Теорема о распределении простых чисел

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел <math>\pi(n)</math> (количество простых чисел на отрезке <math>[1;n]</math>) растёт с увеличением <math>n</math> как <math>\frac{n}{\ln n}</math>, то есть:

<math> \frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1,</math> когда <math> n\to \infty.</math>

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до <math>n</math> шанс оказаться простым примерно равен <math>\frac{1}{\ln n}</math>.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения <math>k</math>-го простого числа <math>p_k</math>: она утверждает, что

<math> p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty </math>

(здесь и далее запись <math>\ f\sim g</math> означает, что <math>f/g \to 1</math> когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно[1]

<math>\pi(n)={li}\,(n)+O(\sqrt{n}\ln n).</math>

История

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»[2]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел <math>\pi(x)</math> (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

<math>\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)-B}</math>

где <math>B \approx 1{,}08366.</math> Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

<math>\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx</math>

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций <math>\pi(x)</math> и <math>x / \ln(x)</math>, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает[3], что верхний M и нижний m пределы отношения

<math>\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad</math> (1)

заключены в пределах <math>0{,}92129 \leqslant m \leqslant M \leqslant 1{,}10555</math>, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) <math>\zeta</math>-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ход доказательства

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

<math>

\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p, \qquad \qquad (*) </math> иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

<math>

\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad \Lambda(n)= \begin{cases} \log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} </math>

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

<math>

\psi(x)\sim x, \quad x\to \infty. </math>

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка <math>[1,n]</math>, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы <math>\ln p</math> примерно равны <math>\ln x</math>, и функция <math>\psi(x)</math> асимптотически ведёт себя так же, как <math>\pi(x) \cdot \ln x</math>.

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

<math>

\zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}, </math> ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

<math>

\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}. </math>

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции <math>a^s/s</math> равен <math>2\pi i</math> при <math>a>1</math> и 0 при <math>0<a<1</math>. Поэтому, умножение правой и левой части на <math>\frac{1}{2\pi i} x^s/s</math> и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по <math>ds</math> оставляет в левой части в точности сумму <math>\Lambda(n)</math> с <math>n\leqslant x</math>. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке <math>s=1</math> — полюс первого порядка с вычетом, равным <math>(-1)</math>.

Строгая реализация этой программы позволяет получить[4] явную формула Римана (англ.)[5]:

<math>

\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<\operatorname{Re}(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**) </math> Суммирование тут ведётся по нулям <math>\rho</math> дзета-функции, лежащим в критической полосе <math>0<\operatorname{Re}(s)<1</math>, слагаемое <math>-\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}</math> отвечает полюсу <math>\frac{x^s}{s}</math> в нуле, а слагаемое <math>-\log(1-x^{-2})/2</math> — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции <math>s=-2,-4,-6,\dots</math>.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение <math>\psi(x)\sim x</math> (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем <math>x</math>). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения <math>\psi(x)</math> от <math>x</math>, и, соответственно, на отклонения <math>\pi(x)</math> от <math>x/\ln x</math>.

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

<math>

\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p </math> тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

<math>

\ln = \Lambda * \mathbf{1}, </math> где <math>\ln</math> и <math>\mathbf{1}</math> — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести <math>\mathbf{1}</math> в правую часть:

<math>

\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**) </math> где <math>\mu</math> — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция <math>\psi</math>. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме <math>\sum\limits_k L\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k),</math> где <math>L</math> — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать <math>L(n)</math> как

<math>L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),</math>

где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид <math>\sum\limits_k F\left(\frac{n}{k}\right)</math> для подходящим образом подобранной функции F (а именно, <math>F(x)=x-\gamma-1</math>), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

<math>\Lambda = F + \sum\limits_k R\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k).</math>

Поскольку <math>F(x)\sim x,</math> остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид <math>o(x)</math>. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения <math>M(x)=o(x),</math> где <math>M(x)=\sum\limits_{n\leqslant x} \mu(n)</math> — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции <math>1/n</math>.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

<math>\mu'=-\mu*\Lambda,</math>

где <math>f'(n)=f(n)\cdot \ln n</math> — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

<math>\mu= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').</math>

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции <math>\Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda</math> оценивается лучше асимптотики сумм <math>\Lambda</math>, позволяет оценивать отношение <math>\frac{M(x)}{x}</math> через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку <math>M(x)=o(x)</math>.

См. также

Примечания

  1. ↑ [dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. - с. 30-31]
  2. ↑ Дербишир, 2010, с. 178-179..
  3. ↑ Ахиезер Н. И. П. Л. Чебышёв и его научное наследие.
  4. ↑ [people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf Sketch of the Riemann--von Mangoldt explicit formula]
  5. ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/ExplicitFormula.html Explicit Formula] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

Классические труды

  • Jacques Hadamard. [archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1896__24_/BSMF_1896__24__199_1/BSMF_1896__24__199_1.pdf Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta(s)</math> et ses conséquences arithmétiques]. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
  • Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
  • Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, меньших данной величины, 1848.
  • Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
  • Bernhard Riemann. [www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse] // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Современная литература

  • Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  • Диамонд Г. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=4716&option_lang=rus Элементарные методы в изучении распределения простых чисел], УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
  • Постников А. Г., Романов Н. П. [www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8019&option_lang=rus Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел], УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
  • Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
  • Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html Prime Number Theorem] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Теорема_о_распределении_простых_чисел&oldid=81443048»