H-принцип

H-принцип (читается аш-принцип) — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных, и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределенных систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

Теория оформилась в работах Элиашберга, Громова и Филлипса. Основанием послужили более ранние результаты, в которых решение дифференциальных соотношений сводилось к гомотопии, в частности в задачах о погружениях. Первые идеи h-принципа появились в теореме Уитни — Грауштайна, теореме Нэша — Кёйпера и теореме Смейла — Хирша.

Примерное представление

Предположим, мы хотим найти функцию <math>f</math> на <math>\mathbb{R}^m</math>, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных степени <math>k</math> в координатах <math>(u_1,u_2,\dots,u_m)</math>. Это уравнение можно записать как

<math>\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m, J^k_f)=0,</math>

где <math>J^k_f</math> означает все частные производные <math>f</math> до степени <math>k</math>. Вместо каждой переменной в <math>J^k_f</math> подставим независимую переменную <math>y_1,y_2,\dots,y_N.</math> Наше исходное уравнение можно рассматривать как систему

<math>\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0</math>

и некоторое количество уравнений следующего типа

<math>y_j={\partial^k f\over \partial u_{i_1}\ldots\partial u_{i_k}}.</math>

Решение уравнения

<math>\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0</math>

называется неголономным решением, решение системы (которое является решением нашего первоначального уравнения) называется голономным решением.

Для существования голономного решения необходимо существование  неголономного решения. Обычно последнее довольно легко проверить, и если его нет, то наше исходное уравнение не имеет решений.

Говорят, что уравнение в частных производных удовлетворяет h-принципу, если любое неголономное решение может быть продеформировано в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при выполнении h-принципa, дифференциальнo-топологическая задача сводится к алгебраической и топологической задаче. Более конкретно это означает, что кроме топологических, нет других препятствий для существования голономных решений. Топологическая проблема поиска неголономных решение обычно намного проще.

Многие недоопределенные дифференциальные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу.

Невыполнение h-принципа для определённого уравнения — тоже интересное утверждение, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которая не может быть сведена к топологии. Примером служат лагранжевы вложения в симплектическое многообразие; они не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, используют инварианты на основе псевдо-голоморфных кривых.

Простейший пример

Рассмотрим автомобиль, движущийся в плоскости. Положение машины на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами <math>x</math> и <math>y</math> (например, пусть эти координаты задают положение средней точки между задними колёсами) и углом <math>\alpha</math>, который описывает ориентацию автомобиля. В движении автомобиль удовлетворяет уравнению

<math>\dot x \sin\alpha=\dot y\cos \alpha,</math>

предполагая, что автомобиль двигается без заноса.

Неголономное решение в данном случае соответствует движению автомобиля за счет скольжения в плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также они сколь угодно хорошо аппроксимируются голономными (этого можно добиться движением взад-вперед, как при параллельной парковке в ограниченном пространстве) — обратите внимание, что при этом и положение и направление автомобиля аппроксимируются сколь угодно близко. Последнее свойство сильнее, чем общий h-принцип; оно называется <math>C^0</math>-плотный h-принцип.

Приложения

Здесь перечислены несколько контринтуитивных результатов, которые можно доказана применением h-принципа:

• Выворачивание конуса. Рассмотрим функцию f на R² без начала координат, <math>f(x) = |x|</math>. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство функций <math>f_t</math> таких, что <math>f_0=f</math>, <math>f_1=-f</math>, и для любого <math>t</math> <math>\operatorname{grad}(f_t)</math> не равен нулю в любой точке.

• Любое открытое многообразие допускает (не полную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.

• Выворачивание сферы без складок или разрыва может быть проделано, используя <math>C^1</math> изометрическое вложение <math>S^2</math>.

• теорема Нэша о вложении

Литература

• Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. [biblio.mccme.ru/node/1695 Введение в h-принцип]. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.
• Громов М. Дифференцальные соотношения с частными производными. — М.: Мир. — ISBN 5-03-001297-4.
• Н. Х. Кёйпер, О C¹-изометрических вложениях // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 17—28.
• Дж. Нэш, C¹-изометрические вложения // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 3—16.
• M. W. Hirsch, Immersions of manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)
• S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math(2) 69 (1959)
• David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998

Отрывок, характеризующий H-принцип

– Приехали. Жюли Друбецкая говорила мне. Я поехал к ним и не застал. Они уехали в подмосковную.


Офицеры хотели откланяться, но князь Андрей, как будто не желая оставаться с глазу на глаз с своим другом, предложил им посидеть и напиться чаю. Подали скамейки и чай. Офицеры не без удивления смотрели на толстую, громадную фигуру Пьера и слушали его рассказы о Москве и о расположении наших войск, которые ему удалось объездить. Князь Андрей молчал, и лицо его так было неприятно, что Пьер обращался более к добродушному батальонному командиру Тимохину, чем к Болконскому.
– Так ты понял все расположение войск? – перебил его князь Андрей.
– Да, то есть как? – сказал Пьер. – Как невоенный человек, я не могу сказать, чтобы вполне, но все таки понял общее расположение.
– Eh bien, vous etes plus avance que qui cela soit, [Ну, так ты больше знаешь, чем кто бы то ни было.] – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Пьер с недоуменьем, через очки глядя на князя Андрея. – Ну, как вы скажете насчет назначения Кутузова? – сказал он.
– Я очень рад был этому назначению, вот все, что я знаю, – сказал князь Андрей.
– Ну, а скажите, какое ваше мнение насчет Барклая де Толли? В Москве бог знает что говорили про него. Как вы судите о нем?
– Спроси вот у них, – сказал князь Андрей, указывая на офицеров.
Пьер с снисходительно вопросительной улыбкой, с которой невольно все обращались к Тимохину, посмотрел на него.
– Свет увидали, ваше сиятельство, как светлейший поступил, – робко и беспрестанно оглядываясь на своего полкового командира, сказал Тимохин.
– Отчего же так? – спросил Пьер.
– Да вот хоть бы насчет дров или кормов, доложу вам. Ведь мы от Свенцян отступали, не смей хворостины тронуть, или сенца там, или что. Ведь мы уходим, ему достается, не так ли, ваше сиятельство? – обратился он к своему князю, – а ты не смей. В нашем полку под суд двух офицеров отдали за этакие дела. Ну, как светлейший поступил, так насчет этого просто стало. Свет увидали…
– Так отчего же он запрещал?
Тимохин сконфуженно оглядывался, не понимая, как и что отвечать на такой вопрос. Пьер с тем же вопросом обратился к князю Андрею.
– А чтобы не разорять край, который мы оставляли неприятелю, – злобно насмешливо сказал князь Андрей. – Это очень основательно; нельзя позволять грабить край и приучаться войскам к мародерству. Ну и в Смоленске он тоже правильно рассудил, что французы могут обойти нас и что у них больше сил. Но он не мог понять того, – вдруг как бы вырвавшимся тонким голосом закричал князь Андрей, – но он не мог понять, что мы в первый раз дрались там за русскую землю, что в войсках был такой дух, какого никогда я не видал, что мы два дня сряду отбивали французов и что этот успех удесятерял наши силы. Он велел отступать, и все усилия и потери пропали даром. Он не думал об измене, он старался все сделать как можно лучше, он все обдумал; но от этого то он и не годится. Он не годится теперь именно потому, что он все обдумывает очень основательно и аккуратно, как и следует всякому немцу. Как бы тебе сказать… Ну, у отца твоего немец лакей, и он прекрасный лакей и удовлетворит всем его нуждам лучше тебя, и пускай он служит; но ежели отец при смерти болен, ты прогонишь лакея и своими непривычными, неловкими руками станешь ходить за отцом и лучше успокоишь его, чем искусный, но чужой человек. Так и сделали с Барклаем. Пока Россия была здорова, ей мог служить чужой, и был прекрасный министр, но как только она в опасности; нужен свой, родной человек. А у вас в клубе выдумали, что он изменник! Тем, что его оклеветали изменником, сделают только то, что потом, устыдившись своего ложного нарекания, из изменников сделают вдруг героем или гением, что еще будет несправедливее. Он честный и очень аккуратный немец…
– Однако, говорят, он искусный полководец, – сказал Пьер.
– Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей.
– Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника.
– Да это невозможно, – сказал князь Андрей, как будто про давно решенное дело.
Пьер с удивлением посмотрел на него.
– Однако, – сказал он, – ведь говорят же, что война подобна шахматной игре.
– Да, – сказал князь Андрей, – только с тою маленькою разницей, что в шахматах над каждым шагом ты можешь думать сколько угодно, что ты там вне условий времени, и еще с той разницей, что конь всегда сильнее пешки и две пешки всегда сильнее одной, a на войне один батальон иногда сильнее дивизии, а иногда слабее роты. Относительная сила войск никому не может быть известна. Поверь мне, – сказал он, – что ежели бы что зависело от распоряжений штабов, то я бы был там и делал бы распоряжения, а вместо того я имею честь служить здесь, в полку вот с этими господами, и считаю, что от нас действительно будет зависеть завтрашний день, а не от них… Успех никогда не зависел и не будет зависеть ни от позиции, ни от вооружения, ни даже от числа; а уж меньше всего от позиции.
– А от чего же?
– От того чувства, которое есть во мне, в нем, – он указал на Тимохина, – в каждом солдате.
Князь Андрей взглянул на Тимохина, который испуганно и недоумевая смотрел на своего командира. В противность своей прежней сдержанной молчаливости князь Андрей казался теперь взволнованным. Он, видимо, не мог удержаться от высказывания тех мыслей, которые неожиданно приходили ему.
– Сражение выиграет тот, кто твердо решил его выиграть. Отчего мы под Аустерлицем проиграли сражение? У нас потеря была почти равная с французами, но мы сказали себе очень рано, что мы проиграли сражение, – и проиграли. А сказали мы это потому, что нам там незачем было драться: поскорее хотелось уйти с поля сражения. «Проиграли – ну так бежать!» – мы и побежали. Ежели бы до вечера мы не говорили этого, бог знает что бы было. А завтра мы этого не скажем. Ты говоришь: наша позиция, левый фланг слаб, правый фланг растянут, – продолжал он, – все это вздор, ничего этого нет. А что нам предстоит завтра? Сто миллионов самых разнообразных случайностей, которые будут решаться мгновенно тем, что побежали или побегут они или наши, что убьют того, убьют другого; а то, что делается теперь, – все это забава. Дело в том, что те, с кем ты ездил по позиции, не только не содействуют общему ходу дел, но мешают ему. Они заняты только своими маленькими интересами.