Z-преобразование
Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты <math>E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}</math>, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Содержание
Определение
Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее
Двустороннее Z-преобразование
Двустороннее Z-преобразование <math>X(z)</math> дискретного временного сигнала <math>x[n]</math> задаётся как:
- <math>X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.</math>
где <math>n</math> — целое, <math>z</math> — комплексное число.
- <math>z=Ae^{j\varphi},</math>
где <math>A</math> — амплитуда, а <math>\varphi</math> — угловая частота (в радианах на отсчёт)
Одностороннее Z-преобразование
В случаях, когда <math>x[n]</math> определена только для <math>n\geqslant0</math>, одностороннее Z-преобразование задаётся как:
- <math>X(z)=Z\{x[n]\} =\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}.</math>
Обратное Z-преобразование
Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
- <math>x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{C}X(z)z^{n-1}\,dz,</math>
где <math>C</math> — контур, охватывающий область сходимости <math>X(z)</math>. Контур должен содержать все вычеты <math>X(z)</math>.
Положив в предыдущей формуле <math>z=re^{j\varphi}</math>, получим эквивалентное определение: <math>x[n]=\frac{r^n}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}\,d\varphi.</math>
Область сходимости
Область сходимости <math>D</math> представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:
- <math>D=\left\{z \Big| \lim_{m\to\infty}\sum_{n=-m}^{m}x[n]z^{-n} = const < \infty\right\}.</math>
Пример 1 (без области сходимости)
Пусть <math>x[n]=0{,}5^n</math>. Раскрывая <math>x[n]</math> на интервале <math>(-\infty,\;\infty)</math>, получаем
- <math>x[n]=\{\ldots,\;0{,}5^{-3},\;0{,}5^{-2},\;0{,}5^{-1},\;1,\;0{,}5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}=\{\ldots,\;2^3,\;2^2,\;2,\;1,\;0{,}5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}.</math>
Смотрим на сумму:
- <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\infty.</math>
Поэтому, не существует таких значений <math>z</math>, которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Таблица некоторых Z-преобразований
Обозначения:
- <math>\theta[n]=\left\{\begin{array}{c} 1, n\geqslant0 \\ 0, n<0\end{array}\right.</math> — функция Хевисайда.
- <math>\delta[n]=1</math> для <math>n=0</math>, иначе <math>\delta[n]=0</math> — дельта Кронекера.
| Сигнал, <math>x[n]</math> | Z-преобразование, <math>X(z)</math> | Область сходимости | |
|---|---|---|---|
| 1 | <math>\delta[n]</math> | <math>1</math> | <math>\forall z</math> |
| 2 | <math>\delta[n-n_0]</math> | <math>\frac{1}{z^{n_0}}</math> | <math>z\neq 0</math> |
| 3 | <math>\theta[n]</math> | <math>\frac{z}{z-1}</math> | z|>1</math> |
| 4 | <math>a^n\theta[n]</math> | <math>\frac{1}{1-az^{-1}}</math> | z|>|a|</math> |
| 5 | <math>na^n\theta[n]</math> | <math>\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}</math> | z|>|a|</math> |
| 6 | <math>-a^n\theta[-n-1]</math> | <math>\frac{1}{1-az^{-1}}</math> | z|<|a|</math> |
| 7 | <math>-na^n\theta[-n-1]</math> | <math>\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}</math> | z|<|a|</math> |
| 8 | <math>\cos(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{1-z^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}</math> | z|>1</math> |
| 9 | <math>\sin(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{z^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}</math> | z|>1</math> |
| 10 | <math>a^n\cos(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{1-az^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}</math> | z|>|a|</math> |
| 11 | <math>a^n\sin(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}</math> | z|>|a|</math> |
См. также
Напишите отзыв о статье "Z-преобразование"
Ссылки
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html Z-Transform] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- [lib.mexmat.ru/books/1774 Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.]
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
| ||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Z-преобразование
Один вз них бежал наперерез коляске графа Растопчина. И сам граф Растопчин, и его кучер, и драгуны, все смотрели с смутным чувством ужаса и любопытства на этих выпущенных сумасшедших и в особенности на того, который подбегал к вим.Шатаясь на своих длинных худых ногах, в развевающемся халате, сумасшедший этот стремительно бежал, не спуская глаз с Растопчина, крича ему что то хриплым голосом и делая знаки, чтобы он остановился. Обросшее неровными клочками бороды, сумрачное и торжественное лицо сумасшедшего было худо и желто. Черные агатовые зрачки его бегали низко и тревожно по шафранно желтым белкам.
– Стой! Остановись! Я говорю! – вскрикивал он пронзительно и опять что то, задыхаясь, кричал с внушительными интонациями в жестами.
Он поравнялся с коляской и бежал с ней рядом.
– Трижды убили меня, трижды воскресал из мертвых. Они побили каменьями, распяли меня… Я воскресну… воскресну… воскресну. Растерзали мое тело. Царствие божие разрушится… Трижды разрушу и трижды воздвигну его, – кричал он, все возвышая и возвышая голос. Граф Растопчин вдруг побледнел так, как он побледнел тогда, когда толпа бросилась на Верещагина. Он отвернулся.
– Пош… пошел скорее! – крикнул он на кучера дрожащим голосом.
Коляска помчалась во все ноги лошадей; но долго еще позади себя граф Растопчин слышал отдаляющийся безумный, отчаянный крик, а перед глазами видел одно удивленно испуганное, окровавленное лицо изменника в меховом тулупчике.
Как ни свежо было это воспоминание, Растопчин чувствовал теперь, что оно глубоко, до крови, врезалось в его сердце. Он ясно чувствовал теперь, что кровавый след этого воспоминания никогда не заживет, но что, напротив, чем дальше, тем злее, мучительнее будет жить до конца жизни это страшное воспоминание в его сердце. Он слышал, ему казалось теперь, звуки своих слов:
«Руби его, вы головой ответите мне!» – «Зачем я сказал эти слова! Как то нечаянно сказал… Я мог не сказать их (думал он): тогда ничего бы не было». Он видел испуганное и потом вдруг ожесточившееся лицо ударившего драгуна и взгляд молчаливого, робкого упрека, который бросил на него этот мальчик в лисьем тулупе… «Но я не для себя сделал это. Я должен был поступить так. La plebe, le traitre… le bien publique», [Чернь, злодей… общественное благо.] – думал он.
У Яузского моста все еще теснилось войско. Было жарко. Кутузов, нахмуренный, унылый, сидел на лавке около моста и плетью играл по песку, когда с шумом подскакала к нему коляска. Человек в генеральском мундире, в шляпе с плюмажем, с бегающими не то гневными, не то испуганными глазами подошел к Кутузову и стал по французски говорить ему что то. Это был граф Растопчин. Он говорил Кутузову, что явился сюда, потому что Москвы и столицы нет больше и есть одна армия.
– Было бы другое, ежели бы ваша светлость не сказали мне, что вы не сдадите Москвы, не давши еще сражения: всего этого не было бы! – сказал он.
Кутузов глядел на Растопчина и, как будто не понимая значения обращенных к нему слов, старательно усиливался прочесть что то особенное, написанное в эту минуту на лице говорившего с ним человека. Растопчин, смутившись, замолчал. Кутузов слегка покачал головой и, не спуская испытующего взгляда с лица Растопчина, тихо проговорил:
– Да, я не отдам Москвы, не дав сражения.
Думал ли Кутузов совершенно о другом, говоря эти слова, или нарочно, зная их бессмысленность, сказал их, но граф Растопчин ничего не ответил и поспешно отошел от Кутузова. И странное дело! Главнокомандующий Москвы, гордый граф Растопчин, взяв в руки нагайку, подошел к мосту и стал с криком разгонять столпившиеся повозки.
