Уравнения Дена — Сомервиля
Поделись знанием:
– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
– Ничего, всё то же; я только пришел поговорить с тобой, Катишь, о деле, – проговорил князь, устало садясь на кресло, с которого она встала. – Как ты нагрела, однако, – сказал он, – ну, садись сюда, causons. [поговорим.]
– Я думала, не случилось ли что? – сказала княжна и с своим неизменным, каменно строгим выражением лица села против князя, готовясь слушать.
– Хотела уснуть, mon cousin, и не могу.
– Ну, что, моя милая? – сказал князь Василий, взяв руку княжны и пригибая ее по своей привычке книзу.
Видно было, что это «ну, что» относилось ко многому такому, что, не называя, они понимали оба.
Княжна, с своею несообразно длинною по ногам, сухою и прямою талией, прямо и бесстрастно смотрела на князя выпуклыми серыми глазами. Она покачала головой и, вздохнув, посмотрела на образа. Жест ее можно было объяснить и как выражение печали и преданности, и как выражение усталости и надежды на скорый отдых. Князь Василий объяснил этот жест как выражение усталости.
– А мне то, – сказал он, – ты думаешь, легче? Je suis ereinte, comme un cheval de poste; [Я заморен, как почтовая лошадь;] а всё таки мне надо с тобой поговорить, Катишь, и очень серьезно.
(перенаправлено с «F-вектор»)
Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.
Формулировка
Для данного простого <math>n</math>-мерного многогранника <math>P</math> обозначим через <math>f_k</math> количество граней <math>P</math> размерности <math>k</math>; в частности, <math>f_n=1</math>. Рассмотрим формальную сумму
- <math>\sum_k f_k\cdot(t-1)^k=\sum_k h_k\cdot t^k</math>
Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид
- <math> h_k=h_{n-k}</math>
для каждого целого <math>k</math>.
Связанные определения
- Последовательность <math>(f_0,f_1,\dots,f_n)</math> называется f-вектором многогранника.
- Последовательность <math>(h_0,h_1,\dots,h_n)</math> называется h-вектором многогранника.
- Если <math>\ell\colon\R^n \to\R</math> — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника <math>P</math> лежат на разных уровнях <math>\ell</math>, тогда <math>h_k</math> равно числу вершин <math>P</math> индекса <math>k</math>; то есть ровно <math>k</math> рёбер из этой вершины идут вниз по <math>\ell</math>. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой <math>\ell</math> на <math>-\ell</math>.
- В дополнении получаем <math>h_k\geqslant 0</math> для любого <math>k</math>, это даёт нетривиальные неравенства на <math>f</math>-вектор.
- Если <math>\ell\colon\R^n \to\R</math> — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника <math>P</math> лежат на разных уровнях <math>\ell</math>, тогда <math>h_k</math> равно числу вершин <math>P</math> индекса <math>k</math>; то есть ровно <math>k</math> рёбер из этой вершины идут вниз по <math>\ell</math>. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой <math>\ell</math> на <math>-\ell</math>.
История
В размерности 4 и 5 соотношения были описаны М.Деном[1]. В общем случае уравнения были описаны Сомервилем (англ.) в 1927.
Напишите отзыв о статье "Уравнения Дена — Сомервиля"
Литература
- ↑ M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586
Отрывок, характеризующий Уравнения Дена — Сомервиля
Она встала и оправила волосы, которые у нее всегда, даже и теперь, были так необыкновенно гладки, как будто они были сделаны из одного куска с головой и покрыты лаком.– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
– Ничего, всё то же; я только пришел поговорить с тобой, Катишь, о деле, – проговорил князь, устало садясь на кресло, с которого она встала. – Как ты нагрела, однако, – сказал он, – ну, садись сюда, causons. [поговорим.]
– Я думала, не случилось ли что? – сказала княжна и с своим неизменным, каменно строгим выражением лица села против князя, готовясь слушать.
– Хотела уснуть, mon cousin, и не могу.
– Ну, что, моя милая? – сказал князь Василий, взяв руку княжны и пригибая ее по своей привычке книзу.
Видно было, что это «ну, что» относилось ко многому такому, что, не называя, они понимали оба.
Княжна, с своею несообразно длинною по ногам, сухою и прямою талией, прямо и бесстрастно смотрела на князя выпуклыми серыми глазами. Она покачала головой и, вздохнув, посмотрела на образа. Жест ее можно было объяснить и как выражение печали и преданности, и как выражение усталости и надежды на скорый отдых. Князь Василий объяснил этот жест как выражение усталости.
– А мне то, – сказал он, – ты думаешь, легче? Je suis ereinte, comme un cheval de poste; [Я заморен, как почтовая лошадь;] а всё таки мне надо с тобой поговорить, Катишь, и очень серьезно.
