-матрица Вигнера
D-матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение D-матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.
Определение D-матрицы Вигнера
Пусть Jx, Jy, Jz образующие алгебры Ли SU(2) и SO(3). В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора известного как угловой момент. Примерами могут служить момент электрона в атоме, электронный спин и момент количества движения жёсткого ротатора. Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям
- <math> [J_x,J_y] = i J_z,\quad [J_z,J_x] = i J_y,\quad [J_y,J_z] = i J_x, </math>
где i это чисто мнимое число и постоянная Планка <math>\hbar</math> был задана равной единице. Оператор
- <math> J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 </math>
является оператором Казимира из SU (2) (или SO (3), в зависимости от обстоятельств). Он может быть диагонализирован вместе с <math>J_z</math> (Выбор этого оператора определяется соглашением), который коммутирует с <math>J^ 2</math>. То есть, можно показать, что существует полный набор кетов с
- <math> J^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle,\quad J_z |jm\rangle = m |jm\rangle,
</math> где j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2,... и m = -j, -j + 1,..., j. Для SO(3) квантовое число j является целым.
Оператор поворота можно записать в виде
- <math display="inline"> \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\gamma J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\alpha J_z},
</math> где α, β, γ - углы Эйлера.
D-матрица Вигнера представляет собой квадратную матрицу размерности 2j + 1 с общим элементом
- <math> D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv
\langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle =
e^{-im'\gamma } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\alpha}.
</math> Матрица с общим элментом
- <math>
d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle </math> известна как малая d-матрица Вигнера.
Список элементов d-матрицы
для j = 1/2
- <math>d_{1/2,1/2}^{1/2} = \cos (\theta/2)</math>
- <math>d_{1/2,-1/2}^{1/2} = -\sin (\theta/2)</math>
для j = 1
- <math>d_{1,1}^{1} = \frac{1+\cos \theta}{2}</math>
- <math>d_{1,0}^{1} = \frac{-\sin \theta}{\sqrt{2}}</math>
- <math>d_{1,-1}^{1} = \frac{1-\cos \theta}{2}</math>
- <math>d_{0,0}^{1} = \cos \theta</math>
для j = 3/2
- <math>d_{3/2,3/2}^{3/2} = \frac{1+\cos \theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{3/2,1/2}^{3/2} = -\sqrt{3} \frac{1+\cos \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{3/2,-1/2}^{3/2} = \sqrt{3} \frac{1-\cos \theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{3/2,-3/2}^{3/2} = - \frac{1-\cos \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{1/2,1/2}^{3/2} = \frac{3\cos \theta - 1}{2} \cos \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{1/2,-1/2}^{3/2} = - \frac{3\cos \theta + 1}{2} \sin \frac{\theta}{2}</math>
для j = 2 [1]
- <math>d_{2,2}^{2} = \frac{1}{4}\left(1 +\cos \theta\right)^2</math>
- <math>d_{2,1}^{2} = -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 + \cos \theta\right)</math>
- <math>d_{2,0}^{2} = \sqrt{\frac{3}{8}}\sin^2 \theta</math>
- <math>d_{2,-1}^{2} = -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 - \cos \theta\right)</math>
- <math>d_{2,-2}^{2} = \frac{1}{4}\left(1 -\cos \theta\right)^2</math>
- <math>d_{1,1}^{2} = \frac{1}{2}\left(2\cos^2\theta + \cos \theta-1 \right)</math>
- <math>d_{1,0}^{2} = -\sqrt{\frac{3}{8}} \sin 2 \theta</math>
- <math>d_{1,-1}^{2} = \frac{1}{2}\left(- 2\cos^2\theta + \cos \theta +1 \right)</math>
- <math>d_{0,0}^{2} = \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right)</math>
Элементы d-матрицы Вигнера с обратными нижними индексами находятся следующим соотношением:
- <math>d_{m', m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m, m'}^j = d_{-m,-m'}^j</math>.
См. также
Напишите отзыв о статье "D-матрица Вигнера"
Примечания
- ↑ Edén, M. (2003). «Computer simulations in solid-state NMR. I. Spin dynamics theory». Concepts Magn. Reson. 17A (1): 117–154. DOI:10.1002/cmr.a.10061.
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий D-матрица Вигнера
В третьем часу еще никто не заснул, как явился вахмистр с приказом выступать к местечку Островне.Все с тем же говором и хохотом офицеры поспешно стали собираться; опять поставили самовар на грязной воде. Но Ростов, не дождавшись чаю, пошел к эскадрону. Уже светало; дождик перестал, тучи расходились. Было сыро и холодно, особенно в непросохшем платье. Выходя из корчмы, Ростов и Ильин оба в сумерках рассвета заглянули в глянцевитую от дождя кожаную докторскую кибиточку, из под фартука которой торчали ноги доктора и в середине которой виднелся на подушке чепчик докторши и слышалось сонное дыхание.
– Право, она очень мила! – сказал Ростов Ильину, выходившему с ним.
– Прелесть какая женщина! – с шестнадцатилетней серьезностью отвечал Ильин.
Через полчаса выстроенный эскадрон стоял на дороге. Послышалась команда: «Садись! – солдаты перекрестились и стали садиться. Ростов, выехав вперед, скомандовал: «Марш! – и, вытянувшись в четыре человека, гусары, звуча шлепаньем копыт по мокрой дороге, бренчаньем сабель и тихим говором, тронулись по большой, обсаженной березами дороге, вслед за шедшей впереди пехотой и батареей.
Разорванные сине лиловые тучи, краснея на восходе, быстро гнались ветром. Становилось все светлее и светлее. Ясно виднелась та курчавая травка, которая заседает всегда по проселочным дорогам, еще мокрая от вчерашнего дождя; висячие ветви берез, тоже мокрые, качались от ветра и роняли вбок от себя светлые капли. Яснее и яснее обозначались лица солдат. Ростов ехал с Ильиным, не отстававшим от него, стороной дороги, между двойным рядом берез.
Ростов в кампании позволял себе вольность ездить не на фронтовой лошади, а на казацкой. И знаток и охотник, он недавно достал себе лихую донскую, крупную и добрую игреневую лошадь, на которой никто не обскакивал его. Ехать на этой лошади было для Ростова наслаждение. Он думал о лошади, об утре, о докторше и ни разу не подумал о предстоящей опасности.
Прежде Ростов, идя в дело, боялся; теперь он не испытывал ни малейшего чувства страха. Не оттого он не боялся, что он привык к огню (к опасности нельзя привыкнуть), но оттого, что он выучился управлять своей душой перед опасностью. Он привык, идя в дело, думать обо всем, исключая того, что, казалось, было бы интереснее всего другого, – о предстоящей опасности. Сколько он ни старался, ни упрекал себя в трусости первое время своей службы, он не мог этого достигнуть; но с годами теперь это сделалось само собою. Он ехал теперь рядом с Ильиным между березами, изредка отрывая листья с веток, которые попадались под руку, иногда дотрогиваясь ногой до паха лошади, иногда отдавая, не поворачиваясь, докуренную трубку ехавшему сзади гусару, с таким спокойным и беззаботным видом, как будто он ехал кататься. Ему жалко было смотреть на взволнованное лицо Ильина, много и беспокойно говорившего; он по опыту знал то мучительное состояние ожидания страха и смерти, в котором находился корнет, и знал, что ничто, кроме времени, не поможет ему.
