p-адическое число

Поделись знанием:
(перенаправлено с «P-адические числа»)
Перейти к: навигация, поиск

p-адическое число[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году[2].

Поле p-адических чисел обычно обозначается <math>\mathbb Q_p</math> или <math>\mathbf Q_p</math>.





Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется[3] бесконечная последовательность <math>x=\{x_1,x_2,\ldots\}</math> вычетов <math>x_n</math> по модулю <math>p^{n}</math>, удовлетворяющих условию:

<math>x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.</math>

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается <math>\Bbb{Z}_p</math>.

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых <math>p</math>-адических чисел определяется как предел

<math>\lim_{\leftarrow}\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}</math>

колец <math>\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}</math> вычетов по модулю <math>p^n</math> относительно естественных проекций <math>\Bbb{Z}/{p^{n+1}}\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/{p^n}\Bbb{Z}</math>.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа <math>p</math>, но и любого составного числа <math>m</math> — получится т. н. кольцо <math>m</math>-адических чисел, но это кольцо в отличие от <math>\Bbb{Z}_p</math> обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в <math>\Bbb{Z}_p</math> очевидным образом: <math>x=\{x,x,\ldots\}</math> и являются подкольцом.

Беря в качестве элемента класса вычетов число <math>a_n = x_n\,\bmod\,{p^n}</math> (таким образом, <math>0\le a_n<p^n</math>), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде <math>x=\{a_1,a_2,\ldots\}</math> однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое <math>a_n</math> в p-ичной системе счисления <math>a_n=b_n\ldots b_2b_1</math> и, учитывая, что <math>a_n\equiv a_{n+1}\pmod{p^n}</math>, возможно всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде <math>x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\}</math> или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления <math>x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}</math>. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных <math>\Bbb{Q}_p</math> кольца <math>\Bbb{Z}_p</math> целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце <math>\Bbb{Z}_p</math>, а кратное p однозначно записывается в виде <math>xp^n</math>, где x не кратно p и поэтому обратимо, а <math>n>0</math>. Поэтому любой ненулевой элемент поля <math>\Bbb{Q}_p</math> может быть записан в виде <math>xp^n</math>, где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности <math>x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}</math>, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число <math>r</math> можно представить как <math>r=p^n\frac ab</math> где <math>a</math> и <math>b</math> целые числа, не делящиеся на <math>p</math>, а <math>n</math> — целое. Тогда <math>|r|_p</math> — <math>p</math>-адическая норма <math>r</math> — определяется как <math>p^{-n}</math>. Если <math>r=0</math>, то <math>|r|_p=0</math>.

Поле <math>p</math>-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой <math>d_p</math>, определённой <math>p</math>-адической нормой: <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math>. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма <math>|r|_p</math> продолжается по непрерывности до нормы на <math>\Bbb{Q}_p</math>.

Свойства

  • Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда
<math>x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i</math>
где <math>n_0</math> — некоторое целое число, а <math>a_i</math> — целые неотрицательные числа, не превосходящие <math>p-1</math>. А именно, в качестве <math>a_i</math> здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике <math>d_p</math> к самому <math>x</math>.
<math>|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.</math>
  • Числа <math>x\in \mathbb Q_p</math> с условием <math>|x|_p\le 1</math> образуют кольцо <math>\Bbb{Z}_p</math> целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел <math>\Bbb{Z}\subset \Bbb{Q}</math> в норме <math>|x|_p</math>.
  • Числа <math>x\in \Bbb{Q}_p</math> с условием <math>|x|_p= 1</math> образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
  • Совокупность чисел <math>x\in \Bbb{Q}_p</math> с условием <math>|x|_p<1</math> является главным идеалом в <math>\Bbb{Z}_p</math> с образующим элементом p.
  • Метрическое пространство <math>(\Bbb{Z}_p,d_p)</math> гомеоморфно канторову множеству, а пространство <math>(\Bbb{Q}_p,d_p)</math> гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных p нормы <math>|x|_p</math> независимы, а поля <math>\Bbb{Q}_p</math> неизоморфны.
  • Для любых элементов <math>r_\infty</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math>, <math>r_5</math>, <math>r_7</math>, … таких, что <math>r_\infty \in \Bbb R</math> и <math>r_p\in \Bbb Q_p</math>, можно найти последовательность рациональных чисел <math>x_n</math> таких, что для любого p выполнено <math>|x_i-r_p|_p\to 0</math> и <math>|x_i-r_\infty|\to 0</math>.

Применения

  • Если <math>F(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения
<math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}</math>
эквивалентна разрешимости уравнения
<math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0</math>
в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.
На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (англ.), при <math>n=1</math> достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при <math>n=1</math> для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при <math>k=1</math>.
  • p-адические числа находят широкое применение в теоретической физике[4]. Известны p-адические обобщённые функции [5], p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)[6], p-адическая квантовая механика[7][8], p-адическая спектральная теория [9], p-адическая теория струн [10][11]

См. также

Напишите отзыв о статье "P-адическое число"

Примечания

  1. Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.
  2. Kurt Hensel. [www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00211612X&L=2 Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen] // [www.digizeitschriften.de/resolveppn/PPN37721857X&L=2 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung]. — 1897. — Т. 6, № 3. — С. 83—88. (нем.)
  3. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, 1985, с. 25—28..
  4. Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993
  5. Владимиров В. С. [mi.mathnet.ru/umn1967 "Обобщённые функции над полем p-адических чисел"] // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17–53
  6. Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770–789
  7. Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659–676
  8. Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43–53
  9. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275–302, (1990)
  10. Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83–L84
  11. Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.

Литература

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
  • Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин [kvant.mccme.ru/1979/02/2--adicheskie_chisla.htm 2-адические числа] // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.
  • К. Конрад [www.mathnet.ru/present9425 Введение в p-адические числа] Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна
</math>) • ПериодыВычислимыеАрифметические |заголовок2=
Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • АльтернионыДуальныеГиперкомплексныеСупердействительныеГипервещественныеСюрреальные[en]

|заголовок3=
Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — ДиксонаТеорема ФробениусаТеорема Гурвица

|заголовок4=
Иерархия чисел
|список4=
<center>
<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа
<math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа
<math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа
<math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа
<math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы
<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> Седенионы
</center> |заголовок5=
Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числаПорядковые числа (трансфинитные, ординал)p-адическиеСупернатуральные числа

|заголовок6=
См. также

|список6=Двойные числаИррациональные числаТрансцендентные числаЧисловой лучБикватернион

}}

Отрывок, характеризующий P-адическое число


В 8 часов Кутузов выехал верхом к Працу, впереди 4 й Милорадовичевской колонны, той, которая должна была занять места колонн Пржебышевского и Ланжерона, спустившихся уже вниз. Он поздоровался с людьми переднего полка и отдал приказание к движению, показывая тем, что он сам намерен был вести эту колонну. Выехав к деревне Прац, он остановился. Князь Андрей, в числе огромного количества лиц, составлявших свиту главнокомандующего, стоял позади его. Князь Андрей чувствовал себя взволнованным, раздраженным и вместе с тем сдержанно спокойным, каким бывает человек при наступлении давно желанной минуты. Он твердо был уверен, что нынче был день его Тулона или его Аркольского моста. Как это случится, он не знал, но он твердо был уверен, что это будет. Местность и положение наших войск были ему известны, насколько они могли быть известны кому нибудь из нашей армии. Его собственный стратегический план, который, очевидно, теперь и думать нечего было привести в исполнение, был им забыт. Теперь, уже входя в план Вейротера, князь Андрей обдумывал могущие произойти случайности и делал новые соображения, такие, в которых могли бы потребоваться его быстрота соображения и решительность.
Налево внизу, в тумане, слышалась перестрелка между невидными войсками. Там, казалось князю Андрею, сосредоточится сражение, там встретится препятствие, и «туда то я буду послан, – думал он, – с бригадой или дивизией, и там то с знаменем в руке я пойду вперед и сломлю всё, что будет предо мной».
Князь Андрей не мог равнодушно смотреть на знамена проходивших батальонов. Глядя на знамя, ему всё думалось: может быть, это то самое знамя, с которым мне придется итти впереди войск.
Ночной туман к утру оставил на высотах только иней, переходивший в росу, в лощинах же туман расстилался еще молочно белым морем. Ничего не было видно в той лощине налево, куда спустились наши войска и откуда долетали звуки стрельбы. Над высотами было темное, ясное небо, и направо огромный шар солнца. Впереди, далеко, на том берегу туманного моря, виднелись выступающие лесистые холмы, на которых должна была быть неприятельская армия, и виднелось что то. Вправо вступала в область тумана гвардия, звучавшая топотом и колесами и изредка блестевшая штыками; налево, за деревней, такие же массы кавалерии подходили и скрывались в море тумана. Спереди и сзади двигалась пехота. Главнокомандующий стоял на выезде деревни, пропуская мимо себя войска. Кутузов в это утро казался изнуренным и раздражительным. Шедшая мимо его пехота остановилась без приказания, очевидно, потому, что впереди что нибудь задержало ее.
– Да скажите же, наконец, чтобы строились в батальонные колонны и шли в обход деревни, – сердито сказал Кутузов подъехавшему генералу. – Как же вы не поймете, ваше превосходительство, милостивый государь, что растянуться по этому дефилею улицы деревни нельзя, когда мы идем против неприятеля.
– Я предполагал построиться за деревней, ваше высокопревосходительство, – отвечал генерал.
Кутузов желчно засмеялся.
– Хороши вы будете, развертывая фронт в виду неприятеля, очень хороши.
– Неприятель еще далеко, ваше высокопревосходительство. По диспозиции…
– Диспозиция! – желчно вскрикнул Кутузов, – а это вам кто сказал?… Извольте делать, что вам приказывают.
– Слушаю с.
– Mon cher, – сказал шопотом князю Андрею Несвицкий, – le vieux est d'une humeur de chien. [Мой милый, наш старик сильно не в духе.]
К Кутузову подскакал австрийский офицер с зеленым плюмажем на шляпе, в белом мундире, и спросил от имени императора: выступила ли в дело четвертая колонна?
Кутузов, не отвечая ему, отвернулся, и взгляд его нечаянно попал на князя Андрея, стоявшего подле него. Увидав Болконского, Кутузов смягчил злое и едкое выражение взгляда, как бы сознавая, что его адъютант не был виноват в том, что делалось. И, не отвечая австрийскому адъютанту, он обратился к Болконскому:
– Allez voir, mon cher, si la troisieme division a depasse le village. Dites lui de s'arreter et d'attendre mes ordres. [Ступайте, мой милый, посмотрите, прошла ли через деревню третья дивизия. Велите ей остановиться и ждать моего приказа.]
Только что князь Андрей отъехал, он остановил его.
– Et demandez lui, si les tirailleurs sont postes, – прибавил он. – Ce qu'ils font, ce qu'ils font! [И спросите, размещены ли стрелки. – Что они делают, что они делают!] – проговорил он про себя, все не отвечая австрийцу.
Князь Андрей поскакал исполнять поручение.
Обогнав всё шедшие впереди батальоны, он остановил 3 ю дивизию и убедился, что, действительно, впереди наших колонн не было стрелковой цепи. Полковой командир бывшего впереди полка был очень удивлен переданным ему от главнокомандующего приказанием рассыпать стрелков. Полковой командир стоял тут в полной уверенности, что впереди его есть еще войска, и что неприятель не может быть ближе 10 ти верст. Действительно, впереди ничего не было видно, кроме пустынной местности, склоняющейся вперед и застланной густым туманом. Приказав от имени главнокомандующего исполнить упущенное, князь Андрей поскакал назад. Кутузов стоял всё на том же месте и, старчески опустившись на седле своим тучным телом, тяжело зевал, закрывши глаза. Войска уже не двигались, а стояли ружья к ноге.
– Хорошо, хорошо, – сказал он князю Андрею и обратился к генералу, который с часами в руках говорил, что пора бы двигаться, так как все колонны с левого фланга уже спустились.
– Еще успеем, ваше превосходительство, – сквозь зевоту проговорил Кутузов. – Успеем! – повторил он.
В это время позади Кутузова послышались вдали звуки здоровающихся полков, и голоса эти стали быстро приближаться по всему протяжению растянувшейся линии наступавших русских колонн. Видно было, что тот, с кем здоровались, ехал скоро. Когда закричали солдаты того полка, перед которым стоял Кутузов, он отъехал несколько в сторону и сморщившись оглянулся. По дороге из Працена скакал как бы эскадрон разноцветных всадников. Два из них крупным галопом скакали рядом впереди остальных. Один был в черном мундире с белым султаном на рыжей энглизированной лошади, другой в белом мундире на вороной лошади. Это были два императора со свитой. Кутузов, с аффектацией служаки, находящегося во фронте, скомандовал «смирно» стоявшим войскам и, салютуя, подъехал к императору. Вся его фигура и манера вдруг изменились. Он принял вид подначальственного, нерассуждающего человека. Он с аффектацией почтительности, которая, очевидно, неприятно поразила императора Александра, подъехал и салютовал ему.
Неприятное впечатление, только как остатки тумана на ясном небе, пробежало по молодому и счастливому лицу императора и исчезло. Он был, после нездоровья, несколько худее в этот день, чем на ольмюцком поле, где его в первый раз за границей видел Болконский; но то же обворожительное соединение величавости и кротости было в его прекрасных, серых глазах, и на тонких губах та же возможность разнообразных выражений и преобладающее выражение благодушной, невинной молодости.
На ольмюцком смотру он был величавее, здесь он был веселее и энергичнее. Он несколько разрумянился, прогалопировав эти три версты, и, остановив лошадь, отдохновенно вздохнул и оглянулся на такие же молодые, такие же оживленные, как и его, лица своей свиты. Чарторижский и Новосильцев, и князь Болконский, и Строганов, и другие, все богато одетые, веселые, молодые люди, на прекрасных, выхоленных, свежих, только что слегка вспотевших лошадях, переговариваясь и улыбаясь, остановились позади государя. Император Франц, румяный длиннолицый молодой человек, чрезвычайно прямо сидел на красивом вороном жеребце и озабоченно и неторопливо оглядывался вокруг себя. Он подозвал одного из своих белых адъютантов и спросил что то. «Верно, в котором часу они выехали», подумал князь Андрей, наблюдая своего старого знакомого, с улыбкой, которую он не мог удержать, вспоминая свою аудиенцию. В свите императоров были отобранные молодцы ординарцы, русские и австрийские, гвардейских и армейских полков. Между ними велись берейторами в расшитых попонах красивые запасные царские лошади.
Как будто через растворенное окно вдруг пахнуло свежим полевым воздухом в душную комнату, так пахнуло на невеселый Кутузовский штаб молодостью, энергией и уверенностью в успехе от этой прискакавшей блестящей молодежи.
– Что ж вы не начинаете, Михаил Ларионович? – поспешно обратился император Александр к Кутузову, в то же время учтиво взглянув на императора Франца.
– Я поджидаю, ваше величество, – отвечал Кутузов, почтительно наклоняясь вперед.
Император пригнул ухо, слегка нахмурясь и показывая, что он не расслышал.
– Поджидаю, ваше величество, – повторил Кутузов (князь Андрей заметил, что у Кутузова неестественно дрогнула верхняя губа, в то время как он говорил это поджидаю ). – Не все колонны еще собрались, ваше величество.
Государь расслышал, но ответ этот, видимо, не понравился ему; он пожал сутуловатыми плечами, взглянул на Новосильцева, стоявшего подле, как будто взглядом этим жалуясь на Кутузова.
– Ведь мы не на Царицыном лугу, Михаил Ларионович, где не начинают парада, пока не придут все полки, – сказал государь, снова взглянув в глаза императору Францу, как бы приглашая его, если не принять участие, то прислушаться к тому, что он говорит; но император Франц, продолжая оглядываться, не слушал.
– Потому и не начинаю, государь, – сказал звучным голосом Кутузов, как бы предупреждая возможность не быть расслышанным, и в лице его еще раз что то дрогнуло. – Потому и не начинаю, государь, что мы не на параде и не на Царицыном лугу, – выговорил он ясно и отчетливо.
В свите государя на всех лицах, мгновенно переглянувшихся друг с другом, выразился ропот и упрек. «Как он ни стар, он не должен бы, никак не должен бы говорить этак», выразили эти лица.