Непрерывная функция

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Определения

ε-δ определение

Пусть <math>D\subset\R</math> и <math>f: D\to\R</math>.

Функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>x_0\in D</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует <math>\delta>0</math> такое, что для любого

<math>x\in D,\ |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.</math>

Функция <math>f</math> непрерывна на множестве <math>E</math>, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция <math>f</math> класса <math>C^0</math> и пишут: <math>f\in C^0(E)</math> или, подробнее, <math>f\in C^0(E, \mathbb{R})</math>.

Комментарии

• Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>x_0</math>, предельной для множества <math>D</math>, если <math>f</math> имеет предел в точке <math>x_0</math>, и этот предел совпадает со значением функции <math>f(x_0)</math>.
• По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента <math>x</math> удовлетворять условию <math>0 < \left\vert x - a \right\vert</math>, т.е. быть отличными от а.
• Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если <math>A</math> — значение функции <math>f</math> в точке <math>a</math>, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с <math>A</math>. На языке окрестностей условие разрывности функции <math>f</math> в точке <math>a</math> получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки <math>A</math> области значений функции <math>f</math>, что как бы мы близко не подходили к точке <math>a</math> области определения функции <math>f</math>, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки <math>A</math>.

Классификация точек разрыва в R¹

Классификация разрывов функций <math>f: X \to Y</math> зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>. Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в <math>\mathbb{R}</math> различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

Устранимый разрыв   Разрыв типа «скачок»   Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».   Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

<math>\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a)</math>,

то точка <math>a</math> называется точкой устранимого разрыва функции <math>f</math> (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию <math>f</math> в точке устранимого разрыва и положить <math>f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x)</math>, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» возникает, если

<math>\lim\limits_{x\to a-0} f(x) \neq \lim\limits_{x\to a+0} f(x)</math>.

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

<math>\lim\limits_{x\to a-0} f(x) = \pm \infty</math> или <math>\lim\limits_{x\to a+0} f(x) = \pm \infty</math>.

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rⁿ, n>1

Для функций <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> и <math>f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация сходная.

• Если <math>\exists \lim\limits_{x\to a} f(x)</math>, то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как <math>\lim\limits_{x\to a} f(x) = \infty</math>. В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что <math>f(x) \to \infty</math>, каким путём бы он ни рос.
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в <math>\mathbb{R}</math> считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке <math>a</math>, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>a</math> и <math>f(a)>0</math> (или <math>f(a)<0</math>), то <math>f(x)>0</math> (или <math>f(x)<0</math>) для всех <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>.
• Если функции <math>f</math> и <math>g</math> непрерывны в точке <math>a</math>, то функции <math>f+g</math> и <math>f \cdot g</math> тоже непрерывны в точке <math>a</math>.
• Если функции <math>f</math> и <math>g</math> непрерывны в точке <math>a</math> и при этом <math>g(a)\neq 0</math>, то функция <math>f/g</math> тоже непрерывна в точке <math>a</math>.
• Если функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>a</math> и функция <math>g</math> непрерывна в точке <math>b=f(a)</math>, то их композиция <math>h=g\circ f</math> непрерывна в точке <math>a</math>.

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции <math>f</math>, непрерывной на отрезке <math>[a,b]</math>, является отрезок <math>[\min f, \ \max f],</math> где минимум и максимум берутся по отрезку <math>[a,b]</math>.
• Если функция <math>f</math> непрерывна на отрезке <math>[a,b]</math> и <math>f(a)\cdot f(b)<0,</math> то существует точка <math>\xi \in (a,b),</math> в которой <math>f(\xi)=0</math>.
• Если функция <math>f</math> непрерывна на отрезке <math>[a,b]</math> и число <math>\varphi</math> удовлетворяет неравенству <math>f(a)< \varphi < f(b)</math> или неравенству <math>f(a)> \varphi > f(b),</math> то существует точка <math>\xi \in (a,b),</math> в которой <math>f(\xi)=\varphi</math>.
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке <math>[a,b]</math> непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами <math>f(a)</math> и <math>f(b)</math>.
• Если функции <math>f</math> и <math>g</math> непрерывны на отрезке <math>[a,b]</math>, причем <math>f(a)< g(a)</math> и <math>f(b) > g(b),</math> то существует точка <math>\xi \in (a,b),</math> в которой <math>f(\xi)=g(\xi).</math> Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция <math>f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R},</math> задаваемая формулой

<math>f(x) = \begin{cases}

\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}</math>

непрерывна в любой точке <math>x \neq 0.</math> Точка <math>x=0</math> является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

<math>\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq f(0).</math>

Функция знака

Функция

<math>f(x) = \sgn x = \begin{cases}

-1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases},\quad x\in \R</math>

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке <math>x \neq 0</math>.

Точка <math>x=0</math> является точкой разрыва первого рода, причём

<math>\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x)</math>,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

<math>f(x) = \begin{cases}

1,& x \geqslant 0\\ 0, & x < 0 \end{cases},\quad x\in \mathbb{R}</math> является всюду непрерывной, кроме точки <math>x=0</math>, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке <math>x=0</math> существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

<math>f(x) = \begin{cases}

1,& x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases},\quad x\in \mathbb{R}</math>

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

<math>f(x) = \begin{cases}

1,& x \in \mathbb{Q}\\ 0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}</math> называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

<math>f(x) = \begin{cases}

\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},\ (m,n)=1\\ 0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}</math> называется функцией Римана или функцией Томае (англ.).

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел (<math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math>), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция <math>f</math> называется равномерно непрерывной на <math>E</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует <math>\delta>0</math> такое, что для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> таких, что <math>|x_1-x_2|<\delta</math>, выполняется <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>.

Каждая равномерно непрерывная на множестве <math>E</math> функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция <math>f</math> называется полунепрерывной снизу в точке <math>a</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такая окрестность <math>U_E(a)</math>, что <math>f(x)>f(a)-\varepsilon</math> для всякого <math>x\in U_E(a)</math>;
• функция <math>f</math> называется полунепрерывной сверху в точке <math>a</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такая окрестность <math>U_E(a)</math>, что <math>f(x)<f(a)+\varepsilon</math> для всякого <math>x\in U_E(a)</math>.

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию <math>f</math>, непрерывную в точке <math>a</math>, и уменьшить значение <math>f(a)</math> (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке <math>a</math>;
• если взять функцию <math>f</math>, непрерывную в точке <math>a</math>, и увеличить значение <math>f(a)</math> (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке <math>a</math>.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если <math>f(a)=-\infty</math>, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке <math>a</math>;
• если <math>f(a)=+\infty</math>, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке <math>a</math>.

Односторонняя непрерывность

Функция <math>f</math> называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке <math>x_0</math> её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: <math>f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-} f(x)</math> <math>(f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0+} f(x)).</math>

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция <math>f</math> такова, что она непрерывна всюду на <math>E</math>, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.