Математическое ожидание

См. также: Условное математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины (распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей).

• В англоязычной литературе обозначается через <math>\mathbb{E}[X]</math> (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert),
• в русской — <math>M[X]</math> (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»).
• В статистике часто используют обозначение <math>\mu</math>.

Определение

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Пусть задано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})</math> и определённая на нём случайная величина <math>X</math>. То есть, по определению, <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от <math>X</math> по пространству <math>\Omega</math>, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается <math>M[X]</math> или <math>\mathbb{E}[X]</math>.

<math>M[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).</math>

Основные формулы для математического ожидания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Если <math>F_X(x)</math> — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

<math>M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x); x \in \mathbb R</math>.

Математическое ожидание дискретного распределения

• Если <math>X</math> — дискретная случайная величина, имеющая распределение

<math>\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1</math>,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

<math>M[X]=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i</math>.

Математическое ожидание целочисленной величины

• Если <math>X</math> — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

<math>\mathbb{P}(X=j) = p_j,\; j=0,1,...;\quad \sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1</math>

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности <math>\{p_i\}</math>

<math>P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k </math>

как значение первой производной в единице: <math>M[X] = P'(1)</math>. Если математическое ожидание <math>X</math> бесконечно, то <math>\lim_{s\to 1}P'(s)=\infty</math> и мы будем писать <math>P'(1)=M[X]=\infty</math>

Теперь возьмём производящую функцию <math>Q(s)</math> последовательности «хвостов» распределения <math>\{q_k\}</math>

<math>q_k=\mathbb{P}(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.</math>

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией <math>P(s)</math> свойством: <math>Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}</math> при <math>|s|<1</math>. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

<math>M[X]=P'(1)=Q(1)</math>

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

• Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью <math>f_X(x)</math>, равно

<math>M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx</math>.

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть <math>X=(X_1,\dots,X_n)^{\top}\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайный вектор. Тогда по определению

<math>M[X]=(M[X_1],\dots,M[X_n])^{\top}</math>,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть <math>g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> — борелевская функция, такая что случайная величина <math>Y = g(X)</math> имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

<math>M\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i</math>,

если <math>X</math> имеет дискретное распределение;

<math>M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x) f_X(x)\, dx</math>,

если <math>X</math> имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение <math>\mathbb{P}^X</math> случайной величины <math>X</math> общего вида, то

<math>M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)\, \mathbb{P}^X(dx)</math>.

В специальном случае, когда <math>g(X)=X^k</math>, Математическое ожидание <math>M\left[g(X)\right]=M[X^k]</math> называется <math>k</math>-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Математическое ожидание числа есть само число.

<math>M[a] = a</math>

<math>a \in \mathbb{R}</math> — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

<math>M[aX+bY] = aM[X]+bM[Y]</math>,

где <math>X,Y</math> — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а <math>a,b\in \mathbb{R}</math> — произвольные константы;

• Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если <math>0 \leqslant X \leqslant Y</math> почти наверное, и <math>Y</math> — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <math>X</math> также конечно, и более того

<math>0 \leqslant M[X] \leqslant M[Y]</math>;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если <math>X = Y</math> почти наверное, то

<math>M[X]=M[Y]</math>.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин <math>X,Y</math> равно произведению их математических ожиданий

<math>M[XY] = M[X]M[Y]</math>.

Дополнительные свойства математического ожидания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Неравенство Маркова
• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Тождество Вальда
• Лемма Фату
• Правило Лопиталя
• Математическое ожидание случайной величины <math>X</math> может быть выражено через её производящую функцию моментов <math>G(u)</math> как значение первой производной в нуле: <math>M[X] = G'(0)</math>

Примеры

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть <math>\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n.</math> Тогда её математическое ожидание

<math>M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i</math>

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале <math>[a,b]</math>, где <math>a<b</math>. Тогда её плотность имеет вид <math>f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)</math> и математическое ожидание равно

<math>M[X] = \int\limits_{a}^b\!\frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}</math>.

• Пусть случайная величина <math>X</math> имеет стандартное распределение Коши. Тогда

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_X(x)\, dx = \infty</math>,

то есть математическое ожидание <math>X</math> не определено.

См. также

• Дисперсия случайной величины;
• Моменты случайной величины;
• Условное математическое ожидание;
• Выборочное среднее.
• [www.toehelp.ru/theory/ter_ver/4_1/ Математическое ожидание и его свойства на www.toehelp.ru]

Литература

• В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.