Симплекс

Поделись знанием:
(перенаправлено с «N-мерный тетраэдр»)
Перейти к: навигация, поиск

Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.





Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка (n + 1) точек аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в <math>(n-1)</math>-мерном подпространстве). Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения

  • Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>, определяемое как:

<math>\Delta^n=\{(t_0,\dots, t_n)\mid {\left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}.</math>

Его вершинами являются точки:

e0=(1, 0, …, 0),
e1=(0, 1, …, 0),
en=(0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин <math>(v_0, v_1,\dots, v_n)</math>:

<math>(t_0,\dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.</math>

Значения ti для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Свойства

  • n-мерный симплекс имеет <math>n+1</math> вершин, любые <math>k+1</math> из которых образуют k-мерную грань.
    • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту <math>\tbinom{n+1}{k+1}.</math>
    • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно <math>n+1</math>.
  • Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:
    <math>V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)</math>

0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}</math>

где <math>d_{ij}=|v_i - v_j|</math> — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.
  • Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен <math>\frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}.</math>
  • Радиус <math>R</math> описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
    <math>(R{\cdot}V)^2=T,</math>
где <math>V</math>-объем симплекса и
<math>T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^2} \begin{vmatrix}

0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\

d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\
d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\

\vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots& \\

d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\

\end{vmatrix}</math>

Построение

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n+1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n–мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n–мерного многогранника.

Простейший n–мерный многогранник с количеством вершин n + 1 называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

  1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
  2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
  3. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.


Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса

<math>K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},</math>

где <math>C^m_n</math> – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

<math>K(0,n) = K(n-1,n) = n+1.</math>

Соотношения в правильном симплексе

В правильном n-мерном симплексе со стороной a обозначим:

  • Hn — высоту;
  • Vn — объём;
  • Rn — радиус описанной сферы;
  • rn — радиус вписанной сферы;
  • αn — двугранный угол.

Тогда

  • <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}</math>
  • <math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}= \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>
  • <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>
  • <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}</math>
  • <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>
  • <math>R_n = H_n \frac{n}{n-1}</math>
  • <math>a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2</math>
  • <math>V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n </math>
  • <math>r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2</math>

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней <math>K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}</math>
Высота <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}</math> <math>H_n = R_n \frac{n+1}{n}</math> <math>H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math> <math>H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3}</math> <math>H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}</math>
Объём <math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}</math> <math>V_n = \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math> <math>V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}</math> <math>V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12}</math> <math>V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}</math>
Радиус описанной сферы <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math> <math>a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}</math> <math>R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3}</math> <math>R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4}</math> <math>R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}</math>
Радиус вписанной сферы <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}</math> <math>r_n = \frac{R_n}{n}</math> <math>r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6}</math> <math>r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12}</math> <math>r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}</math>
Двугранный угол <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>

Напишите отзыв о статье "Симплекс"

Литература

  • Александров П. С. Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

См. также

Ссылки

Отрывок, характеризующий Симплекс

– Ты слышал отзыв? – сказал гвардейский офицер другому. Третьего дня было Napoleon, France, bravoure; [Наполеон, Франция, храбрость;] вчера Alexandre, Russie, grandeur; [Александр, Россия, величие;] один день наш государь дает отзыв, а другой день Наполеон. Завтра государь пошлет Георгия самому храброму из французских гвардейцев. Нельзя же! Должен ответить тем же.
Борис с своим товарищем Жилинским тоже пришел посмотреть на банкет преображенцев. Возвращаясь назад, Борис заметил Ростова, который стоял у угла дома.
– Ростов! здравствуй; мы и не видались, – сказал он ему, и не мог удержаться, чтобы не спросить у него, что с ним сделалось: так странно мрачно и расстроено было лицо Ростова.
– Ничего, ничего, – отвечал Ростов.
– Ты зайдешь?
– Да, зайду.
Ростов долго стоял у угла, издалека глядя на пирующих. В уме его происходила мучительная работа, которую он никак не мог довести до конца. В душе поднимались страшные сомнения. То ему вспоминался Денисов с своим изменившимся выражением, с своей покорностью и весь госпиталь с этими оторванными руками и ногами, с этой грязью и болезнями. Ему так живо казалось, что он теперь чувствует этот больничный запах мертвого тела, что он оглядывался, чтобы понять, откуда мог происходить этот запах. То ему вспоминался этот самодовольный Бонапарте с своей белой ручкой, который был теперь император, которого любит и уважает император Александр. Для чего же оторванные руки, ноги, убитые люди? То вспоминался ему награжденный Лазарев и Денисов, наказанный и непрощенный. Он заставал себя на таких странных мыслях, что пугался их.
Запах еды преображенцев и голод вызвали его из этого состояния: надо было поесть что нибудь, прежде чем уехать. Он пошел к гостинице, которую видел утром. В гостинице он застал так много народу, офицеров, так же как и он приехавших в статских платьях, что он насилу добился обеда. Два офицера одной с ним дивизии присоединились к нему. Разговор естественно зашел о мире. Офицеры, товарищи Ростова, как и большая часть армии, были недовольны миром, заключенным после Фридланда. Говорили, что еще бы подержаться, Наполеон бы пропал, что у него в войсках ни сухарей, ни зарядов уж не было. Николай молча ел и преимущественно пил. Он выпил один две бутылки вина. Внутренняя поднявшаяся в нем работа, не разрешаясь, всё также томила его. Он боялся предаваться своим мыслям и не мог отстать от них. Вдруг на слова одного из офицеров, что обидно смотреть на французов, Ростов начал кричать с горячностью, ничем не оправданною, и потому очень удивившею офицеров.
– И как вы можете судить, что было бы лучше! – закричал он с лицом, вдруг налившимся кровью. – Как вы можете судить о поступках государя, какое мы имеем право рассуждать?! Мы не можем понять ни цели, ни поступков государя!
– Да я ни слова не говорил о государе, – оправдывался офицер, не могший иначе как тем, что Ростов пьян, объяснить себе его вспыльчивости.
Но Ростов не слушал.
– Мы не чиновники дипломатические, а мы солдаты и больше ничего, – продолжал он. – Умирать велят нам – так умирать. А коли наказывают, так значит – виноват; не нам судить. Угодно государю императору признать Бонапарте императором и заключить с ним союз – значит так надо. А то, коли бы мы стали обо всем судить да рассуждать, так этак ничего святого не останется. Этак мы скажем, что ни Бога нет, ничего нет, – ударяя по столу кричал Николай, весьма некстати, по понятиям своих собеседников, но весьма последовательно по ходу своих мыслей.
– Наше дело исполнять свой долг, рубиться и не думать, вот и всё, – заключил он.
– И пить, – сказал один из офицеров, не желавший ссориться.
– Да, и пить, – подхватил Николай. – Эй ты! Еще бутылку! – крикнул он.



В 1808 году император Александр ездил в Эрфурт для нового свидания с императором Наполеоном, и в высшем Петербургском обществе много говорили о величии этого торжественного свидания.
В 1809 году близость двух властелинов мира, как называли Наполеона и Александра, дошла до того, что, когда Наполеон объявил в этом году войну Австрии, то русский корпус выступил за границу для содействия своему прежнему врагу Бонапарте против прежнего союзника, австрийского императора; до того, что в высшем свете говорили о возможности брака между Наполеоном и одной из сестер императора Александра. Но, кроме внешних политических соображений, в это время внимание русского общества с особенной живостью обращено было на внутренние преобразования, которые были производимы в это время во всех частях государственного управления.
Жизнь между тем, настоящая жизнь людей с своими существенными интересами здоровья, болезни, труда, отдыха, с своими интересами мысли, науки, поэзии, музыки, любви, дружбы, ненависти, страстей, шла как и всегда независимо и вне политической близости или вражды с Наполеоном Бонапарте, и вне всех возможных преобразований.
Князь Андрей безвыездно прожил два года в деревне. Все те предприятия по именьям, которые затеял у себя Пьер и не довел ни до какого результата, беспрестанно переходя от одного дела к другому, все эти предприятия, без выказыванья их кому бы то ни было и без заметного труда, были исполнены князем Андреем.
Он имел в высшей степени ту недостававшую Пьеру практическую цепкость, которая без размахов и усилий с его стороны давала движение делу.
Одно именье его в триста душ крестьян было перечислено в вольные хлебопашцы (это был один из первых примеров в России), в других барщина заменена оброком. В Богучарово была выписана на его счет ученая бабка для помощи родильницам, и священник за жалованье обучал детей крестьянских и дворовых грамоте.
Одну половину времени князь Андрей проводил в Лысых Горах с отцом и сыном, который был еще у нянек; другую половину времени в богучаровской обители, как называл отец его деревню. Несмотря на выказанное им Пьеру равнодушие ко всем внешним событиям мира, он усердно следил за ними, получал много книг, и к удивлению своему замечал, когда к нему или к отцу его приезжали люди свежие из Петербурга, из самого водоворота жизни, что эти люди, в знании всего совершающегося во внешней и внутренней политике, далеко отстали от него, сидящего безвыездно в деревне.
Кроме занятий по именьям, кроме общих занятий чтением самых разнообразных книг, князь Андрей занимался в это время критическим разбором наших двух последних несчастных кампаний и составлением проекта об изменении наших военных уставов и постановлений.
Весною 1809 года, князь Андрей поехал в рязанские именья своего сына, которого он был опекуном.
Пригреваемый весенним солнцем, он сидел в коляске, поглядывая на первую траву, первые листья березы и первые клубы белых весенних облаков, разбегавшихся по яркой синеве неба. Он ни о чем не думал, а весело и бессмысленно смотрел по сторонам.
Проехали перевоз, на котором он год тому назад говорил с Пьером. Проехали грязную деревню, гумны, зеленя, спуск, с оставшимся снегом у моста, подъём по размытой глине, полосы жнивья и зеленеющего кое где кустарника и въехали в березовый лес по обеим сторонам дороги. В лесу было почти жарко, ветру не слышно было. Береза вся обсеянная зелеными клейкими листьями, не шевелилась и из под прошлогодних листьев, поднимая их, вылезала зеленея первая трава и лиловые цветы. Рассыпанные кое где по березнику мелкие ели своей грубой вечной зеленью неприятно напоминали о зиме. Лошади зафыркали, въехав в лес и виднее запотели.
Лакей Петр что то сказал кучеру, кучер утвердительно ответил. Но видно Петру мало было сочувствования кучера: он повернулся на козлах к барину.
– Ваше сиятельство, лёгко как! – сказал он, почтительно улыбаясь.
– Что!
– Лёгко, ваше сиятельство.
«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.