Функция распределения

Поделись знанием:
Это текущая версия страницы, сохранённая 93.175.2.196 (обсуждение) в 01:16, 22 октября 2016. Вы просматриваете постоянную ссылку на эту версию.

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; Вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство <math>(\R,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X</math> с распределением <math>\mathbb{P}^X</math>. Тогда функцией распределения случайной величины <math>X</math> называется функция <math>F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1]</math>, задаваемая формулой:

<math>F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x]\right)</math>.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины <math>X </math> называют функцию <math>F(x) </math>, значение которой в точке <math>x </math> равно вероятности события <math>\{X \leqslant x\}</math>, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых <math>X(\omega) \leqslant x</math>.

Свойства

  • <math>F_X</math> непрерывна справа:
    <math>\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)</math>
  • <math>F_X</math> не убывает на всей числовой прямой.
  • <math>\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0</math>.
  • <math>\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1</math>.
  • Распределение случайной величины <math>\mathbb{P}^X</math> однозначно определяет функцию распределения.
    • Верно и обратное: если функция <math>F(x)</math> удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что <math>F(x)</math> является её функцией распределения.
  • По определению непрерывности справа, функция <math>F_X</math> имеет правый предел <math>F_X(x+)</math> в любой точке <math>x\in \mathbb{R}</math>, и он совпадает со значением функции <math>F_X(x)</math> в этой точке.
    • В силу неубывания, функция <math>F_X</math> также имеет и левый предел <math>F_X(x-)</math> в любой точке <math>x\in \mathbb{R}</math>, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция <math>F_X</math> либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Из свойств вероятности следует, что <math>\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>a < b</math>:

  • <math>\mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x)</math>;
  • <math>\mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-)</math>;
  • <math>\mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-)</math>;
  • <math>\mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-)</math>;
  • <math>\mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a)</math>;
  • <math>\mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-)</math>;
  • <math>\mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a)</math>;
  • <math>\mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-)</math>;

Дискретные распределения

Если случайная величина <math>X</math> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

<math>\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</math>,

то функция распределения <math>F_X</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

<math>F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i</math>.

Эта функция непрерывна во всех точках <math>x\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x \not= x_i,\; \forall i</math>, и имеет разрыв первого рода в точках <math>x = x_i,\; \forall i</math>.

Непрерывные распределения

Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется непрерывным, если такова его функция распределения <math>F_X</math>. В этом случае:

<math>\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,

и

<math>F_X(x-0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,

а следовательно формулы имеют вид:

<math>\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)</math>,

где <math>|a,b|</math> означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция <math>f_X(x)</math>, такая что:

<math>F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt</math>.

Функция <math>f_X</math> называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если <math>f_X \in C(\mathbb{R})</math>, то <math>F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})</math>, и

<math>\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>.

Вариации и обобщения

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

<math>F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right)</math>.

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.


Многомерные функции распределения

Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> фиксированное вероятностное пространство, и <math>X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^N</math> — случайный вектор. Тогда распределение <math>\mathbb{P}^X</math>, называемое распределением случайного вектора <math>X</math> или совместным распределением случайных величин <math>X_1,\ldots,X_n</math>, является вероятностной мерой на <math>\mathbb{R}^n</math>. Функция этого распределения <math>F_X\colon\mathbb{R}^n \to [0,1]</math> задаётся по определению следующим образом:

<math>F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leqslant x_1 ,\ldots, X_n \leqslant x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right)</math>,

где <math>\prod</math> в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на <math>\mathbb{R}^n</math> и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для <math>n > 1</math>.

См. также

Примечания