Правильный пятиугольник

Иное название этого понятия — «Пентагон»; см. также другие значения.

Пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	5
Символ Шлефли	{5}
Диаграмма Коксетера-Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D5)
Площадь	<math>\frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} =</math> <math>\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5

{2}};</math>

|угол=108° |свойства= выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный, изотоксальный }}

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

• У правильного пятиугольника угол равен

<math>\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ</math>

• Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

<math>S = \frac{5}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 = \frac{5}{12}Rd = \frac{5}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{5} = 5 r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{5}</math>,

где <math>R</math> — радиус описанной окружности, <math>r</math> — радиус вписанной окружности, <math>d</math> — диагональ, <math>t</math> — сторона.

• Высота правильного пятиугольника:

<math>h= \frac{\operatorname{tg}\,72^\circ}{2} t = \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{2} t \approx 1,539 t</math>

• Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

• Сторона:

<math>t =R \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}</math>

• Радиус вписанной окружности:

<math>r = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{10} t</math>

• Радиус описанной окружности:

<math>R = \frac{\sqrt 10 \sqrt{5 + \sqrt{5}}}{10} t = ( \sqrt 5 - 1) r</math>

• Диагональ:

<math>d = R{\sqrt {\varphi{\sqrt5}}} </math>

• Площадь:

<math>S = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2</math>

• Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
• Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

<math>\frac{S}{s} = \varphi^4 = 3\varphi + 2 = \frac{3\sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,8541</math>

где <math>\varphi</math> — отношение золотого сечения.

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э. Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.

Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

• Starfish 02 (paulshaffner) cropped.jpg

  Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией.

• Medlar 5-symmetry.jpg

  Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.

Интересные факты

• Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
• Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
• Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
• В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
• Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

См. также

• Золотое сечение
• Пятиугольник
• Пентаэдр
• Пентаграмма
• Государственный знак качества СССР