Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	<math>\mathrm{t}(n)</math>
Параметры	<math>n > 0</math> — число степеней свободы
Носитель	<math>x \in (-\infty; +\infty)</math>
Плотность вероятности	<math>\frac{\Gamma(\frac{n+1}2)} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(\frac{n}2)\,(1+\frac{x^2}n)^{\frac{n+1}2
Функция распределения	{{{cdf}}}
Математическое ожидание	{{{mean}}}
Медиана	{{{median}}}
Мода	{{{mode}}}
Дисперсия	{{{variance}}}
Коэффициент асимметрии	{{{skewness}}}
Коэффициент эксцесса	{{{kurtosis}}}
Дифференциальная энтропия	{{{entropy}}}
Производящая функция моментов	{{{mgf}}}
Характеристическая функция	{{{char}}}

</math>|

 cdf        =<math>\frac{1}{2} + {x \Gamma \left( \frac{n+1}2 \right)}\times</math> <math>\frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{n+1}2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{n} \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma (\frac{n}2)}</math> где <math>_2F_1 </math> — гипергеометрическая функция|
 mean       =<math>0</math>, если <math>n>1</math>|
 median     =<math>0</math>|
 mode       =<math>0</math>|
 variance   =<math>\frac{n}{n-2}</math>, если <math>n>2</math>|
 skewness   =<math>0</math>, если <math>n>3</math>|
 kurtosis   =<math>\frac{6}{n-4}</math>, если <math>n>4</math>|
 entropy    =<math>\begin{matrix}
        \frac{n+1}{2}\left[ 
            \psi(\frac{1+n}{2}) 
              - \psi(\frac{n}{2})
        \right] \\[0.5em]

+ \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}</math>

• <math>\psi = \Gamma' / \Gamma</math>,
• <math>B</math>: бета-функция|

|

 mgf        =не определена|
 char       =|

}}

Распределе́ние Стью́дента (<math>t</math>-распределение) в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Уильяма Сили Госсета, который первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Распределение Стьюдента играет важную роль в некоторых широко используемых системах статистического анализа. Пример такой системы, t-критерий Стьюдента для оценки статистического значения разницы между двумя выборочными средними, построения доверительных интервалов разницы между двумя доверительными средними, а также в линейном регрессионном анализе. Распределение Стьюдента также появляется в байесовском анализе данных, распределенных по нормальному закону.

Распределение Стьюдента может быть использовано для оценки того, насколько вероятно, что истинное среднее находится в каком-либо заданном диапазоне.

График плотности распределения Стьюдента, как и нормального распределения, является симметричным и колоколообразным, но с более тяжелыми хвостами, из-за этого, величины с распределением Стьюдента чаще сильно отличаются от математического ожидания.

Это важно для понимания статистического поведения определенных типов соотношений случайных величин, в которых отклонение в знаменателе увеличено и может производить отдаленные величины, когда знаменатель соотношения близок к нулю.

Распределение Стьюдента — частный случай обобщенного гиперболического распределения.

История и этимология

В статистике t-распределение было впервые получено как апостериорное распределение в 1876 году Фридрихом Гельмертом и Якобом Люротом.

В англоязычной литературе распределение берет название из статьи Уильяма Госсета в журнале Пирсона «Биометрика», опубликованной под псевдонимом «Стьюдент».

Госсет работал в пивоварне Гиннесс в Дублине, Ирландия, и применял свои знания в области статистики как при варке пива, так и на полях — для выведения самого урожайного сорта ячменя. Исследования были обращены к нуждам пивоваренной компании и проводились на малом количестве наблюдений, что послужило толчком для развития методов, работающих на малых выборках.

Госсету пришлось скрывать свою личность при публикации, из-за того что ранее другой исследователь, работавший на Гиннесс, опубликовал в своих материалах сведения, составлявшие коммерческую тайну компании, после чего Гиннесс запретил своим работникам публикацию любых материалов, независимо от содержавшейся в них информации.

Статья Госсета описывает распределение как «распределение частоты стандартных отклонений выборки, извлеченных из генеральной совокупности». Оно стало известным благодаря работе Роналда Фишера, который называл распределение «распределением Стьюдента», а величину — величиной t.

Определение

Пусть <math>Y_0,Y_1,\ldots, Y_n</math> — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что <math>Y_i \sim \mathcal{N}(0,1),\; i=0,\ldots, n</math>. Тогда распределение случайной величины <math>t</math>, где

<math>t = \frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i^2}},</math>

называется распределением Стьюдента с <math>n</math> степенями свободы <math>t \sim \mathrm{t}(n)</math>.

Это распределение абсолютно непрерывно с плотностью:

<math>f_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{ n+1}{2}\right)}{\sqrt{ n\pi} \, \Gamma\left(\frac{ n}{2}\right)}\, \left(1+\frac{y^2}{ n}\right)^{-\frac{ n+1}{2}}</math>,

где <math>\Gamma</math> — гамма-функция Эйлера. Таким образом:

<math>\frac{\Gamma(\frac{ n+1}{2})} {\sqrt{ n\pi}\,\Gamma(\frac{ n}{2})} = \frac{( n -1)( n -3)\cdots 5 \cdot 3} {2\sqrt{ n}( n -2)( n -4)\cdots 4 \cdot 2\,}, </math> для чётных <math> n</math>

и соответственно

<math>\frac{\Gamma(\frac{ n+1}{2})} {\sqrt{ n\pi}\,\Gamma(\frac{ n}{2})} = \frac{( n -1)( n -3)\cdots 4 \cdot 2} {\pi \sqrt{ n}( n -2)( n -4)\cdots 5 \cdot 3\,},</math> для нечётных <math> n</math>.

Также плотность распределения Стьюдента можно выразить воспользовавшись бета-функцией Эйлера <math>\mathrm{B}</math>:

<math>f_t(y) = \frac{1}{\sqrt{ n}\,\mathrm{B} (\frac{1}{2}, \frac{ n}{2})} \left(1+\frac{y^2}{ n} \right)^{\!-\frac{ n+1}{2}}</math>.

График функции плотности t-распределения симметричен, а его форма напоминает форму колокола, как у стандартного нормального распределения, но он ниже и шире.

Следующие графики отражают плотность t-распределения при увеличении числа <math> n</math> степеней свободы. Можно наблюдать как по мере возрастания <math> n</math>, кривая функции плотности все больше напоминает стандартное нормальное распределение.

Плотность t-распределения (красная линия) для 1, 2, 3, 5, 10 и 30 степеней свободы
в сравнении со стандартным нормальным распределением (синяя линия). Предыдущие графики показаны зеленым.

Функция распределения

Функция распределения может быть выражена через регуляризованную неполную бета-функцию <math>I</math>. Для t > 0,

<math>F(t) = \int_{-\infty}^t f(u)\,du = 1- \tfrac{1}{2} I_{x(t)}\left(\tfrac{ n}{2}, \tfrac{1}{2}\right), </math> где <math>x(t) = \frac{ n}Шаблон:T^2+ n.</math>

Для t < 0 значения получаются из симметрии.

Другая формула верна для <math>t^2 < n</math>:

<math>\int_{-\infty}^t f(u)\,du =\tfrac{1}{2} + t\frac{\Gamma \left( \tfrac{1}{2}( n+1) \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma \left(\tfrac{ n}{2}\right)} {}_2F_1 \left ( \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}( n+1); \tfrac{3}{2}; -\tfrac{t^2}{ n} \right)</math>,

где ₂F₁ является частным случаем гипергеометрической функции.

Частные случаи

• Распределение Стьюдента с одной степенью свободы (<math> n = 1</math>) это стандартное распределение Коши.

Функция распределения: <math>F(t) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\arctan(t)</math>

Функция плотности: <math>f(t) = \frac{1}{\pi (1+t^2)}</math>

• Распределение Стьюдента с двумя степенями свободы (<math> n = 2</math>):

Функция распределения: <math>F(t) = \tfrac{1}{2}+\frac{t}{2\sqrt{2+t^2}}</math>

Функция плотности: <math>f(t) = \frac{1}{\left(2+t^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>;

• Распределение Стьюдента с тремя степенеями свободы (<math> n = 3</math>):

Функция плотности: <math>f(t) = \frac{6\sqrt{3}}{\pi\left(3+t^2\right)^2}</math>

• Распределение Стьюдента с бесконечным числом степеней свободы (<math> n = \infty</math>):

Функция плотности: <math>f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}}</math>

Свойства распределения Стьюдента

• Распределения Стьюдента симметрично. В частности если <math>t \sim \mathrm{t}(n)</math>, то <math>- t \sim \mathrm{t}(n)</math>.
• Существуют только моменты порядка  <math>k < n</math>, и не существуют моменты порядка  <math>k \ge n</math>. При этом все существующие моменты нечетного порядка равны нулю.

<math>\mathbb{E}\left[t^k\right] = 0</math>, если <math>k</math> нечётно;

<math>\mathbb{E}\left[t^k\right] = \frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{ n}{2}\right)}\left[\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{ n-k}{2}\right) n^{\frac{k}{2}}\right] </math>, если <math>k</math> чётно. В частности,

• Матожидание <math>\mathbb{E}[t] = 0</math>, если <math>n > 1 </math>.
• Дисперсия <math>\mathrm{D}[t] = {n \over n - 2}</math>, если <math>n > 2 </math>.

Характеристики

Распределение Стьюдента с <math> n</math> степенями свободы может быть определено как случайная величина <math>T</math>

<math>T=\frac{Z}{\sqrt{V/ n}} = Z \sqrt{\frac{ n}{V}} ,</math>

где

• Z – случайная величина с распределением <math>\mathcal{N}(0,1)</math>;
• V – случайная величина с распределением хи-квадрат и <math> n</math> степенями свободы;
• Z иV независимы.

Пусть, <math>X_1, \ldots, X_n</math>, независимые случайные величины с нормальным распределением <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>

<math>\overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)</math> – выборочное среднее, а

<math>S_n^{\;2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2</math> – несмещённая оценка дисперсии.

Покажем, что случайная  величина

<math>V = (n-1)\frac{S_n^2}{\sigma^2}</math>

Обладает хи-квадратным распределением с <math> n = n-1</math> степенями свободы.

<math>Z = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{\sigma}</math>,

нормально распределена <math>\mathcal{N}(0,1)</math>, когда выборочное среднее <math>\overline{X}_n</math> имеет нормальное распределение <math>\mathcal{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{n})</math>. Более того, можно показать, что эти две случайные величины (нормально распределенная <math>Z</math> и хи-квадрат распределенная <math>V</math>) независимы.

Подставим получившиеся величину в

<math>T \equiv \frac{Z}{\sqrt{V/ n}} = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{S_n},</math>

с отличием от <math>Z</math> в том, что стандартное отклонение σ заменено случайной величиной <math>S_n</math> имеющей распределение Стьюдента. Заметим, что неизвестная дисперсия σ² не появляется в <math>T</math>, так как она была и в числителе, и в знаменателе. Госсет интуитивно получил плотность вероятности, установленную выше, где <math> n</math> соответствует n–1; Фишер доказал это в 1925 году.

В распределении тестовой статистики, <math>T</math>, зависит от <math> n</math>, но не от μ или σ².

Как проявляется t-распределение

Выборочная дисперсия

Распределение Стьюдента возникает в связи с распределением выборочной дисперсии. Пусть <math>X_1,\ldots, X_n</math> независимые случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</math>. Обозначим <math>\bar{X}</math> выборочное среднее этой выборки, а <math>S^2</math> её выборочную дисперсию. Тогда

<math>\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)</math>.

С этим фактом связано использование распределения Стьюдента в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего выборки из нормального распределения.

Байесовская статистика

В байесовской статистике, нецентральное t-распределение встречается как маргинальное распределение коэффициента <math>m</math> нормального распределения <math>\mathcal{N}(m, \sigma^2)</math>.

Зависимость неизвестной дисперсии выражается через:

<math>\begin{align}

p(\mu\mid D, I) = & \int p(\mu,\sigma^2\mid D, I) \; d \sigma^2 = \int p(\mu\mid D, \sigma^2, I) \; p(\sigma^2\mid D, I) \; d \sigma^2 \end{align}</math>

где <math>D</math> – это данные {x_i}, а <math>I</math> представляет собой любую другую информацию, которая могла быть использована для создания модели.

Когда данные неинформативны из теорема Байеса следует

<math>\begin{align}

p(\mu\mid D, \sigma^2, I) \sim & N(\bar{x}, \frac{\sigma^2}{n}) \end{align}</math>

<math>\begin{align}

p(\sigma^2 \mid D, I) \sim & \operatorname{Scale-inv-\chi^2}( n, s^2) \end{align}</math>

нормальное распределение и масштабированное обратное хи-квадрат распределение, где

<math>s^2 = \sum \frac{(x_i - \bar{x})^2}{n-1}</math>.

Маргинализованный интеграл в таком случае имеет вид

<math>\begin{align}

p(\mu|D, I) &\propto \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\sigma^2}} \exp \left(-\frac{1}{2\sigma^2} n(\mu - \bar{x})^2\right) \;\cdot\; \sigma^{- n-2}\exp(- n s^2/2 \sigma^2) \; d\sigma^2 \\ &\propto \int_0^{\infty} \sigma^{- n-3} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2} \left(n(\mu - \bar{x})^2 + n s^2\right) \right) \; d\sigma^2 \end{align}</math>

после замены <math>z = A / 2\sigma^2</math>, где <math>A = n(\mu - \bar{x})^2 + n s^2</math>,

получим <math>dz = -\frac{A}{2 \sigma^4} d \sigma^2</math>

и оценку <math>p(\mu|D, I) \propto \; A^{-\frac{ n + 1}{2}} \int_0^\infty z^{( n-1)/2} \exp(-z) \, dz </math>

<math>\int_0^\infty z^{( n-1)/2} \exp(-z) \, dz</math> теперь стандартный Гамма интеграл, который оценивается константой

<math>\begin{align}p(\mu\mid D, I) \propto & \; A^{-\frac{ n + 1}{2}} \propto & \left( 1 + \frac{n(\mu - \bar{x})^2}{ n s^2} \right)^{-\frac{ n + 1}{2}} \end{align}</math>

это нестандартизированное t-распределение. 

С помощью замены, <math>t = \frac{\mu - \bar{x}}{s / \sqrt{n}}</math>, получаем стандартизированное t-распределение. 

Дифференцирование выше было представлено для случая неинформативной априорной вероятности для <math>\scriptstyle{\mu}</math> и <math>\scriptstyle{\sigma^2}</math>; но очевидно, что любая априорная вероятность, ведет к смешению нормального распределения и масштабированного обратного хи-квадрат распределение, что нецентральному t-распределению с масштабированием и смещением на <math>\scriptstyle{P(\mu|D,I)}</math>, параметр масштабирования <math>\scriptstyle{\frac{S^2}{n}}</math> будет в находиться под влиянием априорной информации и данных, а не только данных, как в примере выше.

Обобщения распределения Стьюдента

Нестандартизированное распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента можно обобщить до семейства функций с тремя параметрами, включающими коэффициент сдвига <math>\mu</math> и коэффициент масштаба <math>\sigma</math>, через отношение

<math>X = \mu + \sigma T</math>

или

<math>T = \frac{X - \mu}{ \sigma} </math>,

где <math>\frac{x - \mu}{ \sigma} </math> классическое распределение Стьюдента с <math> n </math> степенями свободы.

Плотность нестандартизированного распределение Стьюдента, определяется следующим выражением

<math>p(x\mid n,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma(\frac{ n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{ n}{2})\sqrt{\pi n}\sigma} \left(1+\frac{1}{ n}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)^{-\frac{ n+1}{2}} </math>

Где, <math>\sigma</math> не соответствует стандартному нормальному распределению и задает масштаб

В байесовском выводе предельное распределение неизвестного среднего значения <math>\mu</math> выше чем <math>\sigma</math>, и соответствует <math>\scriptstyle{s/\sqrt{n}}</math>, где

<math>s^2 = \sum \frac{(x_i - \bar{x})^2}{n-1}.</math>

Эквивалентно, распределение можно записать с помощью квадрат коэффициента масштабирования <math>\sigma^2</math>:

<math>p(x\mid n,\mu,\sigma^2) = \frac{\Gamma(\frac{ n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{ n}{2})\sqrt{\pi n\sigma^2}} \left(1+\frac{1}{ n}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)^{-\frac{ n+1}{2}} </math>.

Свойства:

<math>\operatorname{E}(X) = \mu</math> для <math> n > 1</math>,

<math>\text{var}(X) = \sigma^2\frac{ n}{ n-2}</math> для <math> n > 2</math>

<math>\text{mode}(X) = \mu.</math>

Такое распределение является результатом комбинации распределения Гаусса (нормального распределения) со средним значением <math>\mu</math> и неизвестной дисперсией, с обратным гамма-распределением, с дисперсией, имеющей параметры <math>a = n/2</math> and <math>b = n\sigma^2/2</math>.. Другими словами, предполагается, что случайная величина X обладает нормальным распределением с неизвестной дисперсией, распределенной как обратная гамма, а затем дисперсия исключается. Такое свойство полезно из-за того, что обратное гамма-распределение – это сопряженное априорное распределение дисперсии распределения Гаусса, именно поэтому нестандартизированное распределение Стьюдента естественным образом возникает во многих байесовских задачах. 

Эквивалентно, это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса с масштабированным обратным хи-квадрат распределением с параметрами <math> n</math> and <math>\sigma^2</math>. Масштабированное обратное хи-квадрат распределение - точно то же самое распределение, что и обратное гамма-распределение, но с другой параметризацией, а именно <math> n = 2a, \sigma^2 = b/a</math>.

Альтернативная параметризация на основании обратного параметра масштабирования λ (аналогично тому, как мера точности обратна дисперсии), определенная отношением <math>\lambda = \frac{1}{\sigma^2}</math>,

тогда плотность определяется как

<math>p(x| n,\mu,\lambda) = \frac{\Gamma(\frac{ n + 1}{2})}{\Gamma(\frac{ n}{2})} \left(\frac{\lambda}{\pi n}\right)^{\frac{1}{2}} \left(1+\frac{\lambda(x-\mu)^2}{ n}\right)^{-\frac{ n+1}{2}}.</math>

Свойства:

<math>\operatorname{E}(X) = \mu</math> для <math> n > 1</math>,

<math>\text{var}(X) = \frac{1}{\lambda}\frac{ n}{ n-2}</math> для <math> n > 2</math>

<math>\text{mode}(X) = \mu.</math>

Это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса со средним <math>\mu</math> и неизвестной мерой точности (обратной дисперсии), с гамма-распределением с параметрами <math>a = n/2</math> and <math>b = n/(2\lambda)</math>. Другими словами, предполагается, что случайная величина X обладает нормальным распределением с неизвестной гамма-распределённой мерой точности.

Нецентральное распределение Стьюдента

Нецентральное распределение Стьюдента, это один способов обобщения стандартного распределения Стьюдента, включающий дополнительный коэффициент сдвига (параметр нецентральности) <math>\mu</math>.

<math>(Z+\mu)\sqrt{\frac{ n}{V}}.</math>

В нецентральное распределение Стьюдента медиана не совпадает с модой, т.е. оно не симметрично (в отличие от нестандартизированного).

Это распределение важно для изучения статистической мощности t-критерия Стьюдента.

Дискретное распределение Стьюдента

Дискретное распределение Стьюдента имеет следующую функцию распределения с r пропорциональным:

<math> \prod_{j=1}^k \frac{1}{(r+j+a)^2+b^2} \quad \quad r=\ldots, -1, 0, 1, \ldots .</math>

Где a, b, и k – параметры. Такое распределение возникает при работе с системами из дискретных распределений, таких как распределение Пирсона.

Связь с другими распределениями

• Распределение Стьюдента является распределением Пирсона типа VII.
• Распределение Стьюдента с одной степенью свободы (<math> n = 1</math>) это стандартное распределение Коши: <math>\mathrm{t}(1) \equiv \mathrm{C}(0,1) </math>.
• Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при <math>n \to \infty</math>. Пусть дана последовательность случайных величин <math>\{t_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, где <math>t_n \sim \mathrm{t}(n),\; n \in \mathbb{N}</math>. Тогда: <math>t_n \to \mathcal{N}(0,1)</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.
• Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, также имеет распределение Фишера. Пусть <math>t \sim \mathrm{t}(n)</math>. Тогда: <math>t^2 \sim \mathrm{F}(1,n)</math>.

Обобщение распределения Гаусса

Мы можем получить выборку с t-распределением, взяв отношение величин из нормального распределения и квадратный корень из распределения хи-квадрат.

где <math>X_0,X_1,\ldots, X_n</math> — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathcal{N}(0,1),\; i=0,\ldots, n</math>

<math>t = \frac{X_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i^2}}.</math>

Если мы вместо нормального распределения, возьмём например, Ирвин-Холл, получится симметричное распределение с 4-мя параметрами, которое включает в себя нормальное, равномерное, треугольное, а также распределения Стьюдента и Коши; таким образом, это обобщение более гибкое, чем многие другие симметричные обобщения распределения Гаусса.

Применение распределения Стьюдента

Проверка гипотезы

Некоторые статистические данные могут обладать распределением Стьюдента на выборках небольшого размера, поэтому распределение Стьюдента формирует основу критериев значимости. Например, тест ранговой корреляции Спирмена ρ, в нулевом случае (нулевая корреляция) хорошо аппроксимируется распределением Стьюдента при размере выборки больше 20.

Построение доверительного интервала

Распределение Стьюдента может быть использовано для получения доверительного интервала для ненаблюдаемой выборки из нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией.

Предположим, что число A выбрано так

<math>\Pr(-A < T < A)=0.9,</math>

Тогда T обладает t-распределением с n–1 степенями свободы. По симметрии, это равноценно утверждению, что А удовлетворяет

<math>\Pr(T < A) = 0.95,</math> или <math>A=t_{(0.05,n-1)}</math>, тогда

<math>\Pr \left (-A < \frac{\overline{X}_n - \mu}{\frac{S_n}{\sqrt{n}}} < A \right)=0.9,</math>

что эквивалентно

<math>\Pr\left(\overline{X}_n - A \frac{S_n}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X}_n + A\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right) = 0.9.</math>

таким образом, интервал с доверительным пределом в точках <math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}</math>, это 90% доверительный интервал для μ. Следовательно, если мы находим среднее множества наблюдений (нормально распределеных), мы можем использовать распределение Стьюдента, чтобы определить, включают ли доверительные пределы по этому среднему какое-либо теоретически предсказанное значение, например, значение, предсказанное нулевой гипотезой.

Такой подход применяется в t-критерии Стьюдента: если разница между средними значениями выборок из двух нормальных распределений сама может быть нормально распределена, распределение Стьюдента может быть использовано для исследования того, может ли эта разница равняться нулю.

Для нормально распределенных выборок односторонний (1−a) верхний предел доверия (UCL) среднего значения равен

<math>\mathrm{UCL}_{1-a} = \overline{X}_n + t_{a,n-1}\frac{S_n}{\sqrt{n}}</math>.

Полученный в результате верхний предел доверия будет наибольшим средним значением для данного доверительного интервала и размера выборки. Другими словами, если <math>\overline{X}_n</math> среднее значение множества наблюдений, вероятность того, что среднее значение распределения уступает <math>\mathrm{UCL}_{1-n}</math> равна уровню значимости 1–a.

В байесовской статистике

Распределение Стьюдента, особенно нецентральное, часто возникает в байесовской статистике как результат связи с нормальным распределением.

Действительно, если нам неизвестна дисперсия нормально распределенной случайной величины, но известно сопряженное априорное распределение, можно будет подобрать такое гамма-распредение, что полученные в результате величины будут обладать распределением Стьюдента.

Эквивалентные конструкции с теми же результатами включают сопряжённое масштабированное обратное хи-квадратное распределение. Если некорректное априорное распределение, пропорциональное <math>\sigma^2</math>, расположено над дисперсией, то также возникает распределение Стьюдента. Это происходит независимо от того, известно ли среднее нормально распределенной величины, распределённое с сопряжённым априорным распределением, или нет.

Параметрическое моделирование, устойчивое к нарушениям исходных предпосылок

Распределение Стьюдента часто используется в качестве альтернативы нормальному распределению для модели данных. Это происходит из-за того, что довольно часто настоящие данные имеют более тяжелые хвосты, чем позволяет нормальное распределение. Классический подход заключается в определении выбросов и их исключении (или понижении их веса). Однако не всегда легко определить выброс (особенно в задачах с большой размерностью), и распределение Стьюдента является естественным выбором, обеспечивающим параметрический подход к робастной статистике.

Ланж и другие исследовали использование распределения Стьюдента для робастного (устойчивого к нарушениям исходных предпосылок

) моделирования данных. Байесовский расчет обнаруживается у Гельмана и др.

Количество степеней свободы контролирует эксцес распределения и коррелируется с параметром масштабирования.

Некоторые другие свойства распределения Стьюдента

Пусть, <math>A(t| n)</math> – интеграл функции плотности вероятности Стьюдента,  <math>F(t)</math> – вероятность того, что значение t, меньше, чем значение, рассчитанное по данным наблюдений. 

Функция <math>A(t| n)</math> может быть использована для тестировании того, является ли разница между средними значениями двух наборов данных взятых из одной совокупности, статистически значимой, это достигается путём вычисления соответствующего значения t и вероятности его возникновения. 

Это используется например, в T-критерии Стьюдента. Для t-распределения с <math> n</math> степенями свободы, <math>A(t| n)</math> - вероятность того, что t будет меньше наблюдаемого значения, если два средних значения были одинаковыми. Его можно легко вычислить из кумулятивной функции распределения <math>F_{ n}(t)</math> распределения Стьюдента: 

<math>A(t| n) = F_ n(t) - F_ n(-t) = 1 - I_{\frac{ n}{ n +t^2}}\left(\frac{ n}{2},\frac{1}{2}\right),</math>

где I_x - регуляризированная неполная бета функция (a, b). 

При статистической проверки гипотез эта функция используется для построения р-значения.

Выборка по методу Монте Карло

Есть разные подходы к получению случайных величин из распределения Стьюдента. Всё зависит от того, требуются независимые выборки, или они могут быть построены путём применения обратной функции распределения над выборкой с однородным распределением.

В случае с независимой выборкой легко применить расширение метода Бокса-Мюллера в его полярной (тригонометрической) форме. Преимущество этого метода в том, что он одинаково относится ко всем положительным степеням свободы <math> n</math>, в то время как многие другие методы не будут работать, если <math> n</math> близка к нулю.

Плотность распределения Стьюдента через решение дифференциального уравнение

Плотность распределения Стьюдента можно получить, решив следующее дифференциальное уравнение:

<math>\left\{\begin{array}{l} \left( n+x^2\right) f'(x)+( n +1) x f(x)=0, \\ f(1)=\frac{ n^{ n/2}

 ( n +1)^{-\frac{ n}{2}-\frac{1}{2}}}{B\left(\frac{ n}{2}, \frac{1}{2}\right)}

\end{array}\right\}</math>

Таблицы значений

Многие учебники по статистике включают в себя таблицы распределения Стьюдента.

В наши дни лучший способ узнать полностью точное критическое значение t или кумулятивную вероятность — это использование статистической функции, встроенной в электронные таблицы (Office Excel, OpenOffice Calc и т.д.), или интерактивного веб-калькулятора. Нужные функции электронных таблиц — TDIST и TINV.

Таблица ниже включает в себя значения некоторых значений для распределений Стьюдента с v степенями свободы для ряда односторонних или двусторонних критических областей.

В качестве примера того, как читать эту таблицу, возьмём четвёртый ряд, который начинается с 4; это означает, что v, количество степеней свободы, равно 4 (и если мы работаем, как это показано выше, с n величин с фиксированной суммой, то n = 5). Возьмём пятое значение в колонке 95% для односторонних(90% для двусторонних). Значение это равно "2.132". Значит, вероятность, что T меньше 2.132 равна 95% или Pr(−∞ <T< 2.132) = 0.95; это также означает, что Pr(−2.132 <T< 2.132) = 0.9.

Это может быть вычислено по симметрии распределения,

Pr(T < −2.132) = 1 − Pr(T > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05,

получаем

Pr(−2.132 < T < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9.

Обратите внимание, что последний ряд также даёт критические точки: распределение Стьюдента с бесконечным количеством степеней – это нормальное распределение.

Первая колонка отображает число степеней свободы.

односторонний	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
двусторонний	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.080	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
∞	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

Например, если нам дана выборка с выборочной дисперсией 2 и выборочным средним 10, взятая из выборочного набора 11 (10 степеней свободы), используя формулу

<math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}.</math>

Мы можем определить с 90% уровнем доверия, что истинное среднее таково:

<math>10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=10.58510,</math>

(то есть, в среднем, в 90% случаев верхний предел превышает истинное среднее)

и, всё также с 90% уверенностью, мы находим истинное среднее значение, превышающее

<math>10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=9.41490.</math>

(В среднем, в 90% случаев нижний предел меньше истинного среднего)

Так что с 80% уверенностью (1-2*(1-90%) = 80%), мы находим истинное значение, лежащее в интервале

<math>\left(10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}, 10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\right) = \left(9.41490, 10.58510\right). </math>

Другими словами, в 80% случаев истинное среднее ниже верхнего предела и выше нижнего предела.

Это не эквивалентно утверждению, что с 80% вероятностью истинное среднее лежит между определенной парой верхних и нижних пределов.

Литература

• Королюк В.С., Портенко Н.И.,Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.

</center>

Отрывок, характеризующий Распределение Стьюдента

Соня не вырывала у него руки и перестала плакать.
Наташа, не шевелясь и не дыша, блестящими главами смотрела из своей засады. «Что теперь будет»? думала она.
– Соня! Мне весь мир не нужен! Ты одна для меня всё, – говорил Николай. – Я докажу тебе.
– Я не люблю, когда ты так говоришь.
– Ну не буду, ну прости, Соня! – Он притянул ее к себе и поцеловал.
«Ах, как хорошо!» подумала Наташа, и когда Соня с Николаем вышли из комнаты, она пошла за ними и вызвала к себе Бориса.
– Борис, подите сюда, – сказала она с значительным и хитрым видом. – Мне нужно сказать вам одну вещь. Сюда, сюда, – сказала она и привела его в цветочную на то место между кадок, где она была спрятана. Борис, улыбаясь, шел за нею.
– Какая же это одна вещь ? – спросил он.
Она смутилась, оглянулась вокруг себя и, увидев брошенную на кадке свою куклу, взяла ее в руки.
– Поцелуйте куклу, – сказала она.
Борис внимательным, ласковым взглядом смотрел в ее оживленное лицо и ничего не отвечал.
– Не хотите? Ну, так подите сюда, – сказала она и глубже ушла в цветы и бросила куклу. – Ближе, ближе! – шептала она. Она поймала руками офицера за обшлага, и в покрасневшем лице ее видны были торжественность и страх.
– А меня хотите поцеловать? – прошептала она чуть слышно, исподлобья глядя на него, улыбаясь и чуть не плача от волненья.
Борис покраснел.
– Какая вы смешная! – проговорил он, нагибаясь к ней, еще более краснея, но ничего не предпринимая и выжидая.
Она вдруг вскочила на кадку, так что стала выше его, обняла его обеими руками, так что тонкие голые ручки согнулись выше его шеи и, откинув движением головы волосы назад, поцеловала его в самые губы.
Она проскользнула между горшками на другую сторону цветов и, опустив голову, остановилась.
– Наташа, – сказал он, – вы знаете, что я люблю вас, но…
– Вы влюблены в меня? – перебила его Наташа.
– Да, влюблен, но, пожалуйста, не будем делать того, что сейчас… Еще четыре года… Тогда я буду просить вашей руки.
Наташа подумала.
– Тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать… – сказала она, считая по тоненьким пальчикам. – Хорошо! Так кончено?
И улыбка радости и успокоения осветила ее оживленное лицо.
– Кончено! – сказал Борис.
– Навсегда? – сказала девочка. – До самой смерти?
И, взяв его под руку, она с счастливым лицом тихо пошла с ним рядом в диванную.


Графиня так устала от визитов, что не велела принимать больше никого, и швейцару приказано было только звать непременно кушать всех, кто будет еще приезжать с поздравлениями. Графине хотелось с глазу на глаз поговорить с другом своего детства, княгиней Анной Михайловной, которую она не видала хорошенько с ее приезда из Петербурга. Анна Михайловна, с своим исплаканным и приятным лицом, подвинулась ближе к креслу графини.
– С тобой я буду совершенно откровенна, – сказала Анна Михайловна. – Уж мало нас осталось, старых друзей! От этого я так и дорожу твоею дружбой.
Анна Михайловна посмотрела на Веру и остановилась. Графиня пожала руку своему другу.
– Вера, – сказала графиня, обращаясь к старшей дочери, очевидно, нелюбимой. – Как у вас ни на что понятия нет? Разве ты не чувствуешь, что ты здесь лишняя? Поди к сестрам, или…
Красивая Вера презрительно улыбнулась, видимо не чувствуя ни малейшего оскорбления.
– Ежели бы вы мне сказали давно, маменька, я бы тотчас ушла, – сказала она, и пошла в свою комнату.
Но, проходя мимо диванной, она заметила, что в ней у двух окошек симметрично сидели две пары. Она остановилась и презрительно улыбнулась. Соня сидела близко подле Николая, который переписывал ей стихи, в первый раз сочиненные им. Борис с Наташей сидели у другого окна и замолчали, когда вошла Вера. Соня и Наташа с виноватыми и счастливыми лицами взглянули на Веру.
Весело и трогательно было смотреть на этих влюбленных девочек, но вид их, очевидно, не возбуждал в Вере приятного чувства.
– Сколько раз я вас просила, – сказала она, – не брать моих вещей, у вас есть своя комната.
Она взяла от Николая чернильницу.
– Сейчас, сейчас, – сказал он, мокая перо.
– Вы всё умеете делать не во время, – сказала Вера. – То прибежали в гостиную, так что всем совестно сделалось за вас.
Несмотря на то, или именно потому, что сказанное ею было совершенно справедливо, никто ей не отвечал, и все четверо только переглядывались между собой. Она медлила в комнате с чернильницей в руке.
– И какие могут быть в ваши года секреты между Наташей и Борисом и между вами, – всё одни глупости!
– Ну, что тебе за дело, Вера? – тихеньким голоском, заступнически проговорила Наташа.
Она, видимо, была ко всем еще более, чем всегда, в этот день добра и ласкова.
– Очень глупо, – сказала Вера, – мне совестно за вас. Что за секреты?…
– У каждого свои секреты. Мы тебя с Бергом не трогаем, – сказала Наташа разгорячаясь.
– Я думаю, не трогаете, – сказала Вера, – потому что в моих поступках никогда ничего не может быть дурного. А вот я маменьке скажу, как ты с Борисом обходишься.
– Наталья Ильинишна очень хорошо со мной обходится, – сказал Борис. – Я не могу жаловаться, – сказал он.
– Оставьте, Борис, вы такой дипломат (слово дипломат было в большом ходу у детей в том особом значении, какое они придавали этому слову); даже скучно, – сказала Наташа оскорбленным, дрожащим голосом. – За что она ко мне пристает? Ты этого никогда не поймешь, – сказала она, обращаясь к Вере, – потому что ты никогда никого не любила; у тебя сердца нет, ты только madame de Genlis [мадам Жанлис] (это прозвище, считавшееся очень обидным, было дано Вере Николаем), и твое первое удовольствие – делать неприятности другим. Ты кокетничай с Бергом, сколько хочешь, – проговорила она скоро.
– Да уж я верно не стану перед гостями бегать за молодым человеком…
– Ну, добилась своего, – вмешался Николай, – наговорила всем неприятностей, расстроила всех. Пойдемте в детскую.
Все четверо, как спугнутая стая птиц, поднялись и пошли из комнаты.
– Мне наговорили неприятностей, а я никому ничего, – сказала Вера.
– Madame de Genlis! Madame de Genlis! – проговорили смеющиеся голоса из за двери.
Красивая Вера, производившая на всех такое раздражающее, неприятное действие, улыбнулась и видимо не затронутая тем, что ей было сказано, подошла к зеркалу и оправила шарф и прическу. Глядя на свое красивое лицо, она стала, повидимому, еще холоднее и спокойнее.

В гостиной продолжался разговор.
– Ah! chere, – говорила графиня, – и в моей жизни tout n'est pas rose. Разве я не вижу, что du train, que nous allons, [не всё розы. – при нашем образе жизни,] нашего состояния нам не надолго! И всё это клуб, и его доброта. В деревне мы живем, разве мы отдыхаем? Театры, охоты и Бог знает что. Да что обо мне говорить! Ну, как же ты это всё устроила? Я часто на тебя удивляюсь, Annette, как это ты, в свои годы, скачешь в повозке одна, в Москву, в Петербург, ко всем министрам, ко всей знати, со всеми умеешь обойтись, удивляюсь! Ну, как же это устроилось? Вот я ничего этого не умею.
– Ах, душа моя! – отвечала княгиня Анна Михайловна. – Не дай Бог тебе узнать, как тяжело остаться вдовой без подпоры и с сыном, которого любишь до обожания. Всему научишься, – продолжала она с некоторою гордостью. – Процесс мой меня научил. Ежели мне нужно видеть кого нибудь из этих тузов, я пишу записку: «princesse une telle [княгиня такая то] желает видеть такого то» и еду сама на извозчике хоть два, хоть три раза, хоть четыре, до тех пор, пока не добьюсь того, что мне надо. Мне всё равно, что бы обо мне ни думали.
– Ну, как же, кого ты просила о Бореньке? – спросила графиня. – Ведь вот твой уже офицер гвардии, а Николушка идет юнкером. Некому похлопотать. Ты кого просила?
– Князя Василия. Он был очень мил. Сейчас на всё согласился, доложил государю, – говорила княгиня Анна Михайловна с восторгом, совершенно забыв всё унижение, через которое она прошла для достижения своей цели.
– Что он постарел, князь Василий? – спросила графиня. – Я его не видала с наших театров у Румянцевых. И думаю, забыл про меня. Il me faisait la cour, [Он за мной волочился,] – вспомнила графиня с улыбкой.
– Всё такой же, – отвечала Анна Михайловна, – любезен, рассыпается. Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Высокое положение не вскружило ему головы нисколько.] «Я жалею, что слишком мало могу вам сделать, милая княгиня, – он мне говорит, – приказывайте». Нет, он славный человек и родной прекрасный. Но ты знаешь, Nathalieie, мою любовь к сыну. Я не знаю, чего я не сделала бы для его счастья. А обстоятельства мои до того дурны, – продолжала Анна Михайловна с грустью и понижая голос, – до того дурны, что я теперь в самом ужасном положении. Мой несчастный процесс съедает всё, что я имею, и не подвигается. У меня нет, можешь себе представить, a la lettre [буквально] нет гривенника денег, и я не знаю, на что обмундировать Бориса. – Она вынула платок и заплакала. – Мне нужно пятьсот рублей, а у меня одна двадцатипятирублевая бумажка. Я в таком положении… Одна моя надежда теперь на графа Кирилла Владимировича Безухова. Ежели он не захочет поддержать своего крестника, – ведь он крестил Борю, – и назначить ему что нибудь на содержание, то все мои хлопоты пропадут: мне не на что будет обмундировать его.
Графиня прослезилась и молча соображала что то.
– Часто думаю, может, это и грех, – сказала княгиня, – а часто думаю: вот граф Кирилл Владимирович Безухой живет один… это огромное состояние… и для чего живет? Ему жизнь в тягость, а Боре только начинать жить.
– Он, верно, оставит что нибудь Борису, – сказала графиня.
– Бог знает, chere amie! [милый друг!] Эти богачи и вельможи такие эгоисты. Но я всё таки поеду сейчас к нему с Борисом и прямо скажу, в чем дело. Пускай обо мне думают, что хотят, мне, право, всё равно, когда судьба сына зависит от этого. – Княгиня поднялась. – Теперь два часа, а в четыре часа вы обедаете. Я успею съездить.
И с приемами петербургской деловой барыни, умеющей пользоваться временем, Анна Михайловна послала за сыном и вместе с ним вышла в переднюю.
– Прощай, душа моя, – сказала она графине, которая провожала ее до двери, – пожелай мне успеха, – прибавила она шопотом от сына.
– Вы к графу Кириллу Владимировичу, ma chere? – сказал граф из столовой, выходя тоже в переднюю. – Коли ему лучше, зовите Пьера ко мне обедать. Ведь он у меня бывал, с детьми танцовал. Зовите непременно, ma chere. Ну, посмотрим, как то отличится нынче Тарас. Говорит, что у графа Орлова такого обеда не бывало, какой у нас будет.


– Mon cher Boris, [Дорогой Борис,] – сказала княгиня Анна Михайловна сыну, когда карета графини Ростовой, в которой они сидели, проехала по устланной соломой улице и въехала на широкий двор графа Кирилла Владимировича Безухого. – Mon cher Boris, – сказала мать, выпрастывая руку из под старого салопа и робким и ласковым движением кладя ее на руку сына, – будь ласков, будь внимателен. Граф Кирилл Владимирович всё таки тебе крестный отец, и от него зависит твоя будущая судьба. Помни это, mon cher, будь мил, как ты умеешь быть…
– Ежели бы я знал, что из этого выйдет что нибудь, кроме унижения… – отвечал сын холодно. – Но я обещал вам и делаю это для вас.
Несмотря на то, что чья то карета стояла у подъезда, швейцар, оглядев мать с сыном (которые, не приказывая докладывать о себе, прямо вошли в стеклянные сени между двумя рядами статуй в нишах), значительно посмотрев на старенький салоп, спросил, кого им угодно, княжен или графа, и, узнав, что графа, сказал, что их сиятельству нынче хуже и их сиятельство никого не принимают.
– Мы можем уехать, – сказал сын по французски.
– Mon ami! [Друг мой!] – сказала мать умоляющим голосом, опять дотрогиваясь до руки сына, как будто это прикосновение могло успокоивать или возбуждать его.
Борис замолчал и, не снимая шинели, вопросительно смотрел на мать.
– Голубчик, – нежным голоском сказала Анна Михайловна, обращаясь к швейцару, – я знаю, что граф Кирилл Владимирович очень болен… я затем и приехала… я родственница… Я не буду беспокоить, голубчик… А мне бы только надо увидать князя Василия Сергеевича: ведь он здесь стоит. Доложи, пожалуйста.
Швейцар угрюмо дернул снурок наверх и отвернулся.
– Княгиня Друбецкая к князю Василию Сергеевичу, – крикнул он сбежавшему сверху и из под выступа лестницы выглядывавшему официанту в чулках, башмаках и фраке.
Мать расправила складки своего крашеного шелкового платья, посмотрелась в цельное венецианское зеркало в стене и бодро в своих стоптанных башмаках пошла вверх по ковру лестницы.
– Mon cher, voue m'avez promis, [Мой друг, ты мне обещал,] – обратилась она опять к Сыну, прикосновением руки возбуждая его.
Сын, опустив глаза, спокойно шел за нею.
Они вошли в залу, из которой одна дверь вела в покои, отведенные князю Василью.
В то время как мать с сыном, выйдя на середину комнаты, намеревались спросить дорогу у вскочившего при их входе старого официанта, у одной из дверей повернулась бронзовая ручка и князь Василий в бархатной шубке, с одною звездой, по домашнему, вышел, провожая красивого черноволосого мужчину. Мужчина этот был знаменитый петербургский доктор Lorrain.
– C'est donc positif? [Итак, это верно?] – говорил князь.
– Mon prince, «errare humanum est», mais… [Князь, человеку ошибаться свойственно.] – отвечал доктор, грассируя и произнося латинские слова французским выговором.
– C'est bien, c'est bien… [Хорошо, хорошо…]
Заметив Анну Михайловну с сыном, князь Василий поклоном отпустил доктора и молча, но с вопросительным видом, подошел к ним. Сын заметил, как вдруг глубокая горесть выразилась в глазах его матери, и слегка улыбнулся.
– Да, в каких грустных обстоятельствах пришлось нам видеться, князь… Ну, что наш дорогой больной? – сказала она, как будто не замечая холодного, оскорбительного, устремленного на нее взгляда.
Князь Василий вопросительно, до недоумения, посмотрел на нее, потом на Бориса. Борис учтиво поклонился. Князь Василий, не отвечая на поклон, отвернулся к Анне Михайловне и на ее вопрос отвечал движением головы и губ, которое означало самую плохую надежду для больного.
– Неужели? – воскликнула Анна Михайловна. – Ах, это ужасно! Страшно подумать… Это мой сын, – прибавила она, указывая на Бориса. – Он сам хотел благодарить вас.
Борис еще раз учтиво поклонился.
– Верьте, князь, что сердце матери никогда не забудет того, что вы сделали для нас.
– Я рад, что мог сделать вам приятное, любезная моя Анна Михайловна, – сказал князь Василий, оправляя жабо и в жесте и голосе проявляя здесь, в Москве, перед покровительствуемою Анною Михайловной еще гораздо большую важность, чем в Петербурге, на вечере у Annette Шерер.
– Старайтесь служить хорошо и быть достойным, – прибавил он, строго обращаясь к Борису. – Я рад… Вы здесь в отпуску? – продиктовал он своим бесстрастным тоном.
– Жду приказа, ваше сиятельство, чтоб отправиться по новому назначению, – отвечал Борис, не выказывая ни досады за резкий тон князя, ни желания вступить в разговор, но так спокойно и почтительно, что князь пристально поглядел на него.
– Вы живете с матушкой?
– Я живу у графини Ростовой, – сказал Борис, опять прибавив: – ваше сиятельство.
– Это тот Илья Ростов, который женился на Nathalie Шиншиной, – сказала Анна Михайловна.
– Знаю, знаю, – сказал князь Василий своим монотонным голосом. – Je n'ai jamais pu concevoir, comment Nathalieie s'est decidee a epouser cet ours mal – leche l Un personnage completement stupide et ridicule.Et joueur a ce qu'on dit. [Я никогда не мог понять, как Натали решилась выйти замуж за этого грязного медведя. Совершенно глупая и смешная особа. К тому же игрок, говорят.]
– Mais tres brave homme, mon prince, [Но добрый человек, князь,] – заметила Анна Михайловна, трогательно улыбаясь, как будто и она знала, что граф Ростов заслуживал такого мнения, но просила пожалеть бедного старика. – Что говорят доктора? – спросила княгиня, помолчав немного и опять выражая большую печаль на своем исплаканном лице.
– Мало надежды, – сказал князь.
– А мне так хотелось еще раз поблагодарить дядю за все его благодеяния и мне и Боре. C'est son filleuil, [Это его крестник,] – прибавила она таким тоном, как будто это известие должно было крайне обрадовать князя Василия.
Князь Василий задумался и поморщился. Анна Михайловна поняла, что он боялся найти в ней соперницу по завещанию графа Безухого. Она поспешила успокоить его.
– Ежели бы не моя истинная любовь и преданность дяде, – сказала она, с особенною уверенностию и небрежностию выговаривая это слово: – я знаю его характер, благородный, прямой, но ведь одни княжны при нем…Они еще молоды… – Она наклонила голову и прибавила шопотом: – исполнил ли он последний долг, князь? Как драгоценны эти последние минуты! Ведь хуже быть не может; его необходимо приготовить ежели он так плох. Мы, женщины, князь, – она нежно улыбнулась, – всегда знаем, как говорить эти вещи. Необходимо видеть его. Как бы тяжело это ни было для меня, но я привыкла уже страдать.
Князь, видимо, понял, и понял, как и на вечере у Annette Шерер, что от Анны Михайловны трудно отделаться.
– Не было бы тяжело ему это свидание, chere Анна Михайловна, – сказал он. – Подождем до вечера, доктора обещали кризис.
– Но нельзя ждать, князь, в эти минуты. Pensez, il у va du salut de son ame… Ah! c'est terrible, les devoirs d'un chretien… [Подумайте, дело идет о спасения его души! Ах! это ужасно, долг христианина…]
Из внутренних комнат отворилась дверь, и вошла одна из княжен племянниц графа, с угрюмым и холодным лицом и поразительно несоразмерною по ногам длинною талией.
Князь Василий обернулся к ней.
– Ну, что он?
– Всё то же. И как вы хотите, этот шум… – сказала княжна, оглядывая Анну Михайловну, как незнакомую.
– Ah, chere, je ne vous reconnaissais pas, [Ах, милая, я не узнала вас,] – с счастливою улыбкой сказала Анна Михайловна, легкою иноходью подходя к племяннице графа. – Je viens d'arriver et je suis a vous pour vous aider a soigner mon oncle . J`imagine, combien vous avez souffert, [Я приехала помогать вам ходить за дядюшкой. Воображаю, как вы настрадались,] – прибавила она, с участием закатывая глаза.
Княжна ничего не ответила, даже не улыбнулась и тотчас же вышла. Анна Михайловна сняла перчатки и в завоеванной позиции расположилась на кресле, пригласив князя Василья сесть подле себя.
– Борис! – сказала она сыну и улыбнулась, – я пройду к графу, к дяде, а ты поди к Пьеру, mon ami, покаместь, да не забудь передать ему приглашение от Ростовых. Они зовут его обедать. Я думаю, он не поедет? – обратилась она к князю.
– Напротив, – сказал князь, видимо сделавшийся не в духе. – Je serais tres content si vous me debarrassez de ce jeune homme… [Я был бы очень рад, если бы вы меня избавили от этого молодого человека…] Сидит тут. Граф ни разу не спросил про него.
Он пожал плечами. Официант повел молодого человека вниз и вверх по другой лестнице к Петру Кирилловичу.


Пьер так и не успел выбрать себе карьеры в Петербурге и, действительно, был выслан в Москву за буйство. История, которую рассказывали у графа Ростова, была справедлива. Пьер участвовал в связываньи квартального с медведем. Он приехал несколько дней тому назад и остановился, как всегда, в доме своего отца. Хотя он и предполагал, что история его уже известна в Москве, и что дамы, окружающие его отца, всегда недоброжелательные к нему, воспользуются этим случаем, чтобы раздражить графа, он всё таки в день приезда пошел на половину отца. Войдя в гостиную, обычное местопребывание княжен, он поздоровался с дамами, сидевшими за пяльцами и за книгой, которую вслух читала одна из них. Их было три. Старшая, чистоплотная, с длинною талией, строгая девица, та самая, которая выходила к Анне Михайловне, читала; младшие, обе румяные и хорошенькие, отличавшиеся друг от друга только тем, что у одной была родинка над губой, очень красившая ее, шили в пяльцах. Пьер был встречен как мертвец или зачумленный. Старшая княжна прервала чтение и молча посмотрела на него испуганными глазами; младшая, без родинки, приняла точно такое же выражение; самая меньшая, с родинкой, веселого и смешливого характера, нагнулась к пяльцам, чтобы скрыть улыбку, вызванную, вероятно, предстоящею сценой, забавность которой она предвидела. Она притянула вниз шерстинку и нагнулась, будто разбирая узоры и едва удерживаясь от смеха.
– Bonjour, ma cousine, – сказал Пьер. – Vous ne me гесоnnaissez pas? [Здравствуйте, кузина. Вы меня не узнаете?]
– Я слишком хорошо вас узнаю, слишком хорошо.
– Как здоровье графа? Могу я видеть его? – спросил Пьер неловко, как всегда, но не смущаясь.
– Граф страдает и физически и нравственно, и, кажется, вы позаботились о том, чтобы причинить ему побольше нравственных страданий.
– Могу я видеть графа? – повторил Пьер.
– Гм!.. Ежели вы хотите убить его, совсем убить, то можете видеть. Ольга, поди посмотри, готов ли бульон для дяденьки, скоро время, – прибавила она, показывая этим Пьеру, что они заняты и заняты успокоиваньем его отца, тогда как он, очевидно, занят только расстроиванием.
Ольга вышла. Пьер постоял, посмотрел на сестер и, поклонившись, сказал:
– Так я пойду к себе. Когда можно будет, вы мне скажите.
Он вышел, и звонкий, но негромкий смех сестры с родинкой послышался за ним.
На другой день приехал князь Василий и поместился в доме графа. Он призвал к себе Пьера и сказал ему:
– Mon cher, si vous vous conduisez ici, comme a Petersbourg, vous finirez tres mal; c'est tout ce que je vous dis. [Мой милый, если вы будете вести себя здесь, как в Петербурге, вы кончите очень дурно; больше мне нечего вам сказать.] Граф очень, очень болен: тебе совсем не надо его видеть.
С тех пор Пьера не тревожили, и он целый день проводил один наверху, в своей комнате.
В то время как Борис вошел к нему, Пьер ходил по своей комнате, изредка останавливаясь в углах, делая угрожающие жесты к стене, как будто пронзая невидимого врага шпагой, и строго взглядывая сверх очков и затем вновь начиная свою прогулку, проговаривая неясные слова, пожимая плечами и разводя руками.
– L'Angleterre a vecu, [Англии конец,] – проговорил он, нахмуриваясь и указывая на кого то пальцем. – M. Pitt comme traitre a la nation et au droit des gens est condamiene a… [Питт, как изменник нации и народному праву, приговаривается к…] – Он не успел договорить приговора Питту, воображая себя в эту минуту самим Наполеоном и вместе с своим героем уже совершив опасный переезд через Па де Кале и завоевав Лондон, – как увидал входившего к нему молодого, стройного и красивого офицера. Он остановился. Пьер оставил Бориса четырнадцатилетним мальчиком и решительно не помнил его; но, несмотря на то, с свойственною ему быстрою и радушною манерой взял его за руку и дружелюбно улыбнулся.
– Вы меня помните? – спокойно, с приятной улыбкой сказал Борис. – Я с матушкой приехал к графу, но он, кажется, не совсем здоров.
– Да, кажется, нездоров. Его всё тревожат, – отвечал Пьер, стараясь вспомнить, кто этот молодой человек.
Борис чувствовал, что Пьер не узнает его, но не считал нужным называть себя и, не испытывая ни малейшего смущения, смотрел ему прямо в глаза.
– Граф Ростов просил вас нынче приехать к нему обедать, – сказал он после довольно долгого и неловкого для Пьера молчания.
– А! Граф Ростов! – радостно заговорил Пьер. – Так вы его сын, Илья. Я, можете себе представить, в первую минуту не узнал вас. Помните, как мы на Воробьевы горы ездили c m me Jacquot… [мадам Жако…] давно.
– Вы ошибаетесь, – неторопливо, с смелою и несколько насмешливою улыбкой проговорил Борис. – Я Борис, сын княгини Анны Михайловны Друбецкой. Ростова отца зовут Ильей, а сына – Николаем. И я m me Jacquot никакой не знал.
Пьер замахал руками и головой, как будто комары или пчелы напали на него.
– Ах, ну что это! я всё спутал. В Москве столько родных! Вы Борис…да. Ну вот мы с вами и договорились. Ну, что вы думаете о булонской экспедиции? Ведь англичанам плохо придется, ежели только Наполеон переправится через канал? Я думаю, что экспедиция очень возможна. Вилльнев бы не оплошал!
Борис ничего не знал о булонской экспедиции, он не читал газет и о Вилльневе в первый раз слышал.
– Мы здесь в Москве больше заняты обедами и сплетнями, чем политикой, – сказал он своим спокойным, насмешливым тоном. – Я ничего про это не знаю и не думаю. Москва занята сплетнями больше всего, – продолжал он. – Теперь говорят про вас и про графа.
Пьер улыбнулся своей доброю улыбкой, как будто боясь за своего собеседника, как бы он не сказал чего нибудь такого, в чем стал бы раскаиваться. Но Борис говорил отчетливо, ясно и сухо, прямо глядя в глаза Пьеру.
– Москве больше делать нечего, как сплетничать, – продолжал он. – Все заняты тем, кому оставит граф свое состояние, хотя, может быть, он переживет всех нас, чего я от души желаю…
– Да, это всё очень тяжело, – подхватил Пьер, – очень тяжело. – Пьер всё боялся, что этот офицер нечаянно вдастся в неловкий для самого себя разговор.
– А вам должно казаться, – говорил Борис, слегка краснея, но не изменяя голоса и позы, – вам должно казаться, что все заняты только тем, чтобы получить что нибудь от богача.
«Так и есть», подумал Пьер.
– А я именно хочу сказать вам, чтоб избежать недоразумений, что вы очень ошибетесь, ежели причтете меня и мою мать к числу этих людей. Мы очень бедны, но я, по крайней мере, за себя говорю: именно потому, что отец ваш богат, я не считаю себя его родственником, и ни я, ни мать никогда ничего не будем просить и не примем от него.
Пьер долго не мог понять, но когда понял, вскочил с дивана, ухватил Бориса за руку снизу с свойственною ему быстротой и неловкостью и, раскрасневшись гораздо более, чем Борис, начал говорить с смешанным чувством стыда и досады.
– Вот это странно! Я разве… да и кто ж мог думать… Я очень знаю…
Но Борис опять перебил его:
– Я рад, что высказал всё. Может быть, вам неприятно, вы меня извините, – сказал он, успокоивая Пьера, вместо того чтоб быть успокоиваемым им, – но я надеюсь, что не оскорбил вас. Я имею правило говорить всё прямо… Как же мне передать? Вы приедете обедать к Ростовым?
И Борис, видимо свалив с себя тяжелую обязанность, сам выйдя из неловкого положения и поставив в него другого, сделался опять совершенно приятен.
– Нет, послушайте, – сказал Пьер, успокоиваясь. – Вы удивительный человек. То, что вы сейчас сказали, очень хорошо, очень хорошо. Разумеется, вы меня не знаете. Мы так давно не видались…детьми еще… Вы можете предполагать во мне… Я вас понимаю, очень понимаю. Я бы этого не сделал, у меня недостало бы духу, но это прекрасно. Я очень рад, что познакомился с вами. Странно, – прибавил он, помолчав и улыбаясь, – что вы во мне предполагали! – Он засмеялся. – Ну, да что ж? Мы познакомимся с вами лучше. Пожалуйста. – Он пожал руку Борису. – Вы знаете ли, я ни разу не был у графа. Он меня не звал… Мне его жалко, как человека… Но что же делать?
– И вы думаете, что Наполеон успеет переправить армию? – спросил Борис, улыбаясь.
Пьер понял, что Борис хотел переменить разговор, и, соглашаясь с ним, начал излагать выгоды и невыгоды булонского предприятия.
Лакей пришел вызвать Бориса к княгине. Княгиня уезжала. Пьер обещался приехать обедать затем, чтобы ближе сойтись с Борисом, крепко жал его руку, ласково глядя ему в глаза через очки… По уходе его Пьер долго еще ходил по комнате, уже не пронзая невидимого врага шпагой, а улыбаясь при воспоминании об этом милом, умном и твердом молодом человеке.
Как это бывает в первой молодости и особенно в одиноком положении, он почувствовал беспричинную нежность к этому молодому человеку и обещал себе непременно подружиться с ним.
Князь Василий провожал княгиню. Княгиня держала платок у глаз, и лицо ее было в слезах.
– Это ужасно! ужасно! – говорила она, – но чего бы мне ни стоило, я исполню свой долг. Я приеду ночевать. Его нельзя так оставить. Каждая минута дорога. Я не понимаю, чего мешкают княжны. Может, Бог поможет мне найти средство его приготовить!… Adieu, mon prince, que le bon Dieu vous soutienne… [Прощайте, князь, да поддержит вас Бог.]
– Adieu, ma bonne, [Прощайте, моя милая,] – отвечал князь Василий, повертываясь от нее.
– Ах, он в ужасном положении, – сказала мать сыну, когда они опять садились в карету. – Он почти никого не узнает.
– Я не понимаю, маменька, какие его отношения к Пьеру? – спросил сын.
– Всё скажет завещание, мой друг; от него и наша судьба зависит…
– Но почему вы думаете, что он оставит что нибудь нам?
– Ах, мой друг! Он так богат, а мы так бедны!
– Ну, это еще недостаточная причина, маменька.
– Ах, Боже мой! Боже мой! Как он плох! – восклицала мать.


Когда Анна Михайловна уехала с сыном к графу Кириллу Владимировичу Безухому, графиня Ростова долго сидела одна, прикладывая платок к глазам. Наконец, она позвонила.
– Что вы, милая, – сказала она сердито девушке, которая заставила себя ждать несколько минут. – Не хотите служить, что ли? Так я вам найду место.
Графиня была расстроена горем и унизительною бедностью своей подруги и поэтому была не в духе, что выражалось у нее всегда наименованием горничной «милая» и «вы».
– Виновата с, – сказала горничная.
– Попросите ко мне графа.
Граф, переваливаясь, подошел к жене с несколько виноватым видом, как и всегда.
– Ну, графинюшка! Какое saute au madere [сотэ на мадере] из рябчиков будет, ma chere! Я попробовал; не даром я за Тараску тысячу рублей дал. Стоит!