Альтернативная матрица
|
|
Альтернати́вная ма́трица[1][2] (англ. Alternant matrix) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности <math>m \times n</math>, задаваемая с помощью <math>m</math> элементов <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_m</math> и <math>n</math> функций <math>f_1, f_2, \dots f_n</math> так, что каждый элемент матрицы <math>M_{i,j} = f_j(\alpha_i)</math>[3] или, в развёрнутом виде:
- <math>M=\begin{bmatrix}
f_1(\alpha_1) & f_2(\alpha_1) & \dots & f_n(\alpha_1)\\ f_1(\alpha_2) & f_2(\alpha_2) & \dots & f_n(\alpha_2)\\ f_1(\alpha_3) & f_2(\alpha_3) & \dots & f_n(\alpha_3)\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ f_1(\alpha_m) & f_2(\alpha_m) & \dots & f_n(\alpha_m)\\ \end{bmatrix}</math>
Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.
Примеры и использование альтернативных матриц
Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при <math>f_i(\alpha)=\alpha^{i-1}</math>. (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной[4][5].) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — матрица Мура, в которой <math>f_i(\alpha)=\alpha^{q^{i-1}}</math>.
В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.
Свойства альтернативных матриц
Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции <math>f_j(x)</math> полиномиальны, то при условии <math>\alpha_i = \alpha_j</math> для всех <math>i < j</math> детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, <math>(\alpha_j - \alpha_i)</math> является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых <math>i, j</math>, удовлетворяющим условию <math>1 \leq i < j \leq n</math>. Следовательно, детерминант Вандермонда
- <math>
V = \begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \dots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} \\ 1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} \\ \end{bmatrix} </math> равный <math>\prod_{i < j} (\alpha_j - \alpha_i)</math> также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение <math>\frac{\det M}{\det V}</math> носит специальное название «биальтернант».
Заметим также, что в случае, когда <math>f_j(x) = x^{m_j}</math>, мы получаем классическое определение многочленов Шура.
См. также
Напишите отзыв о статье "Альтернативная матрица"
Литература
- A. C. Aitken. Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 111—123. — 144 с.
- Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 334–342. — ISBN 0521560691.
- Thomas Muir. A treatise on the theory of determinants. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2003. — С. 321—363. — 766 с. — ISBN 0486495531.
Примечания
- ↑ [dic.academic.ru/dic.nsf/eng_rus/417199/alternant Alternant matrix]. Аcademic.ru. Проверено 17 ноября 2012. [www.webcitation.org/6DWqjK8zM Архивировано из первоисточника 9 января 2013].
- ↑ [www.multitran.ru/c/M.exe?l1=2&l2=1&s=Alternant+matrix Alternant matrix]. Multitran.ru. Проверено 17 ноября 2012.
- ↑ A. C. Aitken. Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 112. — 144 с.
- ↑ Hrishikesh D. Vinod. Hands-on matrix algebra using R: active and motivated learning with applications. — Singapore: World Scientific, 2011. — С. 290. — 329 с. — ISBN 9814313688.
- ↑ Marvin Marcus, Henryk Minc. A survey of matrix theory and matrix inequalities. — New York: Dover, 1992. — С. 15. — 180 с. — ISBN 048667102X.
Отрывок, характеризующий Альтернативная матрица
Около улан собралась толпа. Ближе всех к Пьеру стояла рябая баба с девочкою; когда объезд тронулся, она подвинулась вперед.– Куда же это ведут тебя, голубчик ты мой? – сказала она. – Девочку то, девочку то куда я дену, коли она не ихняя! – говорила баба.
– Qu'est ce qu'elle veut cette femme? [Чего ей нужно?] – спросил офицер.
Пьер был как пьяный. Восторженное состояние его еще усилилось при виде девочки, которую он спас.
– Ce qu'elle dit? – проговорил он. – Elle m'apporte ma fille que je viens de sauver des flammes, – проговорил он. – Adieu! [Чего ей нужно? Она несет дочь мою, которую я спас из огня. Прощай!] – и он, сам не зная, как вырвалась у него эта бесцельная ложь, решительным, торжественным шагом пошел между французами.
Разъезд французов был один из тех, которые были посланы по распоряжению Дюронеля по разным улицам Москвы для пресечения мародерства и в особенности для поимки поджигателей, которые, по общему, в тот день проявившемуся, мнению у французов высших чинов, были причиною пожаров. Объехав несколько улиц, разъезд забрал еще человек пять подозрительных русских, одного лавочника, двух семинаристов, мужика и дворового человека и нескольких мародеров. Но из всех подозрительных людей подозрительнее всех казался Пьер. Когда их всех привели на ночлег в большой дом на Зубовском валу, в котором была учреждена гауптвахта, то Пьера под строгим караулом поместили отдельно.
В Петербурге в это время в высших кругах, с большим жаром чем когда нибудь, шла сложная борьба партий Румянцева, французов, Марии Феодоровны, цесаревича и других, заглушаемая, как всегда, трубением придворных трутней. Но спокойная, роскошная, озабоченная только призраками, отражениями жизни, петербургская жизнь шла по старому; и из за хода этой жизни надо было делать большие усилия, чтобы сознавать опасность и то трудное положение, в котором находился русский народ. Те же были выходы, балы, тот же французский театр, те же интересы дворов, те же интересы службы и интриги. Только в самых высших кругах делались усилия для того, чтобы напоминать трудность настоящего положения. Рассказывалось шепотом о том, как противоположно одна другой поступили, в столь трудных обстоятельствах, обе императрицы. Императрица Мария Феодоровна, озабоченная благосостоянием подведомственных ей богоугодных и воспитательных учреждений, сделала распоряжение об отправке всех институтов в Казань, и вещи этих заведений уже были уложены. Императрица же Елизавета Алексеевна на вопрос о том, какие ей угодно сделать распоряжения, с свойственным ей русским патриотизмом изволила ответить, что о государственных учреждениях она не может делать распоряжений, так как это касается государя; о том же, что лично зависит от нее, она изволила сказать, что она последняя выедет из Петербурга.
У Анны Павловны 26 го августа, в самый день Бородинского сражения, был вечер, цветком которого должно было быть чтение письма преосвященного, написанного при посылке государю образа преподобного угодника Сергия. Письмо это почиталось образцом патриотического духовного красноречия. Прочесть его должен был сам князь Василий, славившийся своим искусством чтения. (Он же читывал и у императрицы.) Искусство чтения считалось в том, чтобы громко, певуче, между отчаянным завыванием и нежным ропотом переливать слова, совершенно независимо от их значения, так что совершенно случайно на одно слово попадало завывание, на другие – ропот. Чтение это, как и все вечера Анны Павловны, имело политическое значение. На этом вечере должно было быть несколько важных лиц, которых надо было устыдить за их поездки во французский театр и воодушевить к патриотическому настроению. Уже довольно много собралось народа, но Анна Павловна еще не видела в гостиной всех тех, кого нужно было, и потому, не приступая еще к чтению, заводила общие разговоры.
