G-функция Барнса
G-функция Барнса (обычно обозначаемая G(z)) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. G-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса[1].
Формально G-функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как
- <math>G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right]</math>
где γ — постоянная Эйлера—Маскерони.
Дифференциальные уравнения, функциональные уравнения и частные значения
G-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению
- <math> G(z+1)=\Gamma(z)G(z) </math>
- G(n)=sf(n-2), где sf(x) - суперфакториал x
- G(8)=sf(6)=6!5!4!3!2!=24883200
если принять, что G(1)=1. В дифференциальном уравнении подразумевается, что G принимает следующие значение при целых значениях аргумента:
- <math>G(n)=\begin{cases} 0&\mbox{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\mbox{if }n=1,2,\dots\end{cases}</math>
таким образом
- <math>G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}</math>
где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет G-функцию, если добавлено условие выпуклости: <math>\frac{d^3}{dx^3}G(x)\geq 0</math>[2].
Дифференциальное уравнение для G-функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для G-функции, доказанным Германом Кинкелиным:
- <math> G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx.</math>
Формула умножения
Схожая с Гамма-функцией, G-функция также имеет формулу умножения[3]:
- <math>
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right) </math> где
- <math> K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\, (Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.</math>
Здесь <math>\zeta^\prime</math> — это дзета-функция Римана и <math>A</math> — это постоянная Глейшера—Кинкелина.
Напишите отзыв о статье "G-функция Барнса"
Примечания
- ↑ E.W. Barnes, «The theory of the G-function», Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264—314.
- ↑ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL<math>(2,\mathbb{Z})</math>, Astérisque 61, 235—249 (1979).
- ↑ I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493—507 (1988).
Отрывок, характеризующий G-функция Барнса
Два молодые человека, студент и офицер, друзья с детства, были одних лет и оба красивы, но не похожи друг на друга. Борис был высокий белокурый юноша с правильными тонкими чертами спокойного и красивого лица; Николай был невысокий курчавый молодой человек с открытым выражением лица. На верхней губе его уже показывались черные волосики, и во всем лице выражались стремительность и восторженность.Николай покраснел, как только вошел в гостиную. Видно было, что он искал и не находил, что сказать; Борис, напротив, тотчас же нашелся и рассказал спокойно, шутливо, как эту Мими куклу он знал еще молодою девицей с неиспорченным еще носом, как она в пять лет на его памяти состарелась и как у ней по всему черепу треснула голова. Сказав это, он взглянул на Наташу. Наташа отвернулась от него, взглянула на младшего брата, который, зажмурившись, трясся от беззвучного смеха, и, не в силах более удерживаться, прыгнула и побежала из комнаты так скоро, как только могли нести ее быстрые ножки. Борис не рассмеялся.
– Вы, кажется, тоже хотели ехать, maman? Карета нужна? – .сказал он, с улыбкой обращаясь к матери.
– Да, поди, поди, вели приготовить, – сказала она, уливаясь.
Борис вышел тихо в двери и пошел за Наташей, толстый мальчик сердито побежал за ними, как будто досадуя на расстройство, происшедшее в его занятиях.
Из молодежи, не считая старшей дочери графини (которая была четырьмя годами старше сестры и держала себя уже, как большая) и гостьи барышни, в гостиной остались Николай и Соня племянница. Соня была тоненькая, миниатюрненькая брюнетка с мягким, отененным длинными ресницами взглядом, густой черною косой, два раза обвившею ее голову, и желтоватым оттенком кожи на лице и в особенности на обнаженных худощавых, но грациозных мускулистых руках и шее. Плавностью движений, мягкостью и гибкостью маленьких членов и несколько хитрою и сдержанною манерой она напоминала красивого, но еще не сформировавшегося котенка, который будет прелестною кошечкой. Она, видимо, считала приличным выказывать улыбкой участие к общему разговору; но против воли ее глаза из под длинных густых ресниц смотрели на уезжавшего в армию cousin [двоюродного брата] с таким девическим страстным обожанием, что улыбка ее не могла ни на мгновение обмануть никого, и видно было, что кошечка присела только для того, чтоб еще энергичнее прыгнуть и заиграть с своим соusin, как скоро только они так же, как Борис с Наташей, выберутся из этой гостиной.
