R-функция

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
Запрос «RFM» перенаправляется сюда; Для режима химиотерапии RFM см. RFM (химиотерапия).

R-функция (функция Рвачёва) — числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками её аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы <math>(-\infty,0)</math> и <math>[0,\infty)</math>. Впервые R-функции были введены в работах В. Л. Рвачёва[1][2][3].





Определение

Числовая функция <math>z=z(x,\;y)</math> называется R-функцией, если существует такая сопровождающая булева функция <math>\Phi\;</math> с тем же числом аргументов, что

<math>\mathrm{sign}(z)=\Phi(\mathrm{sign}(x),\; \mathrm{sign}(y)).</math>

Аналогично вводится понятие R-функции при количестве аргументов <math>n\;>\;2.</math>

Каждой R-функции соответствует единственная сопровождающая булева функция. Обратное неверно: одной и той же булевой функции соответствует бесконечное число (ветвь) R-функций.

Множество R-функций замкнуто в смысле суперпозиции R-функций. Система R-функций <math>\mathcal{H}</math> называется достаточно полной, если множество всех суперпозиций элементов <math>\mathcal{H}</math> (множество <math>\mathcal{H}</math>-реализуемых функций) имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества R-функций. Достаточным условием полноты является полнота системы <math>\mathcal{H}^*</math> соответствующих сопровождающих булевых функций.

Полные системы R-функций

Наиболее часто используемой полной системой R-функций является система <math>\mathcal{R}_\alpha</math> (при <math>-1 < \alpha \leq 1</math>):

<math>x \wedge_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y-\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),</math>
<math>x \vee_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y+\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),</math>
<math>\bar{x} \equiv -x.</math>

При <math>\alpha = 0\;</math> имеем систему <math>\mathcal{R}_0</math>:

<math>x \wedge_0 y \equiv x+y-\sqrt{x^2+y^2},\quad x \vee_0 y \equiv x+y+\sqrt{x^2+y^2},\quad \bar{x} \equiv -x.</math>

При <math>\alpha = 1\;</math> имеем систему <math>\mathcal{R}_1</math>:

<math>x \wedge_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y-|x-y|),\quad x \vee_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y+|x-y|),\quad \bar{x} \equiv -x.</math>

В последнем случае R-функции конъюнкции и дизъюнкции совпадают с соответствующими t-нормой и t-конормой нечёткой логики:

<math>x \wedge y \equiv \min(x,y),\quad x \vee y \equiv \max(x,y).</math>

Приложения

С помощью R-функций оказывается возможным построение в неявной форме уравнений границ составных областей по известным уравнениям простых областей. Описание границы сложной области в виде единого аналитического выражения позволяет создавать структуры решения краевых задач математической физики, зависящие от неопределённых компонент и точно удовлетворяющие граничным условиям. Неопределённые компоненты таких структур могут далее находиться одним из вариационных или проекционных методов решения краевых задач (коллокации, Рэлея—Ритца, Бубнова—Галёркина—Петрова, наименьших квадратов). Метод решения краевых задач для уравнений в частных производных на основе теории R-функций носит название структурного метода R-функций или, в зарубежной литературе, RFM (R-Functions Method).

R-функции можно рассматривать как инструмент бесконечнозначной логики или нечёткой логики.

R-функции используются (в основном воспитанниками научной харьковской школы) при решении широкого класса задач математической физики (теории упругости[4][5][6][7][8], электродинамики[9][10][11], теории теплопроводности[12][13][14][15]), а также в многомерной цифровой обработке сигналов и изображений[16], машинной графике и других областях.

Применение теории R-функций и вейвлетов к решению краевых задач  математической физики

В работе профессора В.Ф. Кравченко и его ученика А.В. Юрина[11] предложен и обоснован новый метод, основанный на теории R-функций и WA-систем функций[17][18][19] (вейвлетов, построенных на основе атомарных функций), с применением вариационного принципа Галеркина-Петрова.

При рассмотрении широкого класса краевых задач различной физической природы возникает необходимость в решении дифференциальных уравнений в частных производных, в которых исследуемая область имеет сложную конфигурацию. В таких случаях, как правило, используются численные методы: сеточные (метод конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов), вариационные и проекционные (метод Ритца, Бубнова-Галеркина-Петрова, коллокаций, Трефтца, метод наименьших квадратов, метод фиктивных областей, R-функций). Однако, каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Так, сеточные методы обладают большой эффективностью алгоритма (за счет чего и получили широкое распространение), но при этом не точно учитывают геометрию исследуемого объекта. В случае вариационных методов не всегда можно построить базисные функции, которые удовлетворяли бы  всем требуемым условиям. Поэтому их использование ограничено. Следует особо выделить метод R-функций[10], обладающий геометрической гибкостью и универсальностью по отношению к выбранному способу минимизации функционала. Применение такого подхода требует значительных вычислительных затрат. Это обусловлено использованием структурных формул, в основе которых лежат построенные с помощью R-операций функции области. Такие функции могут иметь сложную структуру, а для вычисления интегралов от них по области нестандартной формы необходимо использовать квадратурные формулы с высоким порядком точности. Вейвлет-базисы позволяют обойти указанные выше недостатки благодаря своим уникальным свойствам[20][21] и разработать адаптивную расчетную схему без использования операции интегрирования. Такой подход возможен благодаря введению специальных коэффициентов, отражающих дифференциальные и интегральные характеристики базиса, а также коэффициентов разложения по вейвлетам функций области, краевых условий и правой части уравнения. Основным инструментом для реализации нового метода на основе R-функций и вейвлетов является схема Галеркина – Петрова[22][23] решения дифференциальных уравнений в частных производных.

В работах[11][19] на примере решения краевых задач эллиптического типа показана эффективность метода R-функций (функций В.Л. Рвачева) в сочетании с WA-системами функций[17], снимающего все недостатки, указанные ниже.

Недостатки R-функций

Метод R-функций позиционировался создателем и его школой, как универсальный, однако один из учеников Рвачева В.Л., профессор Слесаренко А.П., считаетК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3792 дня], что он противоречит основным теориям приближений и его целесообразно использовать лишь для решения задач аналитической геометрии и некоторых частных краевых задач.

По мнению Слесаренко А.П. основные недостатки метода R-функций следующие:[24][25][26]

  • по мере усложнения границы области (поверхности), процесс построения R-функции усложняется, аналитические выражения становятся настолько громоздкими и малопригодными для практических расчетов. Метод R-функций встречает те же трудности, что и полиномы
  • R-функции математически точно описывают углы составных областей и ребра тел. В реальном физическом мире все грани обладают скруглением, при математически точном описании производные на границах углов и ребер оказываются бесконечными. Подобная идеализация приводит к принципиальной невозможности решить некоторые задачи
  • R-функции содержат разрывные производные в углах и на ребрах описываемых областей, это приводит к возникновению фиктивных сингулярных особенностей в пространстве С2 и, соответственно, к развалу итерационного процесса при решении задач оптимизации и управления образованием форм. Чтобы уйти от неинтегрируемых особенностей в решениях краевых задач исследователи вынуждены несобственные интегралы в проекционных методах заменять интегралами, имеющими конечные значения, что сводит математические методы к приближенным подходам и приводит к недопустимым погрешностям для задач с высокими градиентами искомой функции, а также делает невозможной оптимизацию решения соответствующих задач и создание методических рекомендаций по их решению.
  • Из-за разрывных производных выражения с R-функциями вступают в противоречие с теоремами Канторовича и Кнастера-Тарского, что делает их непригодными для области вычислительной информатики.

Для преодоления недостатков R-функций и метода R-функций созданы PS-функции и классы S-функций, а также регионально-структурный метод и его модификации.

Однако, перечисленные выше утверждения являются некорректными[11].

Напишите отзыв о статье "R-функция"

Примечания

  1. ↑ Рвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев: Техніка, 1967.
  2. ↑ Рвачёв В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев: Наук. думка, 1974.
  3. ↑ Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наук. думка 1982.
  4. ↑ Рвачёв В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. — Киев: Наукова думка, 1973.
  5. ↑ Рвачёв В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977.
  6. ↑ Рвачёв В. Л., Курпа Л. В. R-функции в задачах теории пластин. — Киев: Наукова думка 1987.
  7. ↑ Рвачёв В. Л., Синекоп Н. С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. — Киев: Наукова думка 1990.
  8. ↑ Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
  9. ↑ Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. — М.: Физматлит, 2004.
  10. ↑ 1 2 Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
  11. ↑ 1 2 3 4 В.Ф. Кравченко, А.В. Юрин. Применение теории R-функций и вейвлетов к решению краевых задач эллиптического типа. Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т.14. №3. С. 4-39.
  12. ↑ Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. — Киев: Наук. думка, 1978.
  13. ↑ Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. — М.: Радиотехника, 2005.
  14. ↑ Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.
  15. ↑ Матвеев В. А., Лунин Б. С., Басараб М. А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. — М.: Физматлит, 2008.
  16. ↑ Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.
  17. ↑ 1 2 В.Ф. Кравченко, О.С. Лабунько, А.М. Лерер, Г.П. Синявский. Глава 3, 4 // Вычислительные методы в современной радиофизике. Под. ред. В.Ф. Кравченко. — Москва: Физматлит, 2009.
  18. ↑ Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А.В. Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть II // Радиотехника и электроника : Обзор. — 2015. — № Т. 60. № 2. — С. 109-148.
  19. ↑ 1 2 Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А.В. Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть IV // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 11. — С. 1113-1152.
  20. ↑ Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
  21. ↑ Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006.
  22. ↑ Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1972.
  23. ↑ Красносельский М.А., Вайненко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
  24. ↑ Слесаренко А.П. [journals.uran.ua/eejet/article/view/1575/1473 S-функции в обратных задачах аналитической геометрии и моделировании тепловых процессов]. / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2011. – Т3, №4(51). - С. 41—46.
  25. ↑ Слесаренко А. П. [journals.uran.ua/eejet/article/view/3310/3111 S-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм] / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2012. – Т1, № 4(55). - С. 4—10.
  26. ↑ Кобринович Ю.О. Регионально-структурный и структурно-разностный методы в математическом моделировании // Технологический аудит и резервы производства. Спецвыпуск: Материалы международной научной конференции «Научная периодика славянских стран в условиях глобализации» - Ч.1 - Том «Информационные технологии. Математическое моделирование». - Киев,2012. – С. 45-46.

См. также

Отрывок, характеризующий R-функция

Человек сознательно живет для себя, но служит бессознательным орудием для достижения исторических, общечеловеческих целей. Совершенный поступок невозвратим, и действие его, совпадая во времени с миллионами действий других людей, получает историческое значение. Чем выше стоит человек на общественной лестнице, чем с большими людьми он связан, тем больше власти он имеет на других людей, тем очевиднее предопределенность и неизбежность каждого его поступка.
«Сердце царево в руце божьей».
Царь – есть раб истории.
История, то есть бессознательная, общая, роевая жизнь человечества, всякой минутой жизни царей пользуется для себя как орудием для своих целей.
Наполеон, несмотря на то, что ему более чем когда нибудь, теперь, в 1812 году, казалось, что от него зависело verser или не verser le sang de ses peuples [проливать или не проливать кровь своих народов] (как в последнем письме писал ему Александр), никогда более как теперь не подлежал тем неизбежным законам, которые заставляли его (действуя в отношении себя, как ему казалось, по своему произволу) делать для общего дела, для истории то, что должно было совершиться.
Люди Запада двигались на Восток для того, чтобы убивать друг друга. И по закону совпадения причин подделались сами собою и совпали с этим событием тысячи мелких причин для этого движения и для войны: укоры за несоблюдение континентальной системы, и герцог Ольденбургский, и движение войск в Пруссию, предпринятое (как казалось Наполеону) для того только, чтобы достигнуть вооруженного мира, и любовь и привычка французского императора к войне, совпавшая с расположением его народа, увлечение грандиозностью приготовлений, и расходы по приготовлению, и потребность приобретения таких выгод, которые бы окупили эти расходы, и одурманившие почести в Дрездене, и дипломатические переговоры, которые, по взгляду современников, были ведены с искренним желанием достижения мира и которые только уязвляли самолюбие той и другой стороны, и миллионы миллионов других причин, подделавшихся под имеющее совершиться событие, совпавших с ним.
Когда созрело яблоко и падает, – отчего оно падает? Оттого ли, что тяготеет к земле, оттого ли, что засыхает стержень, оттого ли, что сушится солнцем, что тяжелеет, что ветер трясет его, оттого ли, что стоящему внизу мальчику хочется съесть его?
Ничто не причина. Все это только совпадение тех условий, при которых совершается всякое жизненное, органическое, стихийное событие. И тот ботаник, который найдет, что яблоко падает оттого, что клетчатка разлагается и тому подобное, будет так же прав, и так же не прав, как и тот ребенок, стоящий внизу, который скажет, что яблоко упало оттого, что ему хотелось съесть его и что он молился об этом. Так же прав и не прав будет тот, кто скажет, что Наполеон пошел в Москву потому, что он захотел этого, и оттого погиб, что Александр захотел его погибели: как прав и не прав будет тот, кто скажет, что завалившаяся в миллион пудов подкопанная гора упала оттого, что последний работник ударил под нее последний раз киркою. В исторических событиях так называемые великие люди суть ярлыки, дающие наименований событию, которые, так же как ярлыки, менее всего имеют связи с самым событием.
Каждое действие их, кажущееся им произвольным для самих себя, в историческом смысле непроизвольно, а находится в связи со всем ходом истории и определено предвечно.


29 го мая Наполеон выехал из Дрездена, где он пробыл три недели, окруженный двором, составленным из принцев, герцогов, королей и даже одного императора. Наполеон перед отъездом обласкал принцев, королей и императора, которые того заслуживали, побранил королей и принцев, которыми он был не вполне доволен, одарил своими собственными, то есть взятыми у других королей, жемчугами и бриллиантами императрицу австрийскую и, нежно обняв императрицу Марию Луизу, как говорит его историк, оставил ее огорченною разлукой, которую она – эта Мария Луиза, считавшаяся его супругой, несмотря на то, что в Париже оставалась другая супруга, – казалось, не в силах была перенести. Несмотря на то, что дипломаты еще твердо верили в возможность мира и усердно работали с этой целью, несмотря на то, что император Наполеон сам писал письмо императору Александру, называя его Monsieur mon frere [Государь брат мой] и искренно уверяя, что он не желает войны и что всегда будет любить и уважать его, – он ехал к армии и отдавал на каждой станции новые приказания, имевшие целью торопить движение армии от запада к востоку. Он ехал в дорожной карете, запряженной шестериком, окруженный пажами, адъютантами и конвоем, по тракту на Позен, Торн, Данциг и Кенигсберг. В каждом из этих городов тысячи людей с трепетом и восторгом встречали его.
Армия подвигалась с запада на восток, и переменные шестерни несли его туда же. 10 го июня он догнал армию и ночевал в Вильковисском лесу, в приготовленной для него квартире, в имении польского графа.
На другой день Наполеон, обогнав армию, в коляске подъехал к Неману и, с тем чтобы осмотреть местность переправы, переоделся в польский мундир и выехал на берег.
Увидав на той стороне казаков (les Cosaques) и расстилавшиеся степи (les Steppes), в середине которых была Moscou la ville sainte, [Москва, священный город,] столица того, подобного Скифскому, государства, куда ходил Александр Македонский, – Наполеон, неожиданно для всех и противно как стратегическим, так и дипломатическим соображениям, приказал наступление, и на другой день войска его стали переходить Неман.
12 го числа рано утром он вышел из палатки, раскинутой в этот день на крутом левом берегу Немана, и смотрел в зрительную трубу на выплывающие из Вильковисского леса потоки своих войск, разливающихся по трем мостам, наведенным на Немане. Войска знали о присутствии императора, искали его глазами, и, когда находили на горе перед палаткой отделившуюся от свиты фигуру в сюртуке и шляпе, они кидали вверх шапки, кричали: «Vive l'Empereur! [Да здравствует император!] – и одни за другими, не истощаясь, вытекали, всё вытекали из огромного, скрывавшего их доселе леса и, расстрояясь, по трем мостам переходили на ту сторону.
– On fera du chemin cette fois ci. Oh! quand il s'en mele lui meme ca chauffe… Nom de Dieu… Le voila!.. Vive l'Empereur! Les voila donc les Steppes de l'Asie! Vilain pays tout de meme. Au revoir, Beauche; je te reserve le plus beau palais de Moscou. Au revoir! Bonne chance… L'as tu vu, l'Empereur? Vive l'Empereur!.. preur! Si on me fait gouverneur aux Indes, Gerard, je te fais ministre du Cachemire, c'est arrete. Vive l'Empereur! Vive! vive! vive! Les gredins de Cosaques, comme ils filent. Vive l'Empereur! Le voila! Le vois tu? Je l'ai vu deux fois comme jete vois. Le petit caporal… Je l'ai vu donner la croix a l'un des vieux… Vive l'Empereur!.. [Теперь походим! О! как он сам возьмется, дело закипит. Ей богу… Вот он… Ура, император! Так вот они, азиатские степи… Однако скверная страна. До свиданья, Боше. Я тебе оставлю лучший дворец в Москве. До свиданья, желаю успеха. Видел императора? Ура! Ежели меня сделают губернатором в Индии, я тебя сделаю министром Кашмира… Ура! Император вот он! Видишь его? Я его два раза как тебя видел. Маленький капрал… Я видел, как он навесил крест одному из стариков… Ура, император!] – говорили голоса старых и молодых людей, самых разнообразных характеров и положений в обществе. На всех лицах этих людей было одно общее выражение радости о начале давно ожидаемого похода и восторга и преданности к человеку в сером сюртуке, стоявшему на горе.
13 го июня Наполеону подали небольшую чистокровную арабскую лошадь, и он сел и поехал галопом к одному из мостов через Неман, непрестанно оглушаемый восторженными криками, которые он, очевидно, переносил только потому, что нельзя было запретить им криками этими выражать свою любовь к нему; но крики эти, сопутствующие ему везде, тяготили его и отвлекали его от военной заботы, охватившей его с того времени, как он присоединился к войску. Он проехал по одному из качавшихся на лодках мостов на ту сторону, круто повернул влево и галопом поехал по направлению к Ковно, предшествуемый замиравшими от счастия, восторженными гвардейскими конными егерями, расчищая дорогу по войскам, скакавшим впереди его. Подъехав к широкой реке Вилии, он остановился подле польского уланского полка, стоявшего на берегу.
– Виват! – также восторженно кричали поляки, расстроивая фронт и давя друг друга, для того чтобы увидать его. Наполеон осмотрел реку, слез с лошади и сел на бревно, лежавшее на берегу. По бессловесному знаку ему подали трубу, он положил ее на спину подбежавшего счастливого пажа и стал смотреть на ту сторону. Потом он углубился в рассматриванье листа карты, разложенного между бревнами. Не поднимая головы, он сказал что то, и двое его адъютантов поскакали к польским уланам.
– Что? Что он сказал? – слышалось в рядах польских улан, когда один адъютант подскакал к ним.
Было приказано, отыскав брод, перейти на ту сторону. Польский уланский полковник, красивый старый человек, раскрасневшись и путаясь в словах от волнения, спросил у адъютанта, позволено ли ему будет переплыть с своими уланами реку, не отыскивая брода. Он с очевидным страхом за отказ, как мальчик, который просит позволения сесть на лошадь, просил, чтобы ему позволили переплыть реку в глазах императора. Адъютант сказал, что, вероятно, император не будет недоволен этим излишним усердием.
Как только адъютант сказал это, старый усатый офицер с счастливым лицом и блестящими глазами, подняв кверху саблю, прокричал: «Виват! – и, скомандовав уланам следовать за собой, дал шпоры лошади и подскакал к реке. Он злобно толкнул замявшуюся под собой лошадь и бухнулся в воду, направляясь вглубь к быстрине течения. Сотни уланов поскакали за ним. Было холодно и жутко на середине и на быстрине теченья. Уланы цеплялись друг за друга, сваливались с лошадей, лошади некоторые тонули, тонули и люди, остальные старались плыть кто на седле, кто держась за гриву. Они старались плыть вперед на ту сторону и, несмотря на то, что за полверсты была переправа, гордились тем, что они плывут и тонут в этой реке под взглядами человека, сидевшего на бревне и даже не смотревшего на то, что они делали. Когда вернувшийся адъютант, выбрав удобную минуту, позволил себе обратить внимание императора на преданность поляков к его особе, маленький человек в сером сюртуке встал и, подозвав к себе Бертье, стал ходить с ним взад и вперед по берегу, отдавая ему приказания и изредка недовольно взглядывая на тонувших улан, развлекавших его внимание.
Для него было не ново убеждение в том, что присутствие его на всех концах мира, от Африки до степей Московии, одинаково поражает и повергает людей в безумие самозабвения. Он велел подать себе лошадь и поехал в свою стоянку.
Человек сорок улан потонуло в реке, несмотря на высланные на помощь лодки. Большинство прибилось назад к этому берегу. Полковник и несколько человек переплыли реку и с трудом вылезли на тот берег. Но как только они вылезли в обшлепнувшемся на них, стекающем ручьями мокром платье, они закричали: «Виват!», восторженно глядя на то место, где стоял Наполеон, но где его уже не было, и в ту минуту считали себя счастливыми.
Ввечеру Наполеон между двумя распоряжениями – одно о том, чтобы как можно скорее доставить заготовленные фальшивые русские ассигнации для ввоза в Россию, и другое о том, чтобы расстрелять саксонца, в перехваченном письме которого найдены сведения о распоряжениях по французской армии, – сделал третье распоряжение – о причислении бросившегося без нужды в реку польского полковника к когорте чести (Legion d'honneur), которой Наполеон был главою.
Qnos vult perdere – dementat. [Кого хочет погубить – лишит разума (лат.) ]


Русский император между тем более месяца уже жил в Вильне, делая смотры и маневры. Ничто не было готово для войны, которой все ожидали и для приготовления к которой император приехал из Петербурга. Общего плана действий не было. Колебания о том, какой план из всех тех, которые предлагались, должен быть принят, только еще более усилились после месячного пребывания императора в главной квартире. В трех армиях был в каждой отдельный главнокомандующий, но общего начальника над всеми армиями не было, и император не принимал на себя этого звания.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=R-функция&oldid=76708756»