S-преобразование

S-преобразование — аппроксимационно-операционный метод моделирования динамических систем целого и дробного порядков.

Операционные методы (операционные исчисления) нашли широкое распространение при исследовании динамических систем. Наибольшую известность и применение получили преобразования Лапласа, Фурье, Z-преобразование, дифференциальные преобразования Пухова. Характерной особенностью всех операционных методов является такое преобразование сигналов и переменных интегро-дифференциальной математической модели динамической системы, при котором формируется алгебраическая модель системы, производится решение задачи, и на основе которых путем обратного операционного преобразования определяются решения исходной математической модели. Развитие фрактальных динамических систем, математическими моделями которых являются интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков, привело к необходимости создания и применения новых операционных методов, которые были бы применимы как к классическим динамическим системам целого порядка, так и к фрактальным системам. Одним из таких методов является метод, получивший название S-преобразования. Метод основан на использовании полиномиальной аппроксимации в качестве операционного исчисления.

Как известно, полиномиальной аппроксимацией сигнала x(t) с системой базисных (образующих) функций <math>S(t)=\left\{s_{1}(t),s_{2}(t),...,s_{m}(t)\right\}</math>, заданных на одном и том же интервале <math> {0}\le{t}<{T} </math> изменения аргумента, является обобщенный полином <math>x_{a}(t) </math>:
<math>x_{a}(t)=\sum_{i=1}^m X_{i} \times s_{i}(t) </math>

Вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома <math>\mathbf{X}=\left\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\right\}</math>определяется из условия минимизации интеграла квадрата функции ошибки: <math>\mu (X_{i})=\int_0^T (x(t)-x_{a}(t))^2 \times dt \rightarrow min </math> ,

путем решения системы линейных алгебраических уравнений: <math>\mathbf X = \mathbf W^{-1} \cdot \mathbf Q </math>

Операционный характер приведенных выражений становится более очевидным, если их записать в следующем виде:

=

Первое из этих выражений сопоставляет сигналу x(t) в пространстве оригиналов его изображение в пространстве изображений (операционном пространстве) в виде вектора X коэффициентов аппроксимирующего полинома. Последнее выражение является обратным преобразованием и восстанавливает сигнал в пространстве оригиналов в виде аппрокси-мации.

В качестве систем базисных функций может использоваться широкий набор линейно независимых функций, обладающих функциональной полнотой. Каждая из таких систем порождает свою версию S-преобразования. Ниже приведен вид выражений интеграла дробного порядка (известный под названием Интеграл Римана-Лиувилля) и его операционного аналога (операционная матрица дробного интегрирования :

x()d,

,

.

Приведенные выражения интеграла Римана — Лиувилля и операционной матрицы интегрирования характерны тем, что при подстановке вместо β целых значений порядка интегрального оператора получаются формулы обычного интеграла целого порядка с переменным верхним пределом и его операционного аналога.

См. так же: преобразование Лапласа, преобразование Фурье, Z- преобразование, дифференциальные преобразования Пухова, интегральные преобразования, операционное исчисление, дробное исчисление.

Литература

1. Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем, НАН Украины, 2008. — 256 с.

2. В. В. Васильев , Л. А. Симак, А. В. Васильев Операционное исчисление аппроксимационного типа: Применение к цифровой обработке сигналов и моделированию динамических систем дробного порядка // «Электронное моделирование», 2016,т. 38, № 4. — 20 с.

3. А. В. Васильев Математические модели ПИД-контроллеров динамических систем целого и дробного порядков на основе S — преобразования // «Информационные и телекоммуникационные технологии», 2013. № 17.- С.21-26.

Примечания

К:Википедия:Изолированные статьи (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий S-преобразование

На бумаге поперег ее, карандашом, без заглавных букв, без орфографии, без знаков препинания, было написано: «неосновательно составлено понеже как подражание списано с французского военного устава и от воинского артикула без нужды отступающего».
– В какой же комитет передана записка? – спросил князь Андрей.
– В комитет о воинском уставе, и мною представлено о зачислении вашего благородия в члены. Только без жалованья.
Князь Андрей улыбнулся.
– Я и не желаю.
– Без жалованья членом, – повторил Аракчеев. – Имею честь. Эй, зови! Кто еще? – крикнул он, кланяясь князю Андрею.


Ожидая уведомления о зачислении его в члены комитета, князь Андрей возобновил старые знакомства особенно с теми лицами, которые, он знал, были в силе и могли быть нужны ему. Он испытывал теперь в Петербурге чувство, подобное тому, какое он испытывал накануне сражения, когда его томило беспокойное любопытство и непреодолимо тянуло в высшие сферы, туда, где готовилось будущее, от которого зависели судьбы миллионов. Он чувствовал по озлоблению стариков, по любопытству непосвященных, по сдержанности посвященных, по торопливости, озабоченности всех, по бесчисленному количеству комитетов, комиссий, о существовании которых он вновь узнавал каждый день, что теперь, в 1809 м году, готовилось здесь, в Петербурге, какое то огромное гражданское сражение, которого главнокомандующим было неизвестное ему, таинственное и представлявшееся ему гениальным, лицо – Сперанский. И самое ему смутно известное дело преобразования, и Сперанский – главный деятель, начинали так страстно интересовать его, что дело воинского устава очень скоро стало переходить в сознании его на второстепенное место.
Князь Андрей находился в одном из самых выгодных положений для того, чтобы быть хорошо принятым во все самые разнообразные и высшие круги тогдашнего петербургского общества. Партия преобразователей радушно принимала и заманивала его, во первых потому, что он имел репутацию ума и большой начитанности, во вторых потому, что он своим отпущением крестьян на волю сделал уже себе репутацию либерала. Партия стариков недовольных, прямо как к сыну своего отца, обращалась к нему за сочувствием, осуждая преобразования. Женское общество, свет , радушно принимали его, потому что он был жених, богатый и знатный, и почти новое лицо с ореолом романической истории о его мнимой смерти и трагической кончине жены. Кроме того, общий голос о нем всех, которые знали его прежде, был тот, что он много переменился к лучшему в эти пять лет, смягчился и возмужал, что не было в нем прежнего притворства, гордости и насмешливости, и было то спокойствие, которое приобретается годами. О нем заговорили, им интересовались и все желали его видеть.
На другой день после посещения графа Аракчеева князь Андрей был вечером у графа Кочубея. Он рассказал графу свое свидание с Силой Андреичем (Кочубей так называл Аракчеева с той же неопределенной над чем то насмешкой, которую заметил князь Андрей в приемной военного министра).
– Mon cher, [Дорогой мой,] даже в этом деле вы не минуете Михаил Михайловича. C'est le grand faiseur. [Всё делается им.] Я скажу ему. Он обещался приехать вечером…
– Какое же дело Сперанскому до военных уставов? – спросил князь Андрей.
Кочубей, улыбнувшись, покачал головой, как бы удивляясь наивности Болконского.
– Мы с ним говорили про вас на днях, – продолжал Кочубей, – о ваших вольных хлебопашцах…
– Да, это вы, князь, отпустили своих мужиков? – сказал Екатерининский старик, презрительно обернувшись на Болконского.
– Маленькое именье ничего не приносило дохода, – отвечал Болконский, чтобы напрасно не раздражать старика, стараясь смягчить перед ним свой поступок.
– Vous craignez d'etre en retard, [Боитесь опоздать,] – сказал старик, глядя на Кочубея.
– Я одного не понимаю, – продолжал старик – кто будет землю пахать, коли им волю дать? Легко законы писать, а управлять трудно. Всё равно как теперь, я вас спрашиваю, граф, кто будет начальником палат, когда всем экзамены держать?
– Те, кто выдержат экзамены, я думаю, – отвечал Кочубей, закидывая ногу на ногу и оглядываясь.
– Вот у меня служит Пряничников, славный человек, золото человек, а ему 60 лет, разве он пойдет на экзамены?…
– Да, это затруднительно, понеже образование весьма мало распространено, но… – Граф Кочубей не договорил, он поднялся и, взяв за руку князя Андрея, пошел навстречу входящему высокому, лысому, белокурому человеку, лет сорока, с большим открытым лбом и необычайной, странной белизной продолговатого лица. На вошедшем был синий фрак, крест на шее и звезда на левой стороне груди. Это был Сперанский. Князь Андрей тотчас узнал его и в душе его что то дрогнуло, как это бывает в важные минуты жизни. Было ли это уважение, зависть, ожидание – он не знал. Вся фигура Сперанского имела особенный тип, по которому сейчас можно было узнать его. Ни у кого из того общества, в котором жил князь Андрей, он не видал этого спокойствия и самоуверенности неловких и тупых движений, ни у кого он не видал такого твердого и вместе мягкого взгляда полузакрытых и несколько влажных глаз, не видал такой твердости ничего незначащей улыбки, такого тонкого, ровного, тихого голоса, и, главное, такой нежной белизны лица и особенно рук, несколько широких, но необыкновенно пухлых, нежных и белых. Такую белизну и нежность лица князь Андрей видал только у солдат, долго пробывших в госпитале. Это был Сперанский, государственный секретарь, докладчик государя и спутник его в Эрфурте, где он не раз виделся и говорил с Наполеоном.