K-ядро

K-ядро (от англ. kernel) — принцип оптимальности в кооперативных играх, впервые введен в работе М. Дэвиса и М. Машлера (1965).

Пусть задана кооперативная игра с характеристической функцией <math> \nu : 2^N \to \mathbb{R} </math> и <math> x \in \mathbb{R}^N </math> — эффективный вектор выигрышей. Максимальный излишек игрока <math> i </math> над игроком <math> j </math> по отношению к <math> x </math> определяется как

<math> s_{ij}^\nu(x) = \max \left\{ \nu(S) - \sum_{ k \in S } x_k : S \subseteq N \setminus \{ j \}, S \ni i \right\} </math>.

Максимальный излишек представляет собой наибольший выигрыш, который игрок <math> i </math> может получить, войдя в какую-либо частичную коалицию <math> S </math> без кооперации с игроком <math> j </math>, в предположении, что остальные игроки в составе коалиции <math> S </math> удовлетворены выигрышами, которые доставляет им распределение <math> x </math>. Он представляет собой способ измерения сравнительной переговорной силы игроков. K-ядром кооперативной игры <math> \nu </math> называется множество дележей <math> x </math>, удовлетворяющих условиям:

<math> ( s_{ij}^\nu(x) - s_{ji}^\nu(x) ) ( x_j - \nu(j) ) \leq 0 </math>;

<math> ( s_{ji}^\nu(x) - s_{ij}^\nu(x) ) ( x_i - \nu(i) ) \leq 0 </math>;

для всех пар игроков <math> i, j </math>.

Интуитивно, игрок <math> i </math> имеет большую переговорную силу, чем игрок <math> j </math> при дележе <math> x </math>, если <math> s_{ij}^\nu(x) > s_{ji}^\nu(x) </math>, но игрок <math> j </math> защищен от угроз игрока <math> i </math>, если <math> x_j = \nu(j) </math>, так как в этом случае он может получить выигрыш <math> x_j </math> без кооперации. K-ядро содержит все дележи, при которых ни один игрок не имеет такой переговорной силы ни над каким другим игроком.

Ссылки

• Davis, M., Maschler, M. The kernel of a cooperative game // Naval Research Logistics Quarterly. — 1965. — Vol.12. — P. 223–259.

См.также

• Кооперативная игра (математика)
• С-ядро
• N-ядро

Отрывок, характеризующий K-ядро

Как бы примериваясь и приготовляясь к предстоящему движению, силы запада несколько раз в 1805 м, 6 м, 7 м, 9 м году стремятся на восток, крепчая и нарастая. В 1811 м году группа людей, сложившаяся во Франции, сливается в одну огромную группу с серединными народами. Вместе с увеличивающейся группой людей дальше развивается сила оправдания человека, стоящего во главе движения. В десятилетний приготовительный период времени, предшествующий большому движению, человек этот сводится со всеми коронованными лицами Европы. Разоблаченные владыки мира не могут противопоставить наполеоновскому идеалу славы и величия, не имеющего смысла, никакого разумного идеала. Один перед другим, они стремятся показать ему свое ничтожество. Король прусский посылает свою жену заискивать милости великого человека; император Австрии считает за милость то, что человек этот принимает в свое ложе дочь кесарей; папа, блюститель святыни народов, служит своей религией возвышению великого человека. Не столько сам Наполеон приготовляет себя для исполнения своей роли, сколько все окружающее готовит его к принятию на себя всей ответственности того, что совершается и имеет совершиться. Нет поступка, нет злодеяния или мелочного обмана, который бы он совершил и который тотчас же в устах его окружающих не отразился бы в форме великого деяния. Лучший праздник, который могут придумать для него германцы, – это празднование Иены и Ауерштета. Не только он велик, но велики его предки, его братья, его пасынки, зятья. Все совершается для того, чтобы лишить его последней силы разума и приготовить к его страшной роли. И когда он готов, готовы и силы.