U(1)
<math>U(1)</math> (унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: <math>\{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}</math>. Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе <math>SO(2)</math> вращений двумерного вещественного пространства.
Содержание
Названия и обозначения
Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера <math>1\times 1</math>. Данная группа естественным образом изоморфна группе <math>SO(2)</math> вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как <math>T</math> или <math>\mathbb T</math> в связи с тем, что квадрат этой группы <math>\mathbb T\times\mathbb T</math> представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп <math>\mathbb T</math>, не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.
<math>U(1)</math> упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: <math>\partial D</math>) или просто «окружность» (<math>S</math> или <math>S^1</math>).
Некоторые свойства
Группа <math>U(1)</math> компактна, и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную <math>U(1)</math>.
Группа <math>U(1)</math> не является односвязной.
Элементарное толкование
Элементы группы <math>U(1)</math> определяют, фактически, величину угла:
комплексное число <math>z</math> можно записать как <math>z = e^{i\phi}</math> (причём <math>\phi</math> будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов.
Таким образом, группу <math>U(1)</math> можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов <math>SO(2)</math> всей плоскости вокруг начала координат.
Углы, различающиеся на целое число оборотов (<math>2\pi n</math>, если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на <math>120^\circ=2\pi/3</math> и <math>240^\circ=4\pi/3</math> будет равна нулю. Таким образом, группа <math>U(1)</math> изоморфна фактор-группе <math>{\mathbb R}/2\pi{\mathbb Z}</math> группы вещественных чисел по модулю <math>2\pi</math>. Если измерять угол в оборотах (<math>2\pi=360^\circ</math>), то <math>U(1)\approx{\mathbb R}/{\mathbb Z}</math> — группа дробных частей вещественных чисел.
Применение
<math>U(1)</math> является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).
В физике калибровочная <math>U(1)</math>-теория — электродинамика (с уравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике <math>U(1)</math> — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.
См. также
Напишите отзыв о статье "U(1)"
Отрывок, характеризующий U(1)
Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории.Первые пятнадцать лет XIX столетия в Европе представляют необыкновенное движение миллионов людей. Люди оставляют свои обычные занятия, стремятся с одной стороны Европы в другую, грабят, убивают один другого, торжествуют и отчаиваются, и весь ход жизни на несколько лет изменяется и представляет усиленное движение, которое сначала идет возрастая, потом ослабевая. Какая причина этого движения или по каким законам происходило оно? – спрашивает ум человеческий.
Историки, отвечая на этот вопрос, излагают нам деяния и речи нескольких десятков людей в одном из зданий города Парижа, называя эти деяния и речи словом революция; потом дают подробную биографию Наполеона и некоторых сочувственных и враждебных ему лиц, рассказывают о влиянии одних из этих лиц на другие и говорят: вот отчего произошло это движение, и вот законы его.
Но ум человеческий не только отказывается верить в это объяснение, но прямо говорит, что прием объяснения не верен, потому что при этом объяснении слабейшее явление принимается за причину сильнейшего. Сумма людских произволов сделала и революцию и Наполеона, и только сумма этих произволов терпела их и уничтожила.
«Но всякий раз, когда были завоевания, были завоеватели; всякий раз, когда делались перевороты в государстве, были великие люди», – говорит история. Действительно, всякий раз, когда являлись завоеватели, были и войны, отвечает ум человеческий, но это не доказывает, чтобы завоеватели были причинами войн и чтобы возможно было найти законы войны в личной деятельности одного человека. Всякий раз, когда я, глядя на свои часы, вижу, что стрелка подошла к десяти, я слышу, что в соседней церкви начинается благовест, но из того, что всякий раз, что стрелка приходит на десять часов тогда, как начинается благовест, я не имею права заключить, что положение стрелки есть причина движения колоколов.
Всякий раз, как я вижу движение паровоза, я слышу звук свиста, вижу открытие клапана и движение колес; но из этого я не имею права заключить, что свист и движение колес суть причины движения паровоза.
Крестьяне говорят, что поздней весной дует холодный ветер, потому что почка дуба развертывается, и действительно, всякую весну дует холодный ветер, когда развертывается дуб. Но хотя причина дующего при развертыванье дуба холодного ветра мне неизвестна, я не могу согласиться с крестьянами в том, что причина холодного ветра есть раэвертыванье почки дуба, потому только, что сила ветра находится вне влияний почки. Я вижу только совпадение тех условий, которые бывают во всяком жизненном явлении, и вижу, что, сколько бы и как бы подробно я ни наблюдал стрелку часов, клапан и колеса паровоза и почку дуба, я не узнаю причину благовеста, движения паровоза и весеннего ветра. Для этого я должен изменить совершенно свою точку наблюдения и изучать законы движения пара, колокола и ветра. То же должна сделать история. И попытки этого уже были сделаны.
Для изучения законов истории мы должны изменить совершенно предмет наблюдения, оставить в покое царей, министров и генералов, а изучать однородные, бесконечно малые элементы, которые руководят массами. Никто не может сказать, насколько дано человеку достигнуть этим путем понимания законов истории; но очевидно, что на этом пути только лежит возможность уловления исторических законов и что на этом пути не положено еще умом человеческим одной миллионной доли тех усилий, которые положены историками на описание деяний различных царей, полководцев и министров и на изложение своих соображений по случаю этих деяний.
