Аксиомы отделимости

Определению топологического пространства удовлетворяет широкий класс множеств. В частности, оно включает пространства, топология которых мало похожа на топологию метрического пространства. Поэтому на топологические пространства часто налагают дополнительные требования, в частности, аксиомы отделимости.

Известно множество аксиом отделимости. Кроме как по имени, они обозначаются с помощью символов T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ и т. д. Буква T в этих обозначениях происходит от нем. Trennungsaxiom, что означает аксиома отделимости.

T₀ — аксиома Колмогорова

Для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁ — аксиома Тихонова

Для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должна существовать окрестность точки <math>x</math>, не содержащая точку <math>y</math> и окрестность точки <math>y</math>, не содержащая точку <math>x</math>. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂ — аксиома Хаусдорфа

Для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должны найтись непересекающиеся окрестности <math>U(x)</math> и <math>V(y)</math>.

T₃

Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любой точки <math>x</math> и её окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>x\in V\subset\bar{V}\subset U</math>.

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃, называются регулярными пространствами.

Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁. Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T_1.

T_3½

Для любого замкнутого множества <math>F</math> и не содержащейся в нём точки <math>a</math> существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция <math>f(x)</math>, заданная на этом пространстве, принимающая значения от <math>0</math> до <math>1</math> на всем пространстве, причем <math>f(a)=0</math> и <math>f(x)=1</math> для всех <math>x</math>, принадлежащих <math>F</math>. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами.

Иногда в определение аксиомы отделимости T_3½ включают требования аксиомы отделимости T₁. Также иногда в определении вполне регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁, но в определение тихоновского пространства она включается_.

T₄

Для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества <math>F</math> и его окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>F\subset V\subset\bar{V}\subset U</math>.

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₄, называются нормальными пространствами.

Иногда в определение аксиомы отделимости T₄ включают требования аксиомы отделимости T₁. Также иногда в определении нормального пространства не включается требование аксиомы T_1.

Свойства

• Аксиомы <math>T_0</math> , <math>T_1</math> и <math>T_2</math> не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома <math>T_1</math>).
• Из аксиомы <math>T_1</math> следует аксиома <math>T_0</math>.
• Хаусдорфовы пространства удовлетворяют аксиоме <math>T_1</math>, а значит и <math>T_0</math>.
• Регулярные пространства являются хаусдорфовыми.
• Вполне регулярные пространства являются регулярными.
• Нормальные пространства являются также и вполне регулярными.
• Компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев [www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html Задачный учебник по топологии]
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3783/отделимости Отделимости аксиома] - статья из математической энциклопедии, автор - В.И.Зайцев

См. также

• Сепарабельность
• Принцип разделимости

Отрывок, характеризующий Аксиомы отделимости

Вдруг всё зашевелилось, толпа заговорила, подвинулась, опять раздвинулась, и между двух расступившихся рядов, при звуках заигравшей музыки, вошел государь. За ним шли хозяин и хозяйка. Государь шел быстро, кланяясь направо и налево, как бы стараясь скорее избавиться от этой первой минуты встречи. Музыканты играли Польской, известный тогда по словам, сочиненным на него. Слова эти начинались: «Александр, Елизавета, восхищаете вы нас…» Государь прошел в гостиную, толпа хлынула к дверям; несколько лиц с изменившимися выражениями поспешно прошли туда и назад. Толпа опять отхлынула от дверей гостиной, в которой показался государь, разговаривая с хозяйкой. Какой то молодой человек с растерянным видом наступал на дам, прося их посторониться. Некоторые дамы с лицами, выражавшими совершенную забывчивость всех условий света, портя свои туалеты, теснились вперед. Мужчины стали подходить к дамам и строиться в пары Польского.
Всё расступилось, и государь, улыбаясь и не в такт ведя за руку хозяйку дома, вышел из дверей гостиной. За ним шли хозяин с М. А. Нарышкиной, потом посланники, министры, разные генералы, которых не умолкая называла Перонская. Больше половины дам имели кавалеров и шли или приготовлялись итти в Польской. Наташа чувствовала, что она оставалась с матерью и Соней в числе меньшей части дам, оттесненных к стене и не взятых в Польской. Она стояла, опустив свои тоненькие руки, и с мерно поднимающейся, чуть определенной грудью, сдерживая дыхание, блестящими, испуганными глазами глядела перед собой, с выражением готовности на величайшую радость и на величайшее горе. Ее не занимали ни государь, ни все важные лица, на которых указывала Перонская – у ней была одна мысль: «неужели так никто не подойдет ко мне, неужели я не буду танцовать между первыми, неужели меня не заметят все эти мужчины, которые теперь, кажется, и не видят меня, а ежели смотрят на меня, то смотрят с таким выражением, как будто говорят: А! это не она, так и нечего смотреть. Нет, это не может быть!» – думала она. – «Они должны же знать, как мне хочется танцовать, как я отлично танцую, и как им весело будет танцовать со мною».
Звуки Польского, продолжавшегося довольно долго, уже начинали звучать грустно, – воспоминанием в ушах Наташи. Ей хотелось плакать. Перонская отошла от них. Граф был на другом конце залы, графиня, Соня и она стояли одни как в лесу в этой чуждой толпе, никому неинтересные и ненужные. Князь Андрей прошел с какой то дамой мимо них, очевидно их не узнавая. Красавец Анатоль, улыбаясь, что то говорил даме, которую он вел, и взглянул на лицо Наташе тем взглядом, каким глядят на стены. Борис два раза прошел мимо них и всякий раз отворачивался. Берг с женою, не танцовавшие, подошли к ним.
Наташе показалось оскорбительно это семейное сближение здесь, на бале, как будто не было другого места для семейных разговоров, кроме как на бале. Она не слушала и не смотрела на Веру, что то говорившую ей про свое зеленое платье.
Наконец государь остановился подле своей последней дамы (он танцовал с тремя), музыка замолкла; озабоченный адъютант набежал на Ростовых, прося их еще куда то посторониться, хотя они стояли у стены, и с хор раздались отчетливые, осторожные и увлекательно мерные звуки вальса. Государь с улыбкой взглянул на залу. Прошла минута – никто еще не начинал. Адъютант распорядитель подошел к графине Безуховой и пригласил ее. Она улыбаясь подняла руку и положила ее, не глядя на него, на плечо адъютанта. Адъютант распорядитель, мастер своего дела, уверенно, неторопливо и мерно, крепко обняв свою даму, пустился с ней сначала глиссадом, по краю круга, на углу залы подхватил ее левую руку, повернул ее, и из за всё убыстряющихся звуков музыки слышны были только мерные щелчки шпор быстрых и ловких ног адъютанта, и через каждые три такта на повороте как бы вспыхивало развеваясь бархатное платье его дамы. Наташа смотрела на них и готова была плакать, что это не она танцует этот первый тур вальса.
Князь Андрей в своем полковничьем, белом (по кавалерии) мундире, в чулках и башмаках, оживленный и веселый, стоял в первых рядах круга, недалеко от Ростовых. Барон Фиргоф говорил с ним о завтрашнем, предполагаемом первом заседании государственного совета. Князь Андрей, как человек близкий Сперанскому и участвующий в работах законодательной комиссии, мог дать верные сведения о заседании завтрашнего дня, о котором ходили различные толки. Но он не слушал того, что ему говорил Фиргоф, и глядел то на государя, то на сбиравшихся танцовать кавалеров, не решавшихся вступить в круг.