Ортогональная группа
Поделись знанием:
Раздались звонки; старшины бросились вперед; разбросанные в разных комнатах гости, как встряхнутая рожь на лопате, столпились в одну кучу и остановились в большой гостиной у дверей залы.
В дверях передней показался Багратион, без шляпы и шпаги, которые он, по клубному обычаю, оставил у швейцара. Он был не в смушковом картузе с нагайкой через плечо, как видел его Ростов в ночь накануне Аустерлицкого сражения, а в новом узком мундире с русскими и иностранными орденами и с георгиевской звездой на левой стороне груди. Он видимо сейчас, перед обедом, подстриг волосы и бакенбарды, что невыгодно изменяло его физиономию. На лице его было что то наивно праздничное, дававшее, в соединении с его твердыми, мужественными чертами, даже несколько комическое выражение его лицу. Беклешов и Федор Петрович Уваров, приехавшие с ним вместе, остановились в дверях, желая, чтобы он, как главный гость, прошел вперед их. Багратион смешался, не желая воспользоваться их учтивостью; произошла остановка в дверях, и наконец Багратион всё таки прошел вперед. Он шел, не зная куда девать руки, застенчиво и неловко, по паркету приемной: ему привычнее и легче было ходить под пулями по вспаханному полю, как он шел перед Курским полком в Шенграбене. Старшины встретили его у первой двери, сказав ему несколько слов о радости видеть столь дорогого гостя, и недождавшись его ответа, как бы завладев им, окружили его и повели в гостиную. В дверях гостиной не было возможности пройти от столпившихся членов и гостей, давивших друг друга и через плечи друг друга старавшихся, как редкого зверя, рассмотреть Багратиона. Граф Илья Андреич, энергичнее всех, смеясь и приговаривая: – пусти, mon cher, пусти, пусти, – протолкал толпу, провел гостей в гостиную и посадил на средний диван. Тузы, почетнейшие члены клуба, обступили вновь прибывших. Граф Илья Андреич, проталкиваясь опять через толпу, вышел из гостиной и с другим старшиной через минуту явился, неся большое серебряное блюдо, которое он поднес князю Багратиону. На блюде лежали сочиненные и напечатанные в честь героя стихи. Багратион, увидав блюдо, испуганно оглянулся, как бы отыскивая помощи. Но во всех глазах было требование того, чтобы он покорился. Чувствуя себя в их власти, Багратион решительно, обеими руками, взял блюдо и сердито, укоризненно посмотрел на графа, подносившего его. Кто то услужливо вынул из рук Багратиона блюдо (а то бы он, казалось, намерен был держать его так до вечера и так итти к столу) и обратил его внимание на стихи. «Ну и прочту», как будто сказал Багратион и устремив усталые глаза на бумагу, стал читать с сосредоточенным и серьезным видом. Сам сочинитель взял стихи и стал читать. Князь Багратион склонил голову и слушал.
(перенаправлено с «O(n)»)
| Группа (математика) | ||||||
| ||||||
| Теория групп | ||||||
| ||||||
| См. также: Портал:Физика |
Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований <math>n</math>-мерного векторного пространства <math>V</math> над полем <math>k</math>, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму <math>Q</math> на <math>V</math> (то есть таких линейных преобразований <math>\varphi</math>, что <math>Q(\varphi(v))=Q(v)</math> для любого <math>v\in V</math>).
Обозначения и связанные определения
- Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно <math>Q</math>) преобразованиями <math>V</math>, а также автоморфизмами формы <math>Q</math> (точнее, автоморфизмами пространства <math>V</math> относительно формы <math>Q</math>).
- Обозначается <math>O_n</math>, <math>O_n(k)</math></sub>, <math>O_n(Q)</math> и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
- Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (<math>l</math> плюсов, <math>m</math> минусов) где <math>n = l + m</math>, обозначается O(<math>l</math>,<math>m</math>), см. напр. O(1,3).
Свойства
- В случае если характеристика основного поля больше двух, то с <math>Q</math> связана невырожденная симметрическая билинейная форма <math>F</math> на <math>V</math>, определенная формулой
- <math>F(u,\;v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v).</math>
- Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства <math>V</math>, которые сохраняют <math>F</math>, и обозначается через <math>O_n(k,\;F)</math> или (когда ясно о каком поле <math>k</math> и форме <math>F</math> идёт речь) просто через <math>O_n</math>.
- Если <math>B</math> — матрица формы <math>F</math> в неком базисе пространства <math>V</math>, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц <math>A</math> с коэффициентами в <math>k</math>, что
- <math>A^TBA=B.</math>
- В частности, если базис таков, что <math>Q</math> является суммой квадратов координат (то есть, матрица <math>B</math> единична), то такие матрицы <math>A</math> называются ортогональными.
- Над полем действительных чисел, группа <math>O_n({\mathbb R},\;V)</math> компактна тогда и только тогда, когда форма <math>Q</math> знакоопределена.
Другие группы
Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(<math>n</math>). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу <math>SO(n,Q)</math>, обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S». <math>SO(n,Q)</math>, по построению, является также подгруппой специальной линейной группы <math>SL(n)</math>.
Напишите отзыв о статье "Ортогональная группа"
Ссылки
- [www.encyclopediaofmath.org/index.php/Orthogonal_group Orthogonal group]
Отрывок, характеризующий Ортогональная группа
– Ко мне милости прошу, вот ты с моим молодцом знаком… вместе там, вместе геройствовали… A! Василий Игнатьич… здорово старый, – обратился он к проходившему старичку, но не успел еще договорить приветствия, как всё зашевелилось, и прибежавший лакей, с испуганным лицом, доложил: пожаловали!Раздались звонки; старшины бросились вперед; разбросанные в разных комнатах гости, как встряхнутая рожь на лопате, столпились в одну кучу и остановились в большой гостиной у дверей залы.
В дверях передней показался Багратион, без шляпы и шпаги, которые он, по клубному обычаю, оставил у швейцара. Он был не в смушковом картузе с нагайкой через плечо, как видел его Ростов в ночь накануне Аустерлицкого сражения, а в новом узком мундире с русскими и иностранными орденами и с георгиевской звездой на левой стороне груди. Он видимо сейчас, перед обедом, подстриг волосы и бакенбарды, что невыгодно изменяло его физиономию. На лице его было что то наивно праздничное, дававшее, в соединении с его твердыми, мужественными чертами, даже несколько комическое выражение его лицу. Беклешов и Федор Петрович Уваров, приехавшие с ним вместе, остановились в дверях, желая, чтобы он, как главный гость, прошел вперед их. Багратион смешался, не желая воспользоваться их учтивостью; произошла остановка в дверях, и наконец Багратион всё таки прошел вперед. Он шел, не зная куда девать руки, застенчиво и неловко, по паркету приемной: ему привычнее и легче было ходить под пулями по вспаханному полю, как он шел перед Курским полком в Шенграбене. Старшины встретили его у первой двери, сказав ему несколько слов о радости видеть столь дорогого гостя, и недождавшись его ответа, как бы завладев им, окружили его и повели в гостиную. В дверях гостиной не было возможности пройти от столпившихся членов и гостей, давивших друг друга и через плечи друг друга старавшихся, как редкого зверя, рассмотреть Багратиона. Граф Илья Андреич, энергичнее всех, смеясь и приговаривая: – пусти, mon cher, пусти, пусти, – протолкал толпу, провел гостей в гостиную и посадил на средний диван. Тузы, почетнейшие члены клуба, обступили вновь прибывших. Граф Илья Андреич, проталкиваясь опять через толпу, вышел из гостиной и с другим старшиной через минуту явился, неся большое серебряное блюдо, которое он поднес князю Багратиону. На блюде лежали сочиненные и напечатанные в честь героя стихи. Багратион, увидав блюдо, испуганно оглянулся, как бы отыскивая помощи. Но во всех глазах было требование того, чтобы он покорился. Чувствуя себя в их власти, Багратион решительно, обеими руками, взял блюдо и сердито, укоризненно посмотрел на графа, подносившего его. Кто то услужливо вынул из рук Багратиона блюдо (а то бы он, казалось, намерен был держать его так до вечера и так итти к столу) и обратил его внимание на стихи. «Ну и прочту», как будто сказал Багратион и устремив усталые глаза на бумагу, стал читать с сосредоточенным и серьезным видом. Сам сочинитель взял стихи и стал читать. Князь Багратион склонил голову и слушал.
