K-пространство (топология)

Для термина «k-пространство» см. также другие значения.

k-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которого с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Определение

Топологическое пространство <math>X</math> называют k-пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества <math>A\subset X</math> выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

• Множество <math>A</math> замкнуто в <math>X</math> тогда и только тогда, когда всякое его пересечение <math>A\cap K</math> с каждым компактным множеством <math>K\subset X</math> замкнуто в этом множестве <math>K</math>.
• Множество <math>A</math> открыто в <math>X</math> тогда и только тогда, когда всякое его пересечение <math>A\cap K</math> с каждым компактным множеством <math>K\subset X</math> открыто в этом множестве <math>K</math>.

Часто под k-пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.

Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение k-пространства: хаусдорфово пространство <math>X</math> является k-пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).

Отображения в k-пространствах

Отображение <math>f\colon X \to Y</math> k-пространства <math>X</math> в произвольное топологическое пространство <math>Y</math> непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения <math>f|_K</math> на компактное множество <math>K</math> непрерывно.

Непрерывное отображение <math>f\colon X \to Y</math> произвольного топологического пространство <math>X</math> в k-пространство <math>Y</math> замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества <math>K</math> из области значений <math>Y</math> сужение этого отображения <math>f_K\colon f^{-1} (K) \to K</math> замкнуто (соответственно открыто, факторно).

Если даны два факторных отображения <math>f_1\colon X_1 \to Y_1</math> и <math>f_2\colon X_2 \to Y_2</math>, у которых области определения <math>X_1</math> и <math>X_2</math> и произведение областей значений <math>Y_1\times Y_2</math> являются k-пространствами, то декартово произведение этих отображений <math>f_1 \times f_2 \colon X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2</math> является факторным отображением.

Сохранение при операциях

Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова k-пространства является k-пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова k-пространства может не быть k-пространством.

Сумма семейства топологических пространств является k-пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются k-пространствами.

Произведение хаусдорфова k-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является k-пространством. При этом произведение двух k-пространств в общем случае не является k-пространством.

Хаусдорфов образ хаусдорфова k-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является k-пространством. При этом образ хаусдорфова k-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть k-пространством, даже если он совершенно нормален.

Связь с другими классами пространств

Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является k-пространством.

Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является k-пространством.

Всякое пространство точечно счётного типа является k-пространством.

Каждый CW-комплекс является k-пространством.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Спеньер, Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — 680 с.

Отрывок, характеризующий K-пространство (топология)

В 12 м году, когда до Букарешта (где два месяца жил Кутузов, проводя дни и ночи у своей валашки) дошла весть о войне с Наполеоном, князь Андрей попросил у Кутузова перевода в Западную армию. Кутузов, которому уже надоел Болконский своей деятельностью, служившей ему упреком в праздности, Кутузов весьма охотно отпустил его и дал ему поручение к Барклаю де Толли.
Прежде чем ехать в армию, находившуюся в мае в Дрисском лагере, князь Андрей заехал в Лысые Горы, которые были на самой его дороге, находясь в трех верстах от Смоленского большака. Последние три года и жизни князя Андрея было так много переворотов, так много он передумал, перечувствовал, перевидел (он объехал и запад и восток), что его странно и неожиданно поразило при въезде в Лысые Горы все точно то же, до малейших подробностей, – точно то же течение жизни. Он, как в заколдованный, заснувший замок, въехал в аллею и в каменные ворота лысогорского дома. Та же степенность, та же чистота, та же тишина были в этом доме, те же мебели, те же стены, те же звуки, тот же запах и те же робкие лица, только несколько постаревшие. Княжна Марья была все та же робкая, некрасивая, стареющаяся девушка, в страхе и вечных нравственных страданиях, без пользы и радости проживающая лучшие годы своей жизни. Bourienne была та же радостно пользующаяся каждой минутой своей жизни и исполненная самых для себя радостных надежд, довольная собой, кокетливая девушка. Она только стала увереннее, как показалось князю Андрею. Привезенный им из Швейцарии воспитатель Десаль был одет в сюртук русского покроя, коверкая язык, говорил по русски со слугами, но был все тот же ограниченно умный, образованный, добродетельный и педантический воспитатель. Старый князь переменился физически только тем, что с боку рта у него стал заметен недостаток одного зуба; нравственно он был все такой же, как и прежде, только с еще большим озлоблением и недоверием к действительности того, что происходило в мире. Один только Николушка вырос, переменился, разрумянился, оброс курчавыми темными волосами и, сам не зная того, смеясь и веселясь, поднимал верхнюю губку хорошенького ротика точно так же, как ее поднимала покойница маленькая княгиня. Он один не слушался закона неизменности в этом заколдованном, спящем замке. Но хотя по внешности все оставалось по старому, внутренние отношения всех этих лиц изменились, с тех пор как князь Андрей не видал их. Члены семейства были разделены на два лагеря, чуждые и враждебные между собой, которые сходились теперь только при нем, – для него изменяя свой обычный образ жизни. К одному принадлежали старый князь, m lle Bourienne и архитектор, к другому – княжна Марья, Десаль, Николушка и все няньки и мамки.
Во время его пребывания в Лысых Горах все домашние обедали вместе, но всем было неловко, и князь Андрей чувствовал, что он гость, для которого делают исключение, что он стесняет всех своим присутствием. Во время обеда первого дня князь Андрей, невольно чувствуя это, был молчалив, и старый князь, заметив неестественность его состояния, тоже угрюмо замолчал и сейчас после обеда ушел к себе. Когда ввечеру князь Андрей пришел к нему и, стараясь расшевелить его, стал рассказывать ему о кампании молодого графа Каменского, старый князь неожиданно начал с ним разговор о княжне Марье, осуждая ее за ее суеверие, за ее нелюбовь к m lle Bourienne, которая, по его словам, была одна истинно предана ему.
Старый князь говорил, что ежели он болен, то только от княжны Марьи; что она нарочно мучает и раздражает его; что она баловством и глупыми речами портит маленького князя Николая. Старый князь знал очень хорошо, что он мучает свою дочь, что жизнь ее очень тяжела, но знал тоже, что он не может не мучить ее и что она заслуживает этого. «Почему же князь Андрей, который видит это, мне ничего не говорит про сестру? – думал старый князь. – Что же он думает, что я злодей или старый дурак, без причины отдалился от дочери и приблизил к себе француженку? Он не понимает, и потому надо объяснить ему, надо, чтоб он выслушал», – думал старый князь. И он стал объяснять причины, по которым он не мог переносить бестолкового характера дочери.
– Ежели вы спрашиваете меня, – сказал князь Андрей, не глядя на отца (он в первый раз в жизни осуждал своего отца), – я не хотел говорить; но ежели вы меня спрашиваете, то я скажу вам откровенно свое мнение насчет всего этого. Ежели есть недоразумения и разлад между вами и Машей, то я никак не могу винить ее – я знаю, как она вас любит и уважает. Ежели уж вы спрашиваете меня, – продолжал князь Андрей, раздражаясь, потому что он всегда был готов на раздражение в последнее время, – то я одно могу сказать: ежели есть недоразумения, то причиной их ничтожная женщина, которая бы не должна была быть подругой сестры.