W-функция Ламберта

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

<math>W</math>-функция Ламберта определяется как обратная функция к <math>f(w)=w e^w</math>, для комплексных <math>w</math>. Обозначается <math>W(x)</math> или <math>\operatorname{LambertW}(x)</math>. Для любого комплексного <math>z</math> она определяется функциональным уравнением:

<math>z=W(z) e^{W(z)}</math>

<math>W</math>-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.





История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера в 1779 года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»[1].

Многозначность

 Эта статья или раздел описывает ситуацию лишь применительно к частным случаям (<math>W_0(x)</math>).
Необходимо переработать изложение или добавить информацию, чтобы статья описывала более общий случай.

Поскольку функция <math>f(w)</math> не является инъективной на интервале <math>(-\infty,0)</math>, <math>W(z)</math> является многозначной функцией на <math>[-\frac{1}{e},0)</math>. Если ограничиться вещественными <math>z = x\geqslant-1/e</math> и потребовать <math>w\geqslant -1</math>, будет определена однозначная функция <math>W_0(x)</math>.

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.

<math>\left.W(z)\right|_{z \to \infty} = \log(z)-\log( \log(z) )</math>

<math>\left.W(z)\right|_{z \to -\frac{1}{e}} = \sqrt{ 2 ( ez + 1 ) }-1</math>

Другие формулы

<math>\int_{0}^{\pi} W\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>
<math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>
<math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при <math>z\ne -\tfrac{1}{e}</math> функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

<math>{dW\over dz} = \frac{1}{z} \frac{W(z)}{W(z)+1}.</math>

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при <math>|z|<\tfrac{1}{e}</math>:

<math>W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots.</math>

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

<math>\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.</math>

Значения в некоторых точках

<math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}</math>
<math>W(-1) \approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}</math>
<math>W\left(-{1\over e}\right) = -1</math>
<math>W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right) </math>
<math>W(0) = 0</math>
<math>W(e) = 1</math>
<math>W(1) = \Omega \approx 0{,}56714329</math> (постоянная Омега)

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример: <math>x^x=z</math>

<math>\ln z=x\ln x=e^{\ln x}\,\ln x</math>, следовательно, <math>x=e^{W(\ln z)}</math>.

Пример: <math>2^x=5 x</math>

<math>1 = 5 x\cdot 2^{-x} = 5 x\, e^{-x\ln 2}</math>

Обозначим <math>y=-x\ln 2</math>, тогда <math>y\,e^y={-\ln 2\over 5}</math>, отсюда <math>y=W\left({-\ln 2\over 5}\right)</math> и окончательно <math>x=-{1\over\ln2}W\left({-\ln 2\over 5}\right)</math>.

Обобщенные применения W-Функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

<math> e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)</math>

где a0, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является <math> x = r + \frac{1}{c} W( \frac{c\,e^{-c r}}{a_o })</math>. Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции Ламберта:[2][3][4]

<math> e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)</math>
и где константы r1 и r2, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а ri и ao являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию “Meijer G", оно принадлежит к другому типу функций. Когда r1 = r2, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.
  • Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода[6][7]. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:
<math> e^{-c x} = a_o \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)</math>
где ri и si константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики[8].

Вычисление

<math>W</math>-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения[1]:

<math>

w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}} </math>

Пример программы на языке Python: 

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in xrange(100):
        wTimesExpW = w*math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
        if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
            break
    if (prec <= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
        raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу[9]: !!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10% отличается от функции Ламберта

<math>

W(x) \approx \left\{ \begin{matrix} 0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0{,}04 & \ :\ & 0<x\le500 \\ \ln(x-4) - (1-{1\over\ln x}) \ln\ln x & \ :\ & x>500 \\ \end{matrix} \right. </math>

Напишите отзыв о статье "W-функция Ламберта"

Ссылки

  1. ↑ 1 2 Corless et al. (1996). «[www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.ps On the Lambert W function]». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.
  2. ↑ T. C. Scott, R. B. Mann (2006). «[arxiv.org/abs/math-ph/0607011 General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function]». AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1): 41–47. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.
  3. ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). «[www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html Asymptotic series of Generalized Lambert W Function]». SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185): 75–83.
  4. ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W.Z. Zhang (2014). «[www.sigsam.org/cca/issues/issue188.html Numerics of the Generalized Lambert W Function]». SIGSAM 48 (1/2): 42–56.
  5. ↑ P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott (2007). «[arxiv.org/abs/gr-qc/0611144 N-body Gravity and the Schrödinger Equation]». Class. Quantum Grav. 24 (18): 4647–4659. DOI:10.1088/0264-9381/24/18/006.
  6. ↑ T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). «[arxiv.org/abs/physics/0607081 New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion]». Chem. Phys. 324: 323–338. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.10.031.
  7. ↑ Maignan, Aude (2016). «Fleshing out the Generalized Lambert W Function». SIGSAM 50 (2): 45–60. DOI:10.1145/2992274.2992275.
  8. ↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). «The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions». Phys. Rev. A 75: 060101. DOI:10.1103/PhysRevA.75.060101.
  9. ↑ [www.desy.de/~t00fri/qcdins/texhtml/lambertw/ Double precision function LAMBERTW(X)] в пакете [www.desy.de/~t00fri/qcdins/qcdins.html QCDINS]

Отрывок, характеризующий W-функция Ламберта

– А другой то австрияк, с ним был, словно мелом вымазан. Как мука, белый. Я чай, как амуницию чистят!
– Что, Федешоу!… сказывал он, что ли, когда стражения начнутся, ты ближе стоял? Говорили всё, в Брунове сам Бунапарте стоит.
– Бунапарте стоит! ишь врет, дура! Чего не знает! Теперь пруссак бунтует. Австрияк его, значит, усмиряет. Как он замирится, тогда и с Бунапартом война откроется. А то, говорит, в Брунове Бунапарте стоит! То то и видно, что дурак. Ты слушай больше.
– Вишь черти квартирьеры! Пятая рота, гляди, уже в деревню заворачивает, они кашу сварят, а мы еще до места не дойдем.
– Дай сухарика то, чорт.
– А табаку то вчера дал? То то, брат. Ну, на, Бог с тобой.
– Хоть бы привал сделали, а то еще верст пять пропрем не емши.
– То то любо было, как немцы нам коляски подавали. Едешь, знай: важно!
– А здесь, братец, народ вовсе оголтелый пошел. Там всё как будто поляк был, всё русской короны; а нынче, брат, сплошной немец пошел.
– Песенники вперед! – послышался крик капитана.
И перед роту с разных рядов выбежало человек двадцать. Барабанщик запевало обернулся лицом к песенникам, и, махнув рукой, затянул протяжную солдатскую песню, начинавшуюся: «Не заря ли, солнышко занималося…» и кончавшуюся словами: «То то, братцы, будет слава нам с Каменскиим отцом…» Песня эта была сложена в Турции и пелась теперь в Австрии, только с тем изменением, что на место «Каменскиим отцом» вставляли слова: «Кутузовым отцом».
Оторвав по солдатски эти последние слова и махнув руками, как будто он бросал что то на землю, барабанщик, сухой и красивый солдат лет сорока, строго оглянул солдат песенников и зажмурился. Потом, убедившись, что все глаза устремлены на него, он как будто осторожно приподнял обеими руками какую то невидимую, драгоценную вещь над головой, подержал ее так несколько секунд и вдруг отчаянно бросил ее:
Ах, вы, сени мои, сени!
«Сени новые мои…», подхватили двадцать голосов, и ложечник, несмотря на тяжесть амуниции, резво выскочил вперед и пошел задом перед ротой, пошевеливая плечами и угрожая кому то ложками. Солдаты, в такт песни размахивая руками, шли просторным шагом, невольно попадая в ногу. Сзади роты послышались звуки колес, похрускиванье рессор и топот лошадей.
Кутузов со свитой возвращался в город. Главнокомандующий дал знак, чтобы люди продолжали итти вольно, и на его лице и на всех лицах его свиты выразилось удовольствие при звуках песни, при виде пляшущего солдата и весело и бойко идущих солдат роты. Во втором ряду, с правого фланга, с которого коляска обгоняла роты, невольно бросался в глаза голубоглазый солдат, Долохов, который особенно бойко и грациозно шел в такт песни и глядел на лица проезжающих с таким выражением, как будто он жалел всех, кто не шел в это время с ротой. Гусарский корнет из свиты Кутузова, передразнивавший полкового командира, отстал от коляски и подъехал к Долохову.
Гусарский корнет Жерков одно время в Петербурге принадлежал к тому буйному обществу, которым руководил Долохов. За границей Жерков встретил Долохова солдатом, но не счел нужным узнать его. Теперь, после разговора Кутузова с разжалованным, он с радостью старого друга обратился к нему:
– Друг сердечный, ты как? – сказал он при звуках песни, ровняя шаг своей лошади с шагом роты.
– Я как? – отвечал холодно Долохов, – как видишь.
Бойкая песня придавала особенное значение тону развязной веселости, с которой говорил Жерков, и умышленной холодности ответов Долохова.
– Ну, как ладишь с начальством? – спросил Жерков.
– Ничего, хорошие люди. Ты как в штаб затесался?
– Прикомандирован, дежурю.
Они помолчали.
«Выпускала сокола да из правого рукава», говорила песня, невольно возбуждая бодрое, веселое чувство. Разговор их, вероятно, был бы другой, ежели бы они говорили не при звуках песни.
– Что правда, австрийцев побили? – спросил Долохов.
– А чорт их знает, говорят.
– Я рад, – отвечал Долохов коротко и ясно, как того требовала песня.
– Что ж, приходи к нам когда вечерком, фараон заложишь, – сказал Жерков.
– Или у вас денег много завелось?
– Приходи.
– Нельзя. Зарок дал. Не пью и не играю, пока не произведут.
– Да что ж, до первого дела…
– Там видно будет.
Опять они помолчали.
– Ты заходи, коли что нужно, все в штабе помогут… – сказал Жерков.
Долохов усмехнулся.
– Ты лучше не беспокойся. Мне что нужно, я просить не стану, сам возьму.
– Да что ж, я так…
– Ну, и я так.
– Прощай.
– Будь здоров…
… и высоко, и далеко,
На родиму сторону…
Жерков тронул шпорами лошадь, которая раза три, горячась, перебила ногами, не зная, с какой начать, справилась и поскакала, обгоняя роту и догоняя коляску, тоже в такт песни.


Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет и, кликнув адъютанта, приказал подать себе некоторые бумаги, относившиеся до состояния приходивших войск, и письма, полученные от эрцгерцога Фердинанда, начальствовавшего передовою армией. Князь Андрей Болконский с требуемыми бумагами вошел в кабинет главнокомандующего. Перед разложенным на столе планом сидели Кутузов и австрийский член гофкригсрата.
– А… – сказал Кутузов, оглядываясь на Болконского, как будто этим словом приглашая адъютанта подождать, и продолжал по французски начатый разговор.
– Я только говорю одно, генерал, – говорил Кутузов с приятным изяществом выражений и интонации, заставлявшим вслушиваться в каждое неторопливо сказанное слово. Видно было, что Кутузов и сам с удовольствием слушал себя. – Я только одно говорю, генерал, что ежели бы дело зависело от моего личного желания, то воля его величества императора Франца давно была бы исполнена. Я давно уже присоединился бы к эрцгерцогу. И верьте моей чести, что для меня лично передать высшее начальство армией более меня сведущему и искусному генералу, какими так обильна Австрия, и сложить с себя всю эту тяжкую ответственность для меня лично было бы отрадой. Но обстоятельства бывают сильнее нас, генерал.
И Кутузов улыбнулся с таким выражением, как будто он говорил: «Вы имеете полное право не верить мне, и даже мне совершенно всё равно, верите ли вы мне или нет, но вы не имеете повода сказать мне это. И в этом то всё дело».
Австрийский генерал имел недовольный вид, но не мог не в том же тоне отвечать Кутузову.
– Напротив, – сказал он ворчливым и сердитым тоном, так противоречившим лестному значению произносимых слов, – напротив, участие вашего превосходительства в общем деле высоко ценится его величеством; но мы полагаем, что настоящее замедление лишает славные русские войска и их главнокомандующих тех лавров, которые они привыкли пожинать в битвах, – закончил он видимо приготовленную фразу.
Кутузов поклонился, не изменяя улыбки.
– А я так убежден и, основываясь на последнем письме, которым почтил меня его высочество эрцгерцог Фердинанд, предполагаю, что австрийские войска, под начальством столь искусного помощника, каков генерал Мак, теперь уже одержали решительную победу и не нуждаются более в нашей помощи, – сказал Кутузов.
Генерал нахмурился. Хотя и не было положительных известий о поражении австрийцев, но было слишком много обстоятельств, подтверждавших общие невыгодные слухи; и потому предположение Кутузова о победе австрийцев было весьма похоже на насмешку. Но Кутузов кротко улыбался, всё с тем же выражением, которое говорило, что он имеет право предполагать это. Действительно, последнее письмо, полученное им из армии Мака, извещало его о победе и о самом выгодном стратегическом положении армии.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=W-функция_Ламберта&oldid=81045857»