Математика
Матема́тика (др.-греч. μᾰθημᾰτικά[1] < др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов[2]. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов[3]. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы[4].
Содержание
Основные сведения
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики[5].
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.
Этимология
Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα, что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. μαθηματικός, первоначально означающего восприимчивый, успевающий[6], позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικὴ τέχνη, на латыни ars mathematica, означает искусство математики. Термин др.-греч. μᾰθημᾰτικά в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). По мнению Фасмера в русский язык слово пришло либо через польск. matematyka, либо через лат. mathematica[7].
В текстах на русском языке слово «математика» или «маѳематика» встречается, по крайней мере, с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)[8]
Определения
Одно из первых определений предмета математики дал Декарт[9]:
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
В советское время классическим считалось определение из БСЭ[10], данное А. Н. Колмогоровым:
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Это определение Энгельса[11]; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.
«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным[13].
Разделы математики
1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:
- арифметика,
- элементарная алгебра
- элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
- теория элементарных функций и элементы анализа
и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.
Программа обучения по специальности математика[14] образована следующими учебными дисциплинами:
- Математический анализ
- Алгебра
- Аналитическая геометрия
- Линейная алгебра и геометрия
- Дискретная математика
- Математическая логика
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальная геометрия
- Топология
- Функциональный анализ и интегральные уравнения
- Теория функций комплексного переменного
- Уравнения в частных производных (вместо этого курса физикам читаются Методы математической физики)
- Теория вероятностей
- Математическая статистика
- Теория случайных процессов
- Вариационное исчисление и методы оптимизации
- Методы вычислений, то есть численные методы
- Теория чисел
2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации[15] подразделяется на специальности:
- Вещественный, комплексный и функциональный анализ
- Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
- Математическая физика
- Геометрия и топология
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическая логика, алгебра и теория чисел
- Вычислительная математика
- Дискретная математика и математическая кибернетика
3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика»[16] универсальной десятичной классификации (УДК).
4. Американское математическое общество ([www.ams.org/home/page AMS]) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется [www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html Mathematics Subject Classification]. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это [www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html MSC 2010]. Предыдущая версия — [www.ams.org/mathscinet/msc/msc.html MSC 2000].
Обозначения
Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики — математического анализа, математической логики, теории множеств и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.
Краткая история
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:
- Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
- Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
- Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
- Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Философия математики
Цели и методы
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.
Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.
Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство <math>\R^n</math>, при <math>n>3</math> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».[17]
Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.
Основания
Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.
Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.
Теоретико-множественный подход
Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.
Логицизм
Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.
Формализм
Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.
Интуиционизм
Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).
Конструктивная математика
Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения[прояснить]. Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным».[18] Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.[19]
Основные темы
Числа
Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.
| |||||||||||||||
<math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> | <math>1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> | ||||||||||||||
Комплексные числа | Кватернионы |
Числа — Натуральные числа — Целые числа — Рациональные числа — Иррациональные числа — Трансцендентные числа — Вещественные числа — Комплексные числа — Гиперкомплексные числа — Кватернионы — Октонионы — Седенионы — Гиперреальные числа — Сюрреальные числа — p-адические числа — Математические постоянные — Названия чисел — Бесконечность — Базы
|
и их расширения
|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные[en]
|заголовок3=числовых систем
|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица
|заголовок4=
| |||||||||||||||||||||||||||
<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> | Седенионы |
числовые системы
|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
|заголовок6=|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион
}}
Преобразования
<math>36 \div 9 = 4</math> | <math>\int 1_S\,d\mu=\mu(S)</math> | ||
Арифметика | Дифференциальное и интегральное исчисление | Векторный анализ | Анализ |
<math>\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c</math> | |||
Дифференциальные уравнения | Динамические системы | Теория хаоса |
Арифметика — Векторный анализ — Анализ — Теория меры — Дифференциальные уравнения — Динамические системы — Теория хаоса
Структуры
Теория множеств — Линейная алгебра — Общая алгебра (включает, в частности, теорию групп, универсальную алгебру, теорию категорий) — Алгебраическая геометрия — Теория чисел — Топология.
Пространственные отношения
Геометрия | Тригонометрия | Дифференциальная геометрия | Топология | Фракталы | Теория меры |
Геометрия — Тригонометрия — Алгебраическая геометрия — Топология — Дифференциальная геометрия — Алгебраическая топология — Линейная алгебра — Фракталы — Теория меры.
Дискретная математика
Дискретная математика включает средства исследования объектов, способных принимать только отдельные (дискретные) значения (то есть объектов, не способных изменяться плавно).[20]
<math>\forall x (P(x) \Rightarrow P(x'))</math> | |||
Математическая логика | Теория вычислимости | Криптография | Теория графов |
Комбинаторика — Теория множеств — Теория решёток — Математическая логика — Теория вычислимости— Криптография — Теория функциональных систем — Теория графов — Теория алгоритмов — Логические исчисления — Информатика.
Коды в системах классификации знаний
- УДК 51
- Государственный рубрикатор научно-технической информации (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27[21]
- ББК В1 или 22.1
- Математическая предметная классификация
Онлайновые сервисы
Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные.[22] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.
Программное обеспечение
Математическое программное обеспечение многогранно:
- Пакеты, ориентированные на набор математических текстов и на их последующую вёрстку (TeX).
- Пакеты, ориентированные на решение математических задач, численное моделирование и построение графиков (GNU Octave, Maple, Mathcad, MATLAB, Scilab).
- Отдельные программы или пакеты программ, активно использующие математические методы (калькуляторы, архиваторы, протоколы шифрования/дешифрования, системы распознавание образов, кодирование аудио и видео).
|
|
См. также
- Популяризаторы науки
Примечания
- ↑ [lingvowiki.info/w/Книги/Древнегреческо-русский_словарь_Дворецкого/79#.CE.9C Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «μᾰθημᾰτικά»]
- ↑ [www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics Энциклопедия Britannica]
- ↑ [www.websters-online-dictionary.org/definitions/mathematics?cx=partner-pub-0939450753529744%3Av0qd01-tdlq&cof=FORID%3A9&ie=UTF-8&q=mathematics&sa=Search#922 Webster’s Online Dictionary]
- ↑ [ou.tsu.ru/hischool/filmatem/42.htm Глава 2. Математика как язык науки]. Сибирский открытый университет. Проверено 5 октября 2010. [www.webcitation.org/659dwdzTk Архивировано из первоисточника 2 февраля 2012].
- ↑ Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 581—582. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2.
- ↑ [slovarus.info/grk.php Большой древнегреческий словарь (αω)]
- ↑ [fasmer-dictionary.info/Этимологический_словарь_Фасмера/7888/Математика Этимологический словарь Фасмера «Математика»]
- ↑ Словарь русского языка XI—XVII вв. Выпуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Филин. — М.: Наука, 1982. — С. 41.
- ↑ Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
- ↑ Математика — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.
- ↑ Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
- ↑ Герман Вейль // Клайн М. [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu Математика. Утрата определённости]. — М.: Мир, 1984. — С. 16.
- ↑ Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 01.01.00. «Математика». Квалификация — Математик. Москва, 2000 (Составлено под руководством О. Б. Лупанова)
- ↑ [web.archive.org/web/20111127142124/vak.ed.gov.ru/common/img/uploaded/files/vak/norm_doc/2010/Prilozhenie_k_prikazu_N59_ot_25.02.2009.doc Номенклатура специальностей научных работников], утверждённая приказом Минобрнауки России от 25.02.2009 № 59
- ↑ [www.teacode.com/online/udc/51/51.html УДК 51 Математика]
- ↑ Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
- ↑ Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
- ↑ Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.
- ↑ Renze, John; Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/DiscreteMathematics.html Discrete Mathematics] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ [www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm Электронная библиотека LibOk.Net — читать и скачать книги бесплатно]
- ↑ Например: mathworld.wolfram.com
Литература
- Энциклопедии
- Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Россия/Русская наука/Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/handbooks.htm Общие и специальные справочники по математике на EqWorld]
- Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
- [dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D183743 Энциклопедия математических наук и их приложений] (нем.) 1899—1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)
- Справочники
- Сборник задач по высшей математике преподавателей Института Инженеров Путей Сообщения / А. А. Адамов, А. П. Вилижанин, Н. М. Гюнтер, А. Н. Захаров, В. М. Мелиоранский, В. Ф. Точинский и Я. В. Успенский. — СПб., 1912
- Шахно К. У. Справочник по элементарной математике. — Л., 1955
- Г. Корн, Т. Корн. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu Справочник по математике для научных работников и инженеров] М., 1973 г.
- Книги
- Клайн М. [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu Математика. Утрата определённости]. — М.: Мир, 1984.
- Клайн М. [www.117.mhost.ru/books/science/matem_poisk_istini.zip Математика. Поиск истины]. — М.: Мир, 1988. — 295 с.
- Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.
- [ilib.mccme.ru/djvu/klejn-1.htm Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ] М.: Наука, 1987. 432 с.
- [ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm Том II. Геометрия] М.: Наука, 1987. 416 с.
- Курант Р., Г. Роббинс. [www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?] 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
- Писаревский Б. М., Харин В. Т. О математике, математиках и не только. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. — 302 с.
- Пуанкаре А. [sokolwlad.narod.ru/france/texts/philosophy/poin00.html Наука и метод] (рус.) (фр.)
- Бобров С. П. [www.math.ru/lib/book/djvu/dvurog.djvu Волшебный двурог] М.: Детская литература, 1967. 496 с.
- Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки; 200 знаменитых головоломок мира; Пятьсот двадцать головоломок
- Кэррол Л. История с узелками; Логическая игра
- Таунсенд Чарлз Барри. Звёздные головоломки; Самые весёлые головоломки; Самые трудные головоломки из старинных журналов
- Перельман Я. И. Занимательная математика
Ссылки
Портал «Математика» | |
Математика в Викисловаре? | |
Математика в Викицитатнике? | |
Математика в Викитеке? | |
Математика в Викиновостях? |
- Видеолекции
- [www.univertv.ru/video/matematika/istoriya_matematiki/istoriya_matematiki/?mark=all История математики]
- [postnauka.ru/lectures/51507 Большой адронный коллайдер как инструмент развития математики]
- Образовательные сайты
- www.math.ru/
- [www.mccme.ru/ МЦНМО]
- [www.etudes.ru Математические этюды]
- [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics.htm Мир математических уравнений]
- Дискуссионные математические форумы
- [www.mathforum.ru/ Математический форум мехмата МГУ]
- [mathhelpplanet.com Математический форум Math Help Planet]
- Судьба математической науки
- В. А. Успенский: [magazines.russ.ru/novyi_mi/2007/11/us10.html Апология математики] (+[magazines.russ.ru/novyi_mi/2007/12/us9.html окончание]).
- [www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/MATEMATIKI_ISTORIYA.html МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ]
|
|