Принцип неопределённости

Поделись знанием:
Это текущая версия страницы, сохранённая Arventur (обсуждение | вклад) в 19:55, 23 августа 2016. Вы просматриваете постоянную ссылку на эту версию.

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
   Квантовая механика
<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостей[* 1] задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней физической квантовой механики. Является следствием принципа корпускулярно-волнового дуализма[1][2].

Краткий обзор

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.[* 2]

Согласно принципу неопределённости у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс)[* 3]. Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная координата — или полностью неопределенный импульс и полностью определенная координата).

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление![* 4]), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована в пределах всего пространства коробки, то есть её координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределённостей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье[* 5].

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временно́е положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что <math>p_x = \hbar k_x,</math> то есть импульс в квантовой механике — это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение <math>\hbar</math> чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределённостей накладывают настолько слабые ограничения на погрешности измерения, что эти ограничения заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей[* 6] наших приборов или органов чувств.

Определение

Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения <math>\Delta x</math> координаты и среднеквадратического отклонения <math>\Delta p</math> импульса, мы найдем что:

<math> \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что <math>x</math> может быть измерен с высокой точностью, но тогда <math>p</math> будет известен только приблизительно, или наоборот <math>p</math> может быть определён точно, в то время как <math>x</math> — нет. Во всех же других состояниях и <math>x</math>, и <math>p</math> могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Варианты и примеры

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которая будет приведена далее.

Теорема. Для любых самосопряжённых операторов: <math>A\colon H \to H</math> и <math>B\colon H \to H</math>, и любого элемента <math>x</math> из <math>H</math> такого, что <math>ABx</math> и <math>BAx</math> оба определены (то есть, в частности, <math>Ax</math> и <math>Bx</math> также определены), имеем:

<math> \langle x|AB|x \rangle \langle x|BA|x \rangle = \left|\langle Bx|Ax\rangle\right|^2 \leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle\right| \left|\langle Bx|Bx\rangle\right| = \|Ax\|^2\|Bx\|^2</math>

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

<math> \frac{1}{4} |\langle x|AB-BA|x \rangle|^2 \leqslant \|Ax\|^2\|Bx\|^2.</math>

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.

Оператор <math>AB-BA</math> называют коммутатором <math>A</math> и <math>B</math> и обозначают как <math>[A,B]</math>. Он определен для тех <math>x</math>, для которых определены оба <math>ABx</math> и <math>BAx</math>.

Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:

Предположим, <math>A</math> и <math>B</math> — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если <math>AB\psi</math> и <math>BA\psi</math> определены, тогда:

<math> \Delta_{\psi}A\,\Delta_{\psi}B \geqslant \frac{1}{2}\left|\left\langle\left[A,{B}\right]\right\rangle_\psi\right|</math>,

где:

<math>\left\langle X\right\rangle_\psi = \left\langle\psi|X|\psi\right\rangle</math>

— среднее значение оператора величины <math>X</math> в состоянии <math>\psi</math> системы, и

<math>\Delta_{\psi}X = \sqrt{\langle{X}^2\rangle_\psi-\langle{X}\rangle_\psi^2}</math>

— оператор стандартного отклонения величины <math>X</math> в состоянии <math>\psi</math> системы.

Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов <math>A</math> и <math>B</math>, которые имеют один и тот же собственный вектор <math>\psi</math>. В этом случае <math>\psi</math> представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для <math>A</math> и <math>B</math>.

Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных <math>A</math> и <math>B</math>, коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

  • самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:
<math> \Delta x_i \Delta p_i \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>

Из принципа неопределённости между импульсом и координатой следует, что чем меньше исследуемые расстояния, тем большей энергией должны обладать элементарные частицы. В ультрарелятивистской области (<math>p \gg Mc</math>) энергия <math>E</math> пропорциональна импульсу <math>p</math>: <math>E=cp</math> и соотношение неопределённости для импульса и координаты принимает вид <math>\Delta E * \Delta x \geqslant c \frac{\hbar}{2}</math>, так что <math>\Delta E \geqslant \frac{10^{-14}}{\Delta x}</math>, где <math>\Delta E</math> выражено в ГэВ, а <math>\Delta x</math> в см. Этим соотношением определяется энергия элементарных частиц, необходимая для достижения заданных малых расстояний между ними. Для сближения элементарных частиц на расстояния <math>10^{-14}</math> см и меньше нужно сообщить им энергию, большую <math>1</math> ГэВ.[3]

<math> \Delta J_i \Delta J_j \geqslant \frac {\hbar} {2} \left |\left\langle J_k\right\rangle\right | </math>
где <math>i,</math> <math>j,</math> <math>k</math> различны и <math>J_i</math> обозначает угловой момент вдоль оси <math>x_i</math>.
  • следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
<math> \Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>

Это соотношение можно понимать одним из трёх возможных способов[4]:

  1. <math> \Delta E </math> — неопределенность энергии состояния микрообъекта, пребывающего в этом состоянии время <math>\Delta t</math>.
  2. <math> \Delta E </math> — неопределенность энергии микрообъекта в некотором процессе длительностью <math>\Delta t</math>.
  3. <math> \Delta E </math> — максимальная точность определения энергии квантовой системы, достижимая путём процесса измерения, длящегося время <math>\Delta t</math>.

Единого мнения о выводимости этого соотношения из остальных аксиом квантовой механики нет.[5]

  • Соотношение неопределённости между числом фотонов и фазой волны. Рассмотрим монохроматическое электромагнитное излучение в

некотором объеме. С корпускулярной точки зрения, оно представляет собой коллектив <math>N</math> фотонов с энергией каждого фотона <math>\hbar \omega</math>. С волновой точки зрения, оно представляет собой классическую волну с фазой <math>\Phi = \omega t</math>. Корпускулярная <math>N</math> и волновая <math>\Phi</math> величины связаны соотношением неопределённостей:

<math>\Delta N \Delta \Phi \geqslant 1</math>

Это соотношение следует из соотношения неопределённостей для энергии и времени. Для измерения энергии любого квантового объекта с точностью <math>\Delta E</math> надо затратить время <math>\Delta t \geqslant \frac{ \hbar }{\Delta E}</math>. Неопределенность энергии коллектива фотонов <math>\Delta E = \hbar \omega \Delta N</math>, где <math>\Delta N</math> - неопределённость числа фотонов. Чтобы её измерить, необходимо время <math>\Delta t \geqslant \frac{\hbar}{\hbar \omega \Delta N}</math>. За это время изменение фазы волны <math>\Delta \Phi = \omega \Delta t</math>. Получаем <math>\Delta \Phi \geqslant \frac{1}{\Delta N}</math>[6].

  • Следует подчеркнуть, что для выполнения условий теоремы, необходимо, чтобы оба самосопряженных оператора были определены на одном и том же множестве функций. Примером пары операторов, для которых это условие нарушается, может служить оператор проекции углового момента <math>L_z</math> и оператор азимутального угла <math>\varphi</math>. Первый из них является самосопряженным только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор <math>\varphi</math>, очевидно, выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы можно вместо <math>\varphi</math> взять <math>\sin \varphi</math>, что приведет к следующей форме принципа неопределенности[** 1]:
<math> \langle (\Delta L_z)^2 \rangle \langle (\Delta \sin \varphi)^2 \rangle \geqslant \frac{\hbar^2}{4} \langle (\cos \varphi)^2 \rangle </math>.
Однако, при <math>\langle (\varphi)^2 \rangle \ll \pi^2</math> условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид:
<math> \langle (\Delta L_z)^2 \rangle \langle (\Delta \varphi)^2 \rangle \geqslant \frac{\hbar^2}{4}</math>.

Замечание

Для трехмерного осциллятора принцип неопределённости принимает вид:

<math> \langle \Delta L_z \rangle \frac{\langle \Delta \varphi \rangle}{(1-\frac{3(\langle \Delta \varphi \rangle)^2}{\pi^2})} \geqslant \frac{\hbar}{2}</math>,

а для оператора числа частиц <math> n </math> и угла <math> \varphi </math> вид:

<math> \frac{ [(\langle \Delta n \rangle)^2 + (\langle n \rangle + \frac{1}{2})^2]^\frac{1}{2} \langle \Delta \varphi \rangle}{(1-\frac{3(\langle \Delta \varphi \rangle)^2}{\pi^2})} \geqslant \frac{\hbar}{2}</math>.

(см. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд., М., Наука, 1971. С. 58-59.)

Вывод в квантовой теории оценивания

Принцип неопределённости координата-импульс альтернативно выводится как оценка максимального правдоподобия в квантовой теории оценивания.[7]

Принцип неопределённости время-энергия альтернативно выводится как выражение квантового неравенства Крамера — Рао в квантовой теории оценивания, в случае когда измеряется положение частицы.[8]

Интерпретации

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель, может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «Бог не играет в кости»[** 2]. Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать»[** 3].

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости — результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной литературе

Принцип неопределённости часто неправильноК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 4300 дней] понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событиеК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3569 дней]. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (см. выше). Например, проекции импульса на оси <math>x</math> и <math>y</math> можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузного семечка пальцем. Эффект известен — нельзя предсказать, как быстро или куда семечко исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала «Звёздный Путь» в телепортаторе. Однако неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала Джина Родденберри спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

В романе «Дюна» Фрэнка Герберта: «Предвиденье, — понял он, — словно луч света, за пределами которого ничего не увидишь, он определяет точную меру… и, возможно, ошибку». Оказывается, и в его провидческих способностях крылось нечто вроде принципа неопределенности Гейзенберга: чтобы увидеть, нужно затратить энергию, а истратив энергию, изменишь увиденное.»

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название сделали его источником ряда шуток. Утверждают, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро вы ехали, сэр?» На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

См. также

Примечания

  1. Для каждой пары сопряжённых величин имеется своё соотношение неопределённостей, хотя и имеющее один и тот же вид <math>\Delta A\cdot\Delta B\geqslant\hbar</math>; поэтому этот термин часто употребляется во множественном числе (соотношения неопределённостей), как в том случае, когда речь идет о соотношениях неопределённостей вообще, так и в случаях, когда имеются в виду несколько конкретных соотношений для разных величин, а не для только одной пары.
  2. Существуют, однако, способы частичного обхода этих ограничений, связанные со слабыми измерениями.
  3. Это в принципе касается не только частиц, но и любых динамических объектов, например, поля, для которого аналогом координат у частицы служат полевые переменные, а аналогом компонент импульса у частицы — канонические импульсы, связанные с изменением поля со временем.
  4. В примере с частицей в коробке модуль импульса, правда, определен, но зато не определено его направление.
  5. Проще всего это свойство может быть проиллюстрировано таким рассуждением. Пусть есть некоторая функция f(x) и её фурье-образ (спектр) F(k) — то есть <math>f(x) = \int F(k) e^{ikx} dk.</math> Очевидно, что если мы «сожмем функцию f» по x в A раз, то есть перейдем к функции fA(x) = f(Ax), то её спектр растянется во столько же раз: FA(k) = const·F(k/A), поскольку частота каждой спектральной гармоники <math>e^{ikx}</math> этого разложения должны будут, очевидно, умножиться на A. Эта иллюстрация, строго говоря, конечно, носит довольно частный характер, однако она обнажает физический смысл иллюстрируемого свойства: когда мы сжимаем сигнал, его частоты во столько же раз увеличиваются. Не намного сложнее прямым вычислением получить аналогичный вывод для случая гауссовых волновых пакетов, показав, что полуширина гауссова волнового пакета обратно пропорциональна полуширине его спектра (имеющего также гауссов вид). Могут быть доказаны и более общие теоремы, сводящиеся точно к соотношению неопределённостей Гейзенберга, только без ħ в правой части (или, иначе говоря, в точности повторяющие соотношение неопределённостей Гейзенберга при ħ = 1).
  6. Здесь имеются в виду погрешности, имеющие не квантовую природу, а происходящих из недостаточной тонкости изготовления, влияния тепловых и других шумов и т.п.

Примечания

  1. Широков, 1972, с. 20.
  2. Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — С. 63.
  3. Широков, 1972, с. 262.
  4. Яворский, 2007, с. 744.
  5. Воронцов Ю. И. [ufn.ru/ru/articles/1981/2/f/ Соотношение неопределенности энергия — время измерения], УФН, 1981, т. 135, с.337
  6. Тарасов Л.В. Соотношения неопределенностей // Основы квантовой механики. — М: Высшая школа, 1978. — С. 42.
  7. Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Оценка максимального правдоподобия. Принцип неопределенностей // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 272-277.
  8. Хелстром К. Квантовая теория оценивания. Квантовое неравенство Крамера - Рао. Параметр смещения и соотношение неопределенности время-энергия // Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.: Мир, 1979. — С. 301-302.

Литература

Источники
  1. А. С. Давыдов Квантовая механика, 2-ое изд., — М.: Наука, 1973.
  2. Точнее: «Теория даёт много, но к таинствам Старика она не подводит нас ближе. Во всяком случае, я убежден, что [он] не играет в кости» (Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich überzeugt davon, dass der nicht würfelt). Письмо Максу Борну от 12 декабря 1926 г, цит. Einstein, The Life and Times ISBN 0-380-44123-3
  3. [www.evolbiol.ru/large_files/phil_rel.pdf Chad Meister Introducing philosophy of religion]
  • Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
  • Яворский Б. М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.
  • Пономарев Л. И. По ту сторону кванта. — М.: Молодая гвардия, 1971. — 304 с.
Журнальные статьи
  • Heisenberg W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. — Zeitschrift für Physik. — 1927. — Vol. 43. — P. 172—198. (Англ. перевод в кн.:: Wheeler J. A., Zurek H. Quantum Theory and Measurement. — Princeton Univ. Press. — 1983. — P. 62-84).
  • Мандельштам Л. И., Тамм И. Е. [daarb.narod.ru/mandtamm/index.html Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике]. — Изв. Акад. наук СССР (сер. физ.). — 1945. — Т. 9. — С. 122—128.
  • Folland G., Sitaram A. The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey. — Journal of Fourier Analysis and Applications. — 1997. — P. 207—238.
  • Суханов А. Д. [www1.jinr.ru/Pepan/v-32-5/v-32-5-4.pdf Новый подход к соотношению неопределенностей энергия-время.] — Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2001. — Том 32. Вып. 5. — С. 1177.
О соотношениях неопределенностей Шрёдингера
  • Шредингер Э. К принципу неопределенностей Гейзенберга // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Shredinger1976ru.djvu Избранные труды по квантовой механике.] — М.: Наука, 1976. — С. 210—217.
  • Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределенностей в квантовой механике. — Труды ФИАН СССР. — 1987. — Том 183. — С. 5-70.
  • Суханов А. Д. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=373&option_lang=rus Соотношения неопределенностей Шредингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний.] — Теоретическая и математическая физика. — 2002. — Том 132, № 3. — С. 449—468.
  • Суханов А. Д. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=2087&option_lang=rus Соотношение неопределенностей Шредингера для квантового осциллятора в термостате.] — Теоретическая и математическая физика. — 2006. — Том 148, № 2. — С. 295—308.
  • Tarasov V. E. [jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v54/i1/p012112_s1?bypassSSO=1 Uncertainty relation for non-Hamiltonian quantum systems.] — Journal of Mathematical Physics. — 2013. — Vol. 54. — No. 1. — 012112.
  • Тарасов В. Е. [www.ingnpublishing.com/journal/1/2011/10_14_oktyabr/tarasov/ Вывод соотношения неопределенностей для квантовых гамильтоновых систем.] — Московское научное обозрение. — 2011, № 10. — C. 3-6.

Ссылки

  • [plato.stanford.edu/entries/qt-uncertainty/ Стэнфордская энциклопедия философии (англ.)]
  • [www.aip.org/history/heisenberg/p08.htm aip.org: Квантовая механика 1925—1927 — Принцип неопределённости (англ.)]
  • [scienceworld.wolfram.com/physics/UncertaintyPrinciple.html Мир физики Эрика Вайсштейна — Принцип неопределённости (англ.)]
  • [arxiv.org/abs/quant-ph/0102069 Уравнение Шредингера из точного принципа неопределённости (англ.)]
  • [math.ucr.edu/home/baez/uncertainty.html Джон Бэз о соотношении неопределённости время-энергия (англ.)]