Сходимость в Lp

Сходи́мость в <math>L^p</math> в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение

Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство с мерой. Тогда пространство <math>L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math> измеримых функций, таких что их <math>p</math>-я степень, где <math>p \geqslant 1</math>, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

<math>d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}</math>.

Пусть дана последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p</math>. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в <math>L^p</math> к функции <math>f \in L^p</math>, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

<math>\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0</math>.

Пишут: <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f</math>. Иногда также используют обозначение <math>f(x)=\mathop{\mathrm{l.i.m.}}_{n\to\infty} f_n(x)</math> — от англ.  «limit in mean» .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин <math>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> сходится к <math>X</math> из того же пространства, если

<math>\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0</math>.

Пишут: <math>X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X</math>.

Терминология

• Сходимость в пространстве <math>L^1</math> называется сходимостью в среднем.
• Сходимость в пространстве <math>L^2</math> называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в <math>L^p</math>

• Единственность предела. Если <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f</math> и <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g</math>, то <math>f = g</math> <math>\mu</math>-почти всюду (<math>\mathbb{P}</math>-почти наверное).

• Пространство <math>L^p</math> полно. Если <math>\|f_n-f_m\|_p \to 0</math> при <math>\min(n,m) \to \infty</math>, то существует <math>f \in L^p</math>, такой что <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f</math>.

• Сходимость в <math>L^p</math> влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f</math>, то <math>f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f</math>.