Релятивистское замедление времени

Под релятиви́стским замедле́нием вре́мени обычно подразумевают кинематический эффект специальной теории относительности, заключающийся в том, что в движущемся теле все физические процессы проходят медленнее, чем следовало бы для неподвижного тела по отсчётам времени неподвижной (лабораторной) системы отсчёта.

Релятивистское замедление времени проявляется, например, при наблюдении короткоживущих элементарных частиц, образующихся в верхних слоях атмосферы под действием космических лучей и успевающих благодаря ему достичь поверхности Земли.

Данный эффект, наряду с гравитационным замедлением времени учитывается в спутниковых системах навигации (например, в GPS) ход времени часов спутников скорректирован на разницу с поверхностью Земли, составляющую суммарно 38 микросекунд в день. В качестве иллюстрации релятивистского замедления времени часто приводится парадокс близнецов.

Движение с постоянной скоростью

Количественное описание замедления времени может быть получено из преобразований Лоренца:

<math>\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>

где <math>\Delta t</math> — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения неподвижного наблюдателя, <math>\Delta t_0</math> — время, проходящее между двумя событиями движущегося объекта с точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся объектом, <math>v</math> — относительная скорость движения объекта, <math>c</math> — скорость света в вакууме. Точность формулы неоднократно проверена на элементарных частицах и атомах, так что относительная ошибка составляет менее 0,1 ppm.

Аналогичное обоснование имеет эффект лоренцева сокращения длины.

Замедление времени и инвариантность скорости света

Наиболее наглядно эффект замедления времени проявляется на примере световых часов, в которых импульс света периодически отражается от двух зеркал, расстояние между которыми равно <math>\textstyle L</math>. Время движения импульса от зеркала к зеркалу в системе отсчёта, связанной с часами, равно <math>\textstyle \Delta t_0=L/c</math>. Пусть относительно неподвижного наблюдателя часы двигаются со скоростью <math>\textstyle v</math> в направлении, перпендикулярном траектории светового импульса. Для этого наблюдателя время движения импульса от зеркала к зеркалу будет уже больше. А если часы будут двигаться в направлении, встречном траектории светового импульса, то время будет меньше.

Световой импульс проходит в неподвижной системе отсчёта вдоль гипотенузы треугольника с катетами <math>\textstyle L=c\, \Delta t_0</math> и <math>\textstyle v\,\Delta t</math>. Импульс распространяется с той же скоростью <math>\textstyle c</math>, что и в системе, связанной с часами. Поэтому по теореме Пифагора:

<math>(c\,\Delta t)^2=(c\,\Delta t_0)^2+(v\,\Delta t)^2.</math>

Выражая <math>\textstyle \Delta t</math> через <math>\textstyle \Delta t_0</math>, получаем формулу замедления времени.

Движение с переменной скоростью

Если тело двигается с переменной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}(t)</math>, то в каждый момент времени с ним можно связать локально инерциальную систему отсчёта. Для бесконечно малых интервалов <math>\textstyle dt</math> и <math>\textstyle dt_0</math> можно использовать формулу замедления времени, полученную из преобразований Лоренца. При вычислении конечного интервала времени <math>\textstyle \Delta t_0</math>, прошедшего по часам, связанным с телом, необходимо проинтегрировать вдоль его траектории движения:

<math>\Delta t_0 = \int\limits^{t_2}_{t_1}\sqrt{1-\mathbf{v}^2(\tau)/c^2}\,d\tau.</math>

Время <math>\textstyle \Delta t_0</math>, измеренное по часам, связанным с двигающемся объектом, часто называют собственным временем тела . При этом предполагается, что замедление времени определяется только скоростью объекта, но не его ускорением. Это утверждение имеет достаточно надёжные экспериментальные подтверждения. Например, в циклическом ускорителе (CERN Storage-Ring experiment ) время жизни мюонов в пределах относительной экспериментальной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В эксперименте скорость мюонов составляла <math>\textstyle v=0{,}9994\,c</math>, и время замедлялось в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-(v/c)^2}\approx 29</math> раз. При 7 метровом радиусе кольца ускорителя ускорение мюонов достигало значений <math>\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9{,}8</math> м/c² — ускорение свободного падения.

Замедление времени при космическом полёте

Эффект замедления времени проявляется при космических полётах с релятивистскими скоростями. Такой полёт в одну сторону может состоять из трёх этапов: набор скорости (разгон), равномерное движение и торможение. Пусть по часам неподвижной системы отсчёта длительности разгона и торможения одинаковы и равны <math>\textstyle \tau_1</math>, а этап равномерного движения длится время <math>\textstyle \tau_2</math>. Если разгон и торможение проходят релятивистски равноускоренно (с параметром собственного ускорения <math>\textstyle a</math>), то по часам корабля пройдёт время:

<math>\tau_0 = \frac{2c}{a}\,\ln\left[\frac{a\tau_1}{c}+\sqrt{1+\left(\frac{a\tau_1}{c}\right)^2}\right] + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}}.</math>

За время разгона корабль достигнет скорости:

<math>v=\frac{a\tau_1}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}},</math>

пройдя расстояние

<math>x = \frac{c^2}{a}\left[\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}-1\right].</math>

Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра, удалённой от Земли на расстояние в 4,3 световых года. Если время измеряется в годах, а расстояния — в световых годах, то скорость света <math>\textstyle c</math> равна единице, а единичное ускорение <math>\textstyle a=1</math> св. год/год² близко к ускорению свободного падения и примерно равно 9,5 м/c².

Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину — с таким же ускорением тормозит (<math>\textstyle \tau_2=0</math>). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

Особенности метода измерения релятивистского замедления времени

Метод измерения релятивистского замедления времени имеет свою особенность. Она заключается в том, что показания двух движущихся друг относительно друга часов (и длительности жизни двух движущихся друг относительно друга мюонов) непосредственно сравнивать невозможно. Можно говорить, что единичные часы идут всегда замедленно по отношению к множеству синхронно идущих часов, если единичные часы движутся относительно этого множества. Показания же множества часов пролетающих мимо единичных часов, напротив, всегда меняются ускоренно по отношению к часам единичным. В этой связи термин «замедление времени» является бессмысленным без указания того, к чему это замедление относится — к единичным часам или к множеству синхронизированных и покоящихся друг относительно друга часов. Это можно продемонстрировать с помощью опыта, схема которого изображена на рис. 1. Движущиеся со скоростью <math>v</math> часы, измеряющие время <math>t' </math> проходят последовательно мимо точки <math>x_{1} </math> в момент <math>t_{1} </math> и мимо точки <math>x_{2} </math> в момент <math>t_{2} </math>.

В эти моменты производится сравнение положений стрелок движущихся часов и соответствующих неподвижных, находящихся рядом с ними.

Пусть за время движения от точки <math>x_{1} </math> до точки <math>x_{2} </math> стрелки движущихся часов отмерят промежуток времени <math>\tau _{0} </math> а стрелки часов 1 и 2, предварительно синхронизированных в неподвижной системе <math>\sum</math>, отмерят промежуток времени <math>\tau </math>. Таким образом,

<math>\tau '=\tau _{0} =t'_{2} -t'_{1} </math>, <math>\tau =t_{2} -t_{1} </math> (1)

Но согласно обратным преобразованиям Лоренца имеем

<math>t_{2} -t_{1} ={(t'_{1} -t'_{2} )+{v\over c^{2} } (x'_{2} -x'_{1} )\over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } </math> (2)

Подставляя (1) в (2) и замечая, что движущиеся часы все время находятся в одной и той же точке движущейся системы отсчёта <math>\sum ' </math>, то есть что

<math>x'_{1} =x'_{2} </math> (3)

получаем

<math>\tau ={\tau _{0} \over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } , (t_{0} =\tau ') </math> (4)

Эта формула означает, что промежуток времени, отмеренный неподвижными часами, оказывается большим, чем промежуток времени, отмеренный движущимися часами. Но это и означает, что движущиеся часы отстают от неподвижных, то есть их ход замедляется.

Формула (4) так же обратима, как и соответствующая формула для длин линеек

<math>l=l_{0} \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } </math>

Однако, написав формулу в виде

<math>\tau _{0} ={\tau \over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } </math> (5)

мы должны иметь в виду, что <math>\tau '=\tau _{0} =t'_{2} -t'_{1} </math>, <math>\tau =t_{2} -t_{1} </math> измеряются уже не в опыте, изображенном на рис. 1, а в опыте, изображенном на рис. 2. В этом случае, согласно преобразованиям Лоренца

<math>t'_{2} -t'_{1} ={(t_{2} -t_{1} )-{v\over c^{2} } (x_{2} -x_{1} )\over \sqrt{1-v^{2} /c^{2} } } </math> (6)

при условии

<math>x_{2} =x_{1} </math> (7)

получаем формулу (5)

В схеме опыта, изображенного на рис. 1, тот результат, что часы 2 оказались впереди движущихся часов, с точки зрения движущейся системы <math>\sum' </math> объясняется тем, что часы 2 с самого начала шли не синхронно с часами 1 и опережали их (в силу неодновременности разобщенных событий, одновременных в другой движущейся системе отсчёта).

Таким образом, исходя из относительности одновременности пространственно разделённых событий замедление движущихся часов не является парадоксальным.

См. также

• Гравитационное красное смещение — другой эффект, предсказанный общей теорией относительности.
• Эффект Доплера
• Эксперимент Хафеле — Китинга
• Прецессия Томаса