Аксиоматика теории множеств

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Сюда перенаправляется запрос «Теория Цермело — Френкеля». На эту тему нужна отдельная статья.

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, — из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело—Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Названа в честь Эрнста Цермело и Адольфа (Авраама) Френкеля.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Аксиомы ZFC

Аксиомами ZFC называется следующая совокупность высказываний теории множеств:

• <math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \Leftrightarrow b \in a_2) \Rightarrow a_1 = a_2)</math>

---

• <math>\exist a\ \forall b \ (b \notin a)</math>
• <math>\exist a\colon \bigl(\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \Rightarrow b \cup \{b\} \in a) \bigr)</math>

---

• <math>\forall a_1 \forall a_2 \ \exist c \ \forall b \ \bigl(b \in c \Leftrightarrow (b = a_1 \ \lor \ b = a_2)\bigr)</math>
• <math>\forall a\ \exist d\ \forall b \ \bigl(b \in d \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \Rightarrow c \in a) \bigr)</math>
• <math>\forall a\ \exist d\ \forall c \ \bigl(c \in d \Leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \bigr)</math>
• <math>\forall a\ \exist c\ \forall b \ \bigl(b \in c \Leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b] \bigr)</math>
• <math>\forall x\ \exist ! y \ \phi[x,y] \Rightarrow \forall a\ \exist d\ \forall c \ \bigl(c \in d \Leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \bigr)</math>

---

• <math>\forall a \ \Bigl(a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ \bigl(b \in a \ \land \ \forall c \ (c \in b \Rightarrow c \notin a) \bigr) \Bigr)</math>
• <math>\begin{align}

\forall a \ \Bigl(a \ne \varnothing \ \land \ \forall b \ (b \in a \Rightarrow b \ne \varnothing) \ \land \ \forall b_1 \forall b_2 \ (b_1 \ne b_2 \ \land \ \{b_1, b_2\} \subseteq a \Rightarrow b_1 \cap b_2 = \varnothing) \\ \Rightarrow \exist d \forall b \ \bigl(b \in a \to \exist c \ (b \cap d = \{c\}) \bigr) \Bigr) \end{align}</math>

Пояснение к аксиомам ZFC

Аксиомы ZFC включают в себя:

0) группу высказываний о равенстве множеств (1 аксиома),

1) группу высказываний о существовании множеств (2 аксиомы),

2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (3 аксиомы и 2 схемы), в которой можно выделить три подгруппы,

3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (2 аксиомы).

0. Критерий равенства множеств в ZFC

Следующее высказывание выражает достаточное условие идентичности двух множеств.

Аксиома экстенсиональности (Аксиома объёмности)

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)</math>

Примечание

«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда оба множества идентичны.»

Необходимое условие идентичности двух множеств имеет вид <math>\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2))</math> и выводится из аксиом предиката <math>=</math>, а именно:

<math>\forall a \ (a = a)</math>,

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \to (\varphi[a_1] \to \varphi[a_2]))</math>, где <math>\varphi[a_1]</math> — любое математически корректное суждение об <math>a_1</math>, а <math>\varphi[a_2]</math> — то же самое суждение, но об <math>a_2</math>.

Соединение указанного необходимого условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:

<math>\forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 = a_2 \leftrightarrow \forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \ )</math>

1. Аксиомы ZFC о существовании множеств

«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

1.0 Аксиома пустого множества

<math>\exists a \forall b \ (b \notin a)</math>

Примечание

«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию <math>\exist ! a \forall b \ (b \notin a)</math>. Поэтому единственному множеству <math>a</math> можно присвоить имя. Употребительны два имени: <math>\varnothing</math> и <math>\{\}</math>. Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:

<math>\forall b \ (b \notin \varnothing)</math> и <math>\forall b \ (b \notin \{\})</math>

1.1 Аксиома бесконечности

<math>\exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a) \ )</math>, где <math>b \cup \{b\} = \{c\colon c \in b \ \lor \ c = b\}</math>

Примечание

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из <math>\varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\}, \ \ldots</math>.»

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» (<math>\exist a \forall b \ (b \in a)</math>).

2. Аксиомы ZFC об образовании множеств

Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая <math>\varnothing</math> и по меньшей мере одну <math>\infty</math>].

Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания <math>\forall a \exist b \ (b = \varphi[a])</math>, которое выводится из аксиом предиката <math>=</math>.

Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

2.0. Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов

Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката <math>=</math>.

2.0 Аксиома пары

<math>\forall a_1 \forall a_2 \exists c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math>, что есть <math>\forall a_1 \forall a_2 \exist c \ (c = \{b\colon b = a_1 \ \lor \ b = a_2\})</math>

Примечание

«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество <math>c</math>, каждый элемент <math>b</math> которого идентичен данному множеству <math>a_1</math> или данному множеству <math>a_2</math>».

Примеры

<math>1. \ a_1 = 0 \ \land \ a_2 = 1 \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = 0 \ \lor \ b = 1)</math>

<math>2. \ a_1 = \varnothing \ \land \ a_2 = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\} \ )</math>

Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию <math>\forall a_1 \forall a_2 \exist ! c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math>. Поэтому единственному множеству <math>c</math> можно присвоить имя <math>\{a_1, a_2\}</math>. Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

<math>\forall a_1 \forall a_2 \forall b \ (b \in \{a_1, a_2\} \leftrightarrow b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math> или <math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\{a_1, a_2\} = \{b\colon b = a_1 \ \lor \ b = a_2\})</math>

2.1. Декларации об учреждении и об упразднении семейств множеств

Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

Известно, что каждое множество <math>z</math> имеет подмножества, включая [копию пустого множества] <math>\varnothing</math> и [копию самого множества] <math>z</math>. Иначе говоря,

<math>\forall z \exist x \exist y \ (x \subseteq z \ \land \ y \subseteq z) \quad \land \quad \forall z \ (\varnothing \subseteq z \ \land \ z \subseteq z)</math>.

Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару <math>\{\varnothing, z\}</math>. Назовём эту пару семейством <math>Fam_2(z)</math>.

Если можно образовать семейство <math>Fam_2(z)</math> из двух подмножеств множества <math>z</math>, тогда можно объявить об образовании семейства <math>Fam_a(z)</math> из всех подмножеств множества <math>z</math>.

Чтобы объявить об образовании семейства <math>Fam_a(z)</math> достаточно потребовать, чтобы каждый элемент <math>b</math> названного семейства был подмножеством множества <math>z</math>, а каждое подмножество <math>b</math> названного множества было элементом семейства <math>Fam_a(z)</math>. Иначе говоря,

<math>\forall b \ (b \in Fam_a(z) \to b \subseteq z) \ \land \ \forall b \ (b \subseteq z \to b \in Fam_a(z) \ )</math>,

что равносильно предложению

<math>\forall b \ (b \in Fam_a(z) \leftrightarrow b \subseteq z)</math>,

которое подразумевает предложение

<math>\exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq z)</math>,

которое является частным случаем высказывания

<math>\forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>.

Если можно объявить об учреждении семейства <math>Fam_a(z)</math>, тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

Мыслимы различные способы упразднения семейства <math>Fam_a(z)</math>, включая:

1) его полное упразднение (уничтожение), то есть <math>Del(Fam_a(z)) = \varnothing</math>, что равносильно

<math>\forall c \ (c \in Del(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in \varnothing)</math>,

2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть <math>Fic(Fam_a(z)) = Fam_a(z)</math>, что равносильно

<math>\forall c \ (c \in Fic(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in Fam_a(z))</math>,

3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть <math>Rev(Fam_a(z)) = z</math>, что равносильно

<math>\forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z)</math>.

Поскольку

<math>c \in z \Leftrightarrow \{c\} \in Fam_a(z) \Leftrightarrow \exists b \ (b = \{c\} \ \land \ b \in Fam_a(z)) \Leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z))</math>,

постольку предложение

<math>\forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow c \in z)</math>

равносильно предложению

<math>\forall c \ (c \in Rev(Fam_a(z)) \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ )</math>,

которое подразумевает предложение

<math>\exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in Fam_a(z)) \ )</math>,

которое является частным случаем высказывания

<math>\forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (c \in b \ \land \ b \in a)\ )</math>.

Из изложенного следует, что высказывания <math>\forall a \exists d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math> и <math>\forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (c \in b \ \land \ b \in a) \ )</math> можно считать независимыми условно.

2.1.0 Аксиома множества подмножеств (Аксиома булеана)

<math>\forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a))</math>, что есть <math>\forall a \exist d \ (d = \{b\colon b \subseteq a\})</math>, где <math>b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)</math>

Примечание

«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество <math>d</math>, каждый элемент <math>c</math> которого является [собственным либо несобственным] подмножеством <math>b</math> данного множества <math>a</math>.»

Примеры

<math>1. \ a = \varnothing \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing\})</math>, так как <math>\forall a \ (\varnothing \subseteq a \land a \subseteq a)</math>

<math>2. \ a = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\}) \Leftrightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b = \varnothing \ \lor \ b = \{\varnothing\})</math>

<math>3. \ a = \{1,2,3\} \Rightarrow \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\})</math>

<math>4. \ a = \{a_1, a_2\} \Rightarrow \exist d \forall b (b \in d \leftrightarrow b \in \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\})</math>

Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию <math>\forall a \exist!d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)</math>. Поэтому единственному множеству <math>d</math> можно присвоить имя <math>\mathcal{P}(a)</math>, которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] <math>a</math>» или «булеан [множества] <math>a</math>». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:

<math>\forall a \forall b \ (b \in \mathcal{P}(a) \leftrightarrow b \subseteq a)</math> или <math>\forall a \ (\mathcal{P}(a) = \{b\colon b \subseteq a\})</math>

2.1.1 Аксиома объединения

<math>\forall a \exists d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exists b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )</math>, что есть <math>\forall a \exist d \ (d = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b\})</math>

Примечание

Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество <math>d</math>, каждый элемент <math>c</math> которого принадлежит по меньшей мере одному множеству <math>b</math> данного семейства <math>a</math>».

Примеры

<math>1. \ a = \mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \varnothing)</math>

<math>2. \ a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathcal{P}(\varnothing) \ ) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{\varnothing\})</math>

<math>\begin{align} 3. \

a = \{b_1, b_2, b_3\} = \{ \{0,1\}, \{1,2\}, \{3\} \} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1\} \lor c \in \{1,2\} \lor c \in \{3\}) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1,2,3\}) \end{align}</math>

<math>4. \ a = \{b, \{b\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \cup \{b\}) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in b \ \lor \ c = b)</math>

<math>5. \ a = (a_1, a_2) = \{\{a_1\}, \{a_1, a_2\}\} = \{\{a_1, a_1\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})</math>

<math>6. \ a = \langle a_1, a_2 \rangle = \{a_1, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a_1 \cup \{a_1, a_2\})</math>

<math>7. \ a = \mathcal{P}(\{a_1, a_2\}) = \{\varnothing, \{a_1\}, \{a_2\}, \{a_1, a_2\}\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{a_1, a_2\})</math>

Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию <math>\forall a \exist ! d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )</math>. Поэтому единственному множеству <math>d</math> можно присвоить имя <math>\cup\,a</math>, которое произносится: «объединение множеств семейства <math>a</math>». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

<math>\forall a \forall c \ (c \in \cup a \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )</math> или <math>\forall a \ (\cup a = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b)\} \ )</math>.

Объединение множеств семейства <math>a</math> (<math>\cup a</math>) не следует путать с пересечением множеств семейства <math>a</math> (<math>\cap a</math>), о котором известно:

<math>\forall a \forall c \ (c \in \cap a \leftrightarrow \forall b \ (b \in a \to c \in b)</math>, то есть <math>\forall a \ (\cap a = \{c\colon \forall b \ (b \in a \to c \in b)\})</math>

2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений

Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

а) аксиому связи между алгебраической операцией <math>+</math> (сложить) и алгебраической операцией <math>\cdot</math> (умножить)

<math>\forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land \ y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z)</math>,

б) аксиому связи между отношением порядка <math>\le</math> (меньше или равно) и алгебраической операцией <math>+</math> (сложить)

<math>\forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \land y \in \mathbb{R} \land z \in \mathbb{R} \to (x \le y \to x + z \le y + z))</math>

Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством <math>\{0,1\}</math>) и математически корректными суждениями (например, суждением <math>x \le 0</math>).

«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны штихелям, надфелям, часовым отвёрткам и иным доводочным инструментам.

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из ["неотёсанных"] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны прецизионным станкам.

2.2.0 Схема выделения

<math>\forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )</math>, что есть <math>\forall a \exist c \ (c = \{b\colon b \in a \ \land \ \Phi[b]\} \ )</math>, где <math>\Phi[b]</math> — любое математически корректное суждение о <math>b</math>, но не о множестве <math>a</math> и не о множестве <math>c</math>.

Примечание

Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество <math>c</math>, высказав суждение <math>\Phi</math> о каждом элементе <math>b</math> данного множества <math>a</math>.»

Примеры

<math>1. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x = x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b = b)</math>

<math>2. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \ne x) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \ne b)</math>

<math>3. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \in y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \in y)</math>

<math>4. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x \notin y) \Rightarrow \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ b \notin y)</math>

<math>5. \ (\Phi[x] \leftrightarrow x < 2) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \ \land \ b < 2) \Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,1\})</math>

<math>\begin{align} 6. \

(\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Leftrightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}</math>

<math>\begin{align} 7. \

(\Phi[x] \ \leftrightarrow \ \exist u \exist v \ (u \in U \ \land \ v \in V \ \land \ x = (u,v) \ ) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) \\ \ \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(U \cup V)) \ \land \ \exist u \exist v \ (u \in U \land v \in V \land b = (u,v))) \end{align}</math>

Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию <math>\forall a \exist!c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )</math>. Поэтому единственному подмножеству <math>c</math> можно присвоить имя <math>\{x\colon x \in a \land \Phi[x]\}</math>. Используя указанное имя, схему выделения записывют так:

<math>\forall a \forall b \ (b \in \{x\colon x \in a \land \Phi[x]\} \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b] \ )</math>

или

<math>\forall a (\{x\colon x \in a \ \land \ \Phi[x]\} = \{b\colon b \in a \ \land \ \Phi[b]\}</math>

Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.

2.2.1 Схема преобразования

<math>\forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \ \to \ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c] \ ) \ )</math>, что есть <math>\forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \ \to \ \forall a \exist d \ (d = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\} \ )</math>

Примечание

Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество <math>d</math>, высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение <math>\phi</math> обо всех элементах <math>b</math> данного множества <math>a</math>.»

Примеры

<math>1. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = x) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = b)) \Leftrightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a)</math>

<math>\begin{align} 2. \

(\phi[x,y] \leftrightarrow y = x^2) \ \land \ a = \{1,2,3\} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{1,2,3\} \ \land \ c = b^2)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,4,9\}) \end{align}</math>

<math>3. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = f(x)) \Rightarrow \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = f(b) \ ) \ )</math>

<math>\begin{align} 4. \

(\phi[x,y] \leftrightarrow (x = \varnothing \to y = a_1) \land (x \ne \varnothing \to y = a_2) \ ) \quad \land \quad a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \\ \ \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \land (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)\ )) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c = a_1 \ \lor \ c = a_2) \end{align}</math>

<math>\begin{align} 5. \

(\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}</math>

<math>\begin{align} 6. \

(\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3,5,7,\ldots\}) \end{align}</math>

<math>\begin{align} 7. \

(\phi[x,y] \leftrightarrow (x \in \mathbb{N} \ \land \ x < 2 \to y = x) \ \land \ (x \in \mathbb{N} \ \land \ \neg (x < 2) \to y = 1)) \quad \land \quad a = \mathbb{N} \\ \ \Rightarrow \exist d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exist b (b \in \mathbb{N} \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land b < 2 \to c = b) \ \land \ (b \in \mathbb{N} \land \neg (b < 2) \to c = 1))) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \mathbb{N} \ \land \ c < 2) \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,1\}) \end{align}</math>

Доказывается, что в схеме преобразования множество <math>d</math> единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя <math>\{y\colon \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\}</math>. Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:

<math>\forall x \exist!y (\phi[x,y]) \to \forall a \forall c \ (c \in \{y\colon \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\} \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ )</math>

или

<math>\forall x \exist!y (\phi[x,y]) \to \forall a (\{y\colon \exist x \ (x \in a \ \land \ \phi[x,y])\} = \{c\colon \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\} \ )</math>

Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств

Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из <math>\varnothing</math> и каждой <math>\infty</math> с помощью аксиом образования множеств. Образно говоря, высказывания об упорядоченности множеств образуют «сортировочный цех» теории ZFC, тогда как высказывания об образовании множеств образуют «производственный цех» этой теории.

3.0 Аксиома регулярности

<math>\forall a \ (a \ne \varnothing \to \exist b \ (b \in a \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin a) \ ) \ )</math>

Примечание

«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество <math>b</math>, каждый элемент <math>c</math> которого не принадлежит данному семейству <math>a</math>.»

Примеры

<math>\begin{align}

1. \ a = \{x\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x\}) \ ) \\ \ \Leftrightarrow \exist b \ (b \in \{x\} \land \forall c \ (c \in \{x\} \to c \notin b)) \Rightarrow \forall x (x \notin x) \\ \ \Leftrightarrow \forall a (a \notin a) \Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \ \lor \ b \in a \to a \ne b) \end{align}</math>

Сравните с высказываниями <math>\forall a \ (a = a)</math> и <math>\forall a \ (a \not < a)</math>, а также <math>\forall a \forall b \ (a < b \ \lor \ b < a \to a \ne b)</math>.

<math>\begin{align}

2. \ a = \{x,y\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x,y\} \ \land \ \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x,y\})) \\ \ \Rightarrow \forall x \forall y \ (x \in y \to y \notin x) \\ \ \Leftrightarrow \forall a \forall b \ (a \in b \to b \notin a) \end{align}</math>

Сравните с высказываниями <math>\forall a \forall b \ (a = b \to b = a)</math> и <math>\forall a \forall b \ (a < b \to b \not < a)</math>.

<math>\begin{align}

3. \ a = \{x,y,z\} \Rightarrow a \ne \varnothing \Rightarrow \exist b \ (b \in \{x,y,z\} \land \forall c \ (c \in b \to c \notin \{x,y,z\})) \\ \ \Rightarrow \forall a \forall b \forall c \ (a \in b \land b \in c \to c \notin a) \end{align}</math>

Сравните с высказываниями <math>\forall a \forall b \forall c \ (a = b \land b = c \to c = a)</math> и <math>\forall a \forall b \forall c \ (a < b \land b < c \to c \not < a)</math>.

3.1 Аксиома выбора

<math>\begin{align} \forall a \ (a \ne \varnothing \land \forall b \ (b \in a \to b \ne \varnothing) \land \forall b_1 \forall b_2 \ (b_1 \ne b_2 \land \{b_1, b_2\} \subseteq a \to b_1 \cap b_2 = \varnothing)

\\ \ \to \exist d \forall b \ (b \in a \to \exist c \ (b \cap d = \{c\}) \ ) \ ) \end{align}</math>

Примечание

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество <math>d</math>, в котором есть по одному элементу <math>c</math> от каждого множества <math>b</math> данного семейства <math>a</math>.»

Пример

Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно:

<math>1. \quad \{\{0,2,4,\ldots\}, \ \{1,3,5,\ldots\}\} \ne \varnothing</math>,

<math>2. \quad \{0,2,4,\ldots\} \ne \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots\} \ne \varnothing</math>,

<math>3. \quad \{0,2,4,\ldots\} \ \cap \ \{1,3,5,\ldots\} = \varnothing</math>.

Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, числа ноль) от множества <math>\{0,2,4,\ldots\}</math> и одного «делегата» (например, числа один) от множества <math>\{1,3,5,\ldots\}</math>. Действительно:

<math>\{0,2,4,\ldots\} \ \cap \ \{0,1\} = \{0\}</math>.

<math>\{1,3,5,\ldots\} \ \cap \ \{0,1\} = \{1\}</math>.

Примечания

1. Если ZFC непротиворечива, то её непротиворечивость не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй теореме Гёделя.

Историческая справка

По-видимому, первоначальный вариант теории множеств, умышленно названный немецким математиком Георгом Кантором учением о множествах, состоял из двух аксиом, а именно:

1) аксиомы объёмности <math>\forall a_1 \forall a_2 \ (\forall b \ (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2) \to a_1 = a_2)</math>, которая позволяет сформулировать критерий равенства множеств,

2) «аксиомы математической свободы» <math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow \Phi[a,c])</math>, которая позволяет создавать множества с помощью «суждения свободы» <math>\Phi[a,c]</math>.

«Аксиома математической свободы» имеет рациональные следствия, включая следующие:

<math>\exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \ne c)</math>,

<math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = a)</math>,

<math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = a \ \lor \ c = x)</math>,

<math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \in a \land \Phi[c])</math>,

<math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c \subseteq a)</math>,

<math>\forall a \exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow \exist d \ (d \in a \land c \in d))</math>.

В 1903 году английский философ Бертран Рассел обратил внимание на следующее:

1) руководствуясь «аксиомой математической свободы», невозможно отличить «свободу» от «вседозволенности»,

2) выбрав в качестве <math>\Phi[a,c]</math> тривиальнейшее математическое суждение <math>c = c</math>, мы получаем высказывание о существовании «множества всех множеств» <math>\exist b \forall c \ (c \in b \leftrightarrow c = c)</math>, от которого «один шаг» до парадокса Рассела.

Эти критические высказывания о «немецком учении [о множествах]» побудили немецкого математика Эрнста Цермело заменить «аксиому математической свободы» такими её следствиями, которые не вызывали бы протеста у математиков.

В 1908 году в журнале Mathematische Annalen Эрнст Цермело опубликовал следующие семь аксиом:

1) аксиому объёмности (нем. Axiom der Bestimmtheit);

2) аксиому о существовании «элементарных множеств» (нем. Axiom der Elementarmengen) <math>\varnothing</math>, <math>\{a\}</math> и <math>\{a_1, a_2\}</math>, которую можно записать в следующем виде:

<math>\exist a \forall b \ (b \notin a) \ \land \ \forall a \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a) \ \land \ \forall a_1 \forall a_2 \exist c \forall b \ (b \in c \ \leftrightarrow \ b = a_1 \ \lor \ b = a_2)</math>;

3) схему выделения (нем. Axiom der Aussonderung);

4) аксиому множества подмножеств (нем. Axiom der Potenzmenge);

5) аксиому объединения (нем. Axiom der Vereinigung);

6) аксиому выбора (нем. Axiom der Auswahl);

7) аксиому бесконечности (нем. Axiom der Unendlichkeit) в формулировке, отличной от современной формулировки.

Так «учение о множествах» превратилось в теорию множеств, а именно в теорию ZC [Zermelo set theory with the Axiom of Choice].

Последняя аксиома теории ZC (аксиома бесконечности) сблизила сторонников Георга Кантора со сторонниками Леопольда Кронекера, которые рассматривали множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> как священный грааль математики.

Предпоследняя аксиома теории ZC (аксиома выбора) стала предметом оживлённых математических дискуссий. Действительно, эта аксиома не является следствием «аксиомы математической свободы».

В 1922 году немецкий математик Абрахам Френкель и норвежский математик Туральф Скулем дополнили теорию ZC схемой преобразования. В результате теория ZC превратилась в теорию ZFC [Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice].

В 1925 году венгерский математик Джон фон Нейман дополнил теорию ZFC аксиомой регулярности. Одно из следствий этой аксиомы (<math>\forall a \ (a \notin a)</math>) «похоронило» и «множество всех множеств», и «парадокс Рассела».

См. также

• Zermelo-Fraenkel set theory

Литература

• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
• Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.
• [planetmath.org/encyclopedia/ZermeloFraenkelAxioms.html Аксиоматика теории множеств] (англ.) на сайте PlanetMath.

Отрывок, характеризующий Аксиоматика теории множеств

– Так ничего?
– Ничего, – сказала княжна Марья, лучистыми глазами твердо глядя на невестку. Она решилась не говорить ей и уговорила отца скрыть получение страшного известия от невестки до ее разрешения, которое должно было быть на днях. Княжна Марья и старый князь, каждый по своему, носили и скрывали свое горе. Старый князь не хотел надеяться: он решил, что князь Андрей убит, и не смотря на то, что он послал чиновника в Австрию розыскивать след сына, он заказал ему в Москве памятник, который намерен был поставить в своем саду, и всем говорил, что сын его убит. Он старался не изменяя вести прежний образ жизни, но силы изменяли ему: он меньше ходил, меньше ел, меньше спал, и с каждым днем делался слабее. Княжна Марья надеялась. Она молилась за брата, как за живого и каждую минуту ждала известия о его возвращении.


– Ma bonne amie, [Мой добрый друг,] – сказала маленькая княгиня утром 19 го марта после завтрака, и губка ее с усиками поднялась по старой привычке; но как и во всех не только улыбках, но звуках речей, даже походках в этом доме со дня получения страшного известия была печаль, то и теперь улыбка маленькой княгини, поддавшейся общему настроению, хотя и не знавшей его причины, – была такая, что она еще более напоминала об общей печали.
– Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Фока – повар) de ce matin ne m'aie pas fait du mal. [Дружочек, боюсь, чтоб от нынешнего фриштика (как называет его повар Фока) мне не было дурно.]
– А что с тобой, моя душа? Ты бледна. Ах, ты очень бледна, – испуганно сказала княжна Марья, своими тяжелыми, мягкими шагами подбегая к невестке.
– Ваше сиятельство, не послать ли за Марьей Богдановной? – сказала одна из бывших тут горничных. (Марья Богдановна была акушерка из уездного города, жившая в Лысых Горах уже другую неделю.)
– И в самом деле, – подхватила княжна Марья, – может быть, точно. Я пойду. Courage, mon ange! [Не бойся, мой ангел.] Она поцеловала Лизу и хотела выйти из комнаты.
– Ах, нет, нет! – И кроме бледности, на лице маленькой княгини выразился детский страх неотвратимого физического страдания.
– Non, c'est l'estomac… dites que c'est l'estomac, dites, Marie, dites…, [Нет это желудок… скажи, Маша, что это желудок…] – и княгиня заплакала детски страдальчески, капризно и даже несколько притворно, ломая свои маленькие ручки. Княжна выбежала из комнаты за Марьей Богдановной.
– Mon Dieu! Mon Dieu! [Боже мой! Боже мой!] Oh! – слышала она сзади себя.
Потирая полные, небольшие, белые руки, ей навстречу, с значительно спокойным лицом, уже шла акушерка.
– Марья Богдановна! Кажется началось, – сказала княжна Марья, испуганно раскрытыми глазами глядя на бабушку.
– Ну и слава Богу, княжна, – не прибавляя шага, сказала Марья Богдановна. – Вам девицам про это знать не следует.
– Но как же из Москвы доктор еще не приехал? – сказала княжна. (По желанию Лизы и князя Андрея к сроку было послано в Москву за акушером, и его ждали каждую минуту.)
– Ничего, княжна, не беспокойтесь, – сказала Марья Богдановна, – и без доктора всё хорошо будет.
Через пять минут княжна из своей комнаты услыхала, что несут что то тяжелое. Она выглянула – официанты несли для чего то в спальню кожаный диван, стоявший в кабинете князя Андрея. На лицах несших людей было что то торжественное и тихое.
Княжна Марья сидела одна в своей комнате, прислушиваясь к звукам дома, изредка отворяя дверь, когда проходили мимо, и приглядываясь к тому, что происходило в коридоре. Несколько женщин тихими шагами проходили туда и оттуда, оглядывались на княжну и отворачивались от нее. Она не смела спрашивать, затворяла дверь, возвращалась к себе, и то садилась в свое кресло, то бралась за молитвенник, то становилась на колена пред киотом. К несчастию и удивлению своему, она чувствовала, что молитва не утишала ее волнения. Вдруг дверь ее комнаты тихо отворилась и на пороге ее показалась повязанная платком ее старая няня Прасковья Савишна, почти никогда, вследствие запрещения князя,не входившая к ней в комнату.
– С тобой, Машенька, пришла посидеть, – сказала няня, – да вот княжовы свечи венчальные перед угодником зажечь принесла, мой ангел, – сказала она вздохнув.
– Ах как я рада, няня.
– Бог милостив, голубка. – Няня зажгла перед киотом обвитые золотом свечи и с чулком села у двери. Княжна Марья взяла книгу и стала читать. Только когда слышались шаги или голоса, княжна испуганно, вопросительно, а няня успокоительно смотрели друг на друга. Во всех концах дома было разлито и владело всеми то же чувство, которое испытывала княжна Марья, сидя в своей комнате. По поверью, что чем меньше людей знает о страданиях родильницы, тем меньше она страдает, все старались притвориться незнающими; никто не говорил об этом, но во всех людях, кроме обычной степенности и почтительности хороших манер, царствовавших в доме князя, видна была одна какая то общая забота, смягченность сердца и сознание чего то великого, непостижимого, совершающегося в эту минуту.
В большой девичьей не слышно было смеха. В официантской все люди сидели и молчали, на готове чего то. На дворне жгли лучины и свечи и не спали. Старый князь, ступая на пятку, ходил по кабинету и послал Тихона к Марье Богдановне спросить: что? – Только скажи: князь приказал спросить что? и приди скажи, что она скажет.
– Доложи князю, что роды начались, – сказала Марья Богдановна, значительно посмотрев на посланного. Тихон пошел и доложил князю.
– Хорошо, – сказал князь, затворяя за собою дверь, и Тихон не слыхал более ни малейшего звука в кабинете. Немного погодя, Тихон вошел в кабинет, как будто для того, чтобы поправить свечи. Увидав, что князь лежал на диване, Тихон посмотрел на князя, на его расстроенное лицо, покачал головой, молча приблизился к нему и, поцеловав его в плечо, вышел, не поправив свечей и не сказав, зачем он приходил. Таинство торжественнейшее в мире продолжало совершаться. Прошел вечер, наступила ночь. И чувство ожидания и смягчения сердечного перед непостижимым не падало, а возвышалось. Никто не спал.

Была одна из тех мартовских ночей, когда зима как будто хочет взять свое и высыпает с отчаянной злобой свои последние снега и бураны. Навстречу немца доктора из Москвы, которого ждали каждую минуту и за которым была выслана подстава на большую дорогу, к повороту на проселок, были высланы верховые с фонарями, чтобы проводить его по ухабам и зажорам.
Княжна Марья уже давно оставила книгу: она сидела молча, устремив лучистые глаза на сморщенное, до малейших подробностей знакомое, лицо няни: на прядку седых волос, выбившуюся из под платка, на висящий мешочек кожи под подбородком.
Няня Савишна, с чулком в руках, тихим голосом рассказывала, сама не слыша и не понимая своих слов, сотни раз рассказанное о том, как покойница княгиня в Кишиневе рожала княжну Марью, с крестьянской бабой молдаванкой, вместо бабушки.
– Бог помилует, никогда дохтура не нужны, – говорила она. Вдруг порыв ветра налег на одну из выставленных рам комнаты (по воле князя всегда с жаворонками выставлялось по одной раме в каждой комнате) и, отбив плохо задвинутую задвижку, затрепал штофной гардиной, и пахнув холодом, снегом, задул свечу. Княжна Марья вздрогнула; няня, положив чулок, подошла к окну и высунувшись стала ловить откинутую раму. Холодный ветер трепал концами ее платка и седыми, выбившимися прядями волос.
– Княжна, матушка, едут по прешпекту кто то! – сказала она, держа раму и не затворяя ее. – С фонарями, должно, дохтур…
– Ах Боже мой! Слава Богу! – сказала княжна Марья, – надо пойти встретить его: он не знает по русски.
Княжна Марья накинула шаль и побежала навстречу ехавшим. Когда она проходила переднюю, она в окно видела, что какой то экипаж и фонари стояли у подъезда. Она вышла на лестницу. На столбике перил стояла сальная свеча и текла от ветра. Официант Филипп, с испуганным лицом и с другой свечей в руке, стоял ниже, на первой площадке лестницы. Еще пониже, за поворотом, по лестнице, слышны были подвигавшиеся шаги в теплых сапогах. И какой то знакомый, как показалось княжне Марье, голос, говорил что то.
– Слава Богу! – сказал голос. – А батюшка?
– Почивать легли, – отвечал голос дворецкого Демьяна, бывшего уже внизу.
Потом еще что то сказал голос, что то ответил Демьян, и шаги в теплых сапогах стали быстрее приближаться по невидному повороту лестницы. «Это Андрей! – подумала княжна Марья. Нет, это не может быть, это было бы слишком необыкновенно», подумала она, и в ту же минуту, как она думала это, на площадке, на которой стоял официант со свечой, показались лицо и фигура князя Андрея в шубе с воротником, обсыпанным снегом. Да, это был он, но бледный и худой, и с измененным, странно смягченным, но тревожным выражением лица. Он вошел на лестницу и обнял сестру.
– Вы не получили моего письма? – спросил он, и не дожидаясь ответа, которого бы он и не получил, потому что княжна не могла говорить, он вернулся, и с акушером, который вошел вслед за ним (он съехался с ним на последней станции), быстрыми шагами опять вошел на лестницу и опять обнял сестру. – Какая судьба! – проговорил он, – Маша милая – и, скинув шубу и сапоги, пошел на половину княгини.


Маленькая княгиня лежала на подушках, в белом чепчике. (Страдания только что отпустили ее.) Черные волосы прядями вились у ее воспаленных, вспотевших щек; румяный, прелестный ротик с губкой, покрытой черными волосиками, был раскрыт, и она радостно улыбалась. Князь Андрей вошел в комнату и остановился перед ней, у изножья дивана, на котором она лежала. Блестящие глаза, смотревшие детски, испуганно и взволнованно, остановились на нем, не изменяя выражения. «Я вас всех люблю, я никому зла не делала, за что я страдаю? помогите мне», говорило ее выражение. Она видела мужа, но не понимала значения его появления теперь перед нею. Князь Андрей обошел диван и в лоб поцеловал ее.
– Душенька моя, – сказал он: слово, которое никогда не говорил ей. – Бог милостив. – Она вопросительно, детски укоризненно посмотрела на него.
– Я от тебя ждала помощи, и ничего, ничего, и ты тоже! – сказали ее глаза. Она не удивилась, что он приехал; она не поняла того, что он приехал. Его приезд не имел никакого отношения до ее страданий и облегчения их. Муки вновь начались, и Марья Богдановна посоветовала князю Андрею выйти из комнаты.
Акушер вошел в комнату. Князь Андрей вышел и, встретив княжну Марью, опять подошел к ней. Они шопотом заговорили, но всякую минуту разговор замолкал. Они ждали и прислушивались.
– Allez, mon ami, [Иди, мой друг,] – сказала княжна Марья. Князь Андрей опять пошел к жене, и в соседней комнате сел дожидаясь. Какая то женщина вышла из ее комнаты с испуганным лицом и смутилась, увидав князя Андрея. Он закрыл лицо руками и просидел так несколько минут. Жалкие, беспомощно животные стоны слышались из за двери. Князь Андрей встал, подошел к двери и хотел отворить ее. Дверь держал кто то.
– Нельзя, нельзя! – проговорил оттуда испуганный голос. – Он стал ходить по комнате. Крики замолкли, еще прошло несколько секунд. Вдруг страшный крик – не ее крик, она не могла так кричать, – раздался в соседней комнате. Князь Андрей подбежал к двери; крик замолк, послышался крик ребенка.
«Зачем принесли туда ребенка? подумал в первую секунду князь Андрей. Ребенок? Какой?… Зачем там ребенок? Или это родился ребенок?» Когда он вдруг понял всё радостное значение этого крика, слезы задушили его, и он, облокотившись обеими руками на подоконник, всхлипывая, заплакал, как плачут дети. Дверь отворилась. Доктор, с засученными рукавами рубашки, без сюртука, бледный и с трясущейся челюстью, вышел из комнаты. Князь Андрей обратился к нему, но доктор растерянно взглянул на него и, ни слова не сказав, прошел мимо. Женщина выбежала и, увидав князя Андрея, замялась на пороге. Он вошел в комнату жены. Она мертвая лежала в том же положении, в котором он видел ее пять минут тому назад, и то же выражение, несмотря на остановившиеся глаза и на бледность щек, было на этом прелестном, детском личике с губкой, покрытой черными волосиками.
«Я вас всех люблю и никому дурного не делала, и что вы со мной сделали?» говорило ее прелестное, жалкое, мертвое лицо. В углу комнаты хрюкнуло и пискнуло что то маленькое, красное в белых трясущихся руках Марьи Богдановны.

Через два часа после этого князь Андрей тихими шагами вошел в кабинет к отцу. Старик всё уже знал. Он стоял у самой двери, и, как только она отворилась, старик молча старческими, жесткими руками, как тисками, обхватил шею сына и зарыдал как ребенок.

Через три дня отпевали маленькую княгиню, и, прощаясь с нею, князь Андрей взошел на ступени гроба. И в гробу было то же лицо, хотя и с закрытыми глазами. «Ах, что вы со мной сделали?» всё говорило оно, и князь Андрей почувствовал, что в душе его оторвалось что то, что он виноват в вине, которую ему не поправить и не забыть. Он не мог плакать. Старик тоже вошел и поцеловал ее восковую ручку, спокойно и высоко лежащую на другой, и ему ее лицо сказало: «Ах, что и за что вы это со мной сделали?» И старик сердито отвернулся, увидав это лицо.

Еще через пять дней крестили молодого князя Николая Андреича. Мамушка подбородком придерживала пеленки, в то время, как гусиным перышком священник мазал сморщенные красные ладонки и ступеньки мальчика.
Крестный отец дед, боясь уронить, вздрагивая, носил младенца вокруг жестяной помятой купели и передавал его крестной матери, княжне Марье. Князь Андрей, замирая от страха, чтоб не утопили ребенка, сидел в другой комнате, ожидая окончания таинства. Он радостно взглянул на ребенка, когда ему вынесла его нянюшка, и одобрительно кивнул головой, когда нянюшка сообщила ему, что брошенный в купель вощечок с волосками не потонул, а поплыл по купели.


Участие Ростова в дуэли Долохова с Безуховым было замято стараниями старого графа, и Ростов вместо того, чтобы быть разжалованным, как он ожидал, был определен адъютантом к московскому генерал губернатору. Вследствие этого он не мог ехать в деревню со всем семейством, а оставался при своей новой должности всё лето в Москве. Долохов выздоровел, и Ростов особенно сдружился с ним в это время его выздоровления. Долохов больной лежал у матери, страстно и нежно любившей его. Старушка Марья Ивановна, полюбившая Ростова за его дружбу к Феде, часто говорила ему про своего сына.
– Да, граф, он слишком благороден и чист душою, – говаривала она, – для нашего нынешнего, развращенного света. Добродетели никто не любит, она всем глаза колет. Ну скажите, граф, справедливо это, честно это со стороны Безухова? А Федя по своему благородству любил его, и теперь никогда ничего дурного про него не говорит. В Петербурге эти шалости с квартальным там что то шутили, ведь они вместе делали? Что ж, Безухову ничего, а Федя все на своих плечах перенес! Ведь что он перенес! Положим, возвратили, да ведь как же и не возвратить? Я думаю таких, как он, храбрецов и сынов отечества не много там было. Что ж теперь – эта дуэль! Есть ли чувство, честь у этих людей! Зная, что он единственный сын, вызвать на дуэль и стрелять так прямо! Хорошо, что Бог помиловал нас. И за что же? Ну кто же в наше время не имеет интриги? Что ж, коли он так ревнив? Я понимаю, ведь он прежде мог дать почувствовать, а то год ведь продолжалось. И что же, вызвал на дуэль, полагая, что Федя не будет драться, потому что он ему должен. Какая низость! Какая гадость! Я знаю, вы Федю поняли, мой милый граф, оттого то я вас душой люблю, верьте мне. Его редкие понимают. Это такая высокая, небесная душа!
Сам Долохов часто во время своего выздоровления говорил Ростову такие слова, которых никак нельзя было ожидать от него. – Меня считают злым человеком, я знаю, – говаривал он, – и пускай. Я никого знать не хочу кроме тех, кого люблю; но кого я люблю, того люблю так, что жизнь отдам, а остальных передавлю всех, коли станут на дороге. У меня есть обожаемая, неоцененная мать, два три друга, ты в том числе, а на остальных я обращаю внимание только на столько, на сколько они полезны или вредны. И все почти вредны, в особенности женщины. Да, душа моя, – продолжал он, – мужчин я встречал любящих, благородных, возвышенных; но женщин, кроме продажных тварей – графинь или кухарок, всё равно – я не встречал еще. Я не встречал еще той небесной чистоты, преданности, которых я ищу в женщине. Ежели бы я нашел такую женщину, я бы жизнь отдал за нее. А эти!… – Он сделал презрительный жест. – И веришь ли мне, ежели я еще дорожу жизнью, то дорожу только потому, что надеюсь еще встретить такое небесное существо, которое бы возродило, очистило и возвысило меня. Но ты не понимаешь этого.
– Нет, я очень понимаю, – отвечал Ростов, находившийся под влиянием своего нового друга.

Осенью семейство Ростовых вернулось в Москву. В начале зимы вернулся и Денисов и остановился у Ростовых. Это первое время зимы 1806 года, проведенное Николаем Ростовым в Москве, было одно из самых счастливых и веселых для него и для всего его семейства. Николай привлек с собой в дом родителей много молодых людей. Вера была двадцати летняя, красивая девица; Соня шестнадцати летняя девушка во всей прелести только что распустившегося цветка; Наташа полу барышня, полу девочка, то детски смешная, то девически обворожительная.
В доме Ростовых завелась в это время какая то особенная атмосфера любовности, как это бывает в доме, где очень милые и очень молодые девушки. Всякий молодой человек, приезжавший в дом Ростовых, глядя на эти молодые, восприимчивые, чему то (вероятно своему счастию) улыбающиеся, девические лица, на эту оживленную беготню, слушая этот непоследовательный, но ласковый ко всем, на всё готовый, исполненный надежды лепет женской молодежи, слушая эти непоследовательные звуки, то пенья, то музыки, испытывал одно и то же чувство готовности к любви и ожидания счастья, которое испытывала и сама молодежь дома Ростовых.
В числе молодых людей, введенных Ростовым, был одним из первых – Долохов, который понравился всем в доме, исключая Наташи. За Долохова она чуть не поссорилась с братом. Она настаивала на том, что он злой человек, что в дуэли с Безуховым Пьер был прав, а Долохов виноват, что он неприятен и неестествен.
– Нечего мне понимать, – с упорным своевольством кричала Наташа, – он злой и без чувств. Вот ведь я же люблю твоего Денисова, он и кутила, и всё, а я всё таки его люблю, стало быть я понимаю. Не умею, как тебе сказать; у него всё назначено, а я этого не люблю. Денисова…
– Ну Денисов другое дело, – отвечал Николай, давая чувствовать, что в сравнении с Долоховым даже и Денисов был ничто, – надо понимать, какая душа у этого Долохова, надо видеть его с матерью, это такое сердце!
– Уж этого я не знаю, но с ним мне неловко. И ты знаешь ли, что он влюбился в Соню?
– Какие глупости…
– Я уверена, вот увидишь. – Предсказание Наташи сбывалось. Долохов, не любивший дамского общества, стал часто бывать в доме, и вопрос о том, для кого он ездит, скоро (хотя и никто не говорил про это) был решен так, что он ездит для Сони. И Соня, хотя никогда не посмела бы сказать этого, знала это и всякий раз, как кумач, краснела при появлении Долохова.
Долохов часто обедал у Ростовых, никогда не пропускал спектакля, где они были, и бывал на балах adolescentes [подростков] у Иогеля, где всегда бывали Ростовы. Он оказывал преимущественное внимание Соне и смотрел на нее такими глазами, что не только она без краски не могла выдержать этого взгляда, но и старая графиня и Наташа краснели, заметив этот взгляд.
Видно было, что этот сильный, странный мужчина находился под неотразимым влиянием, производимым на него этой черненькой, грациозной, любящей другого девочкой.
Ростов замечал что то новое между Долоховым и Соней; но он не определял себе, какие это были новые отношения. «Они там все влюблены в кого то», думал он про Соню и Наташу. Но ему было не так, как прежде, ловко с Соней и Долоховым, и он реже стал бывать дома.
С осени 1806 года опять всё заговорило о войне с Наполеоном еще с большим жаром, чем в прошлом году. Назначен был не только набор рекрут, но и еще 9 ти ратников с тысячи. Повсюду проклинали анафемой Бонапартия, и в Москве только и толков было, что о предстоящей войне. Для семейства Ростовых весь интерес этих приготовлений к войне заключался только в том, что Николушка ни за что не соглашался оставаться в Москве и выжидал только конца отпуска Денисова с тем, чтобы с ним вместе ехать в полк после праздников. Предстоящий отъезд не только не мешал ему веселиться, но еще поощрял его к этому. Большую часть времени он проводил вне дома, на обедах, вечерах и балах.

ХI
На третий день Рождества, Николай обедал дома, что в последнее время редко случалось с ним. Это был официально прощальный обед, так как он с Денисовым уезжал в полк после Крещенья. Обедало человек двадцать, в том числе Долохов и Денисов.
Никогда в доме Ростовых любовный воздух, атмосфера влюбленности не давали себя чувствовать с такой силой, как в эти дни праздников. «Лови минуты счастия, заставляй себя любить, влюбляйся сам! Только это одно есть настоящее на свете – остальное всё вздор. И этим одним мы здесь только и заняты», – говорила эта атмосфера. Николай, как и всегда, замучив две пары лошадей и то не успев побывать во всех местах, где ему надо было быть и куда его звали, приехал домой перед самым обедом. Как только он вошел, он заметил и почувствовал напряженность любовной атмосферы в доме, но кроме того он заметил странное замешательство, царствующее между некоторыми из членов общества. Особенно взволнованы были Соня, Долохов, старая графиня и немного Наташа. Николай понял, что что то должно было случиться до обеда между Соней и Долоховым и с свойственною ему чуткостью сердца был очень нежен и осторожен, во время обеда, в обращении с ними обоими. В этот же вечер третьего дня праздников должен был быть один из тех балов у Иогеля (танцовального учителя), которые он давал по праздникам для всех своих учеников и учениц.
– Николенька, ты поедешь к Иогелю? Пожалуйста, поезжай, – сказала ему Наташа, – он тебя особенно просил, и Василий Дмитрич (это был Денисов) едет.
– Куда я не поеду по приказанию г'афини! – сказал Денисов, шутливо поставивший себя в доме Ростовых на ногу рыцаря Наташи, – pas de chale [танец с шалью] готов танцовать.
– Коли успею! Я обещал Архаровым, у них вечер, – сказал Николай.
– А ты?… – обратился он к Долохову. И только что спросил это, заметил, что этого не надо было спрашивать.
– Да, может быть… – холодно и сердито отвечал Долохов, взглянув на Соню и, нахмурившись, точно таким взглядом, каким он на клубном обеде смотрел на Пьера, опять взглянул на Николая.
«Что нибудь есть», подумал Николай и еще более утвердился в этом предположении тем, что Долохов тотчас же после обеда уехал. Он вызвал Наташу и спросил, что такое?
– А я тебя искала, – сказала Наташа, выбежав к нему. – Я говорила, ты всё не хотел верить, – торжествующе сказала она, – он сделал предложение Соне.
Как ни мало занимался Николай Соней за это время, но что то как бы оторвалось в нем, когда он услыхал это. Долохов был приличная и в некоторых отношениях блестящая партия для бесприданной сироты Сони. С точки зрения старой графини и света нельзя было отказать ему. И потому первое чувство Николая, когда он услыхал это, было озлобление против Сони. Он приготавливался к тому, чтобы сказать: «И прекрасно, разумеется, надо забыть детские обещания и принять предложение»; но не успел он еще сказать этого…
– Можешь себе представить! она отказала, совсем отказала! – заговорила Наташа. – Она сказала, что любит другого, – прибавила она, помолчав немного.
«Да иначе и не могла поступить моя Соня!» подумал Николай.
– Сколько ее ни просила мама, она отказала, и я знаю, она не переменит, если что сказала…
– А мама просила ее! – с упреком сказал Николай.
– Да, – сказала Наташа. – Знаешь, Николенька, не сердись; но я знаю, что ты на ней не женишься. Я знаю, Бог знает отчего, я знаю верно, ты не женишься.