Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается <math>D[X]</math> в русской литературе и <math>\operatorname{Var}(X)</math> (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение <math>\sigma_X^2</math> или <math>\displaystyle \sigma^2</math>.

Квадратный корень из дисперсии, равный <math>\displaystyle \sigma</math>, называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на <math>k</math> стандартных отклонений, составляет менее <math>1/k^2</math>. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Пусть <math>X</math> — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

<math>D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right] </math>

где символ <math>M</math> обозначает математическое ожидание.

Замечания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Если случайная величина <math>X</math> дискретная, то

  <math>D[X] = \sum^{n}_{i=1} {p_i (x_i-M[X])^2}</math>

• Если случайная величина <math>X</math> непрерывна, то:

  <math>D[X] = \int^{\infty}_{-\infty} {f(x)(x-M[X])^2dx}</math>

• В силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

  <math>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2</math>

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов <math>U(t)</math>:

  <math>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2 = U(0) - \left(U'(0)\right)^2</math>

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance) случайной величины <math>X</math> по последовательности <math>X_1... X_n</math> — реализаций этой случайной величины:

  <math> {\bar S}^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -n{\bar X}^2}{n}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\left (X_i^2 -{\bar X}^2\right ) }{n}</math>

  где <math>{\bar X}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n}</math> — смещённая оценка <math>M[X]</math>. - эта оценка мат. ожидания является несмещенной. Это указано на странице Несмещённая оценка.

  Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на <math>\frac{n}{n - 1}</math>. Несмещённая оценка обозначается <math>\widetilde{S}^2</math>:

  <math> \widetilde{S}^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i\right)}{n}^2}{n - 1}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -n{\bar X}^2}{n-1}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\left (X_i^2 -{\bar X}^2\right ) }{n-1}</math>

Свойства

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: <math>D[X] \geqslant 0;</math>
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <math>D[a] = 0.</math> Верно и обратное: если <math>D[X]=0,</math> то <math>X =M[X]</math> почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  <math>D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y)</math>, где <math>\text{cov}(X, Y)</math> — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  <math>D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j)</math>, где <math>c_i \in \R</math>;

• В частности, <math>D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n]</math> для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• <math>D\left[aX\right] = a^2D[X];</math>
• <math>D\left[-X\right] = D[X];</math>
• <math>D\left[X+b\right] = D[X].</math>

Пример

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Пусть случайная величина <math>\displaystyle X</math> имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на <math>\displaystyle [0,1],</math> то есть её плотность вероятности задана равенством

<math>

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right.</math>

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

<math>M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},</math>

и математическое ожидание случайной величины

<math>M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.</math>

Тогда дисперсия случайной величины

<math>D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.</math>

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Литература

• Гурский Д., Турбина Е. [books.google.ru/books?id=KB1MEZsPCwEC&pg=PA340#v=onepage&q&f=false Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель]. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
• Орлов А. И. [www.aup.ru/books/m155/2_11.htm Дисперсия случайной величины] // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.