Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство <math> \mathbb R^n </math> с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

<math>n</math>-мерное евклидово пространство обозначается <math>\mathbb E^n,</math> также часто используется обозначение <math> \mathbb R^n </math> (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция <math>(\cdot, \cdot),</math> обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность: для любых векторов <math>u,v,w</math> и для любых вещественных чисел <math>a, b\quad (au+bv, w)=a(u,w)+b(v,w)</math> и <math>(u, av+bw)=a(u,v)+b(u,w);</math>
• Симметричность: для любых векторов <math>u,v\quad (u,v)=(v,u);</math>
• Положительная определённость: для любого <math>u\quad (u,u)\geqslant 0,</math> причём <math>(u,u) = 0\Rightarrow u=0.</math>

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство <math>\mathbb R^n,</math> состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел <math>(x_1, x_2, \ldots, x_n),</math> скалярное произведение в котором определяется формулой <math>(x,y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора <math>u</math> определяется как <math>\sqrt{(u,u)}</math> и обозначается <math>|u|.</math> Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что <math>|au|=|a||u|,</math> то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами <math>u</math> и <math>v</math> определяется по формуле <math>\varphi=\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right).</math> Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен <math>\frac{\pi}{2}.</math>

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы <math>\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right)</math> был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство <math>\left|\frac{(x,y)}{|x||y|}\right|\leqslant 1.</math> Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: <math>|u+v|\leqslant |u|+|v|.</math> Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция <math>d(x,y)=|x-y|</math> задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) <math>x</math> и <math>y</math> координатного пространства <math>\mathbb R^n</math> задаётся формулой <math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math> и <math>(b_1, b_2, \ldots, b_n)</math> в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле <math>(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n.</math> В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, <math>n</math>-мерное евклидово пространство изоморфно <math>\mathbb R^n</math> со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора <math>x</math> на подпространство <math>U</math> — это вектор <math>h,</math> ортогональный <math>U,</math> такой что <math>x</math> представим в виде <math>u+h,</math> где <math>u\in U.</math> Расстояние между концами векторов <math>u</math> и <math>x</math> является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора <math>x</math> до подпространства <math>U.</math> Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор <math>x</math> евклидова пространства задаёт линейный функционал <math>x^*</math> на этом пространстве, определяемый как <math>x^*(y)=(x,y).</math> Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор <math>v,</math> переводящий точку <math>p</math> в точку <math>p+v.</math> Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n×n, удовлетворяющих условию <math>Q^\mathsf{T}Q=E,,</math> где <math>Q^\mathsf{T}</math> — транспонированная матрица, а <math>E</math> — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• <math>\mathbb E^1 </math> размерности <math>1</math> (вещественная прямая)
• <math>\mathbb E^2 </math> размерности <math>2</math> (евклидова плоскость)
• <math>\mathbb E^3 </math> размерности <math>3</math> (евклидово трехмерное пространство)

Более абстрактный пример:

• пространство вещественных многочленов <math>p(x)</math> степени, не превосходящей <math>n</math>, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например <math>e^{-x^2}</math>).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве

• Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр)
• Гиперсфера

Связанные определения

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

• Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства.
• Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства.
• Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.