Вариационный метод

Вариационный метод — метод решения математических задач с помощью минимизации определенного функционала, используя пробную функцию, которая зависит от небольшого количества параметров.

Квантовая механика

Состояние квантовомеханической системы определяется волновой функцией, которая находится из стационарного уравнения Шредингера

<math> \hat{H}\psi = E\psi </math>,

где <math> \hat{H} </math> — гамильтониан системы.

В общем случае большого числа частиц (три в квантовой механике частицы уже много) решить уравнение Шредингера аналитически не используя дополнительных приближений, невозможно.

Функционал

<math> \langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau</math>,

где интегрирование проводится по всему координатному пространству , а ψ -произвольная функция всех переменных системы, имеет минимальное значение при определенной функции <math> \psi_0 </math>, которая отвечает основному состоянию системы и является решением уравнения Шредингера.

Вариационный метод заключается в том, чтобы использовать для решения какую-то пробную функцию переменных системы <math>\phi(\lambda_i)</math>, зависящую от нескольких параметров <math> \lambda_i</math>, которая удовлетворяла бы условию нормировки

<math> \langle \phi|\phi \rangle = 1 </math>.

В таком случае

<math> \Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i) \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i) d\tau </math>

является функцией (уже не функционалом) от параметров <math>\lambda_i </math> и дополнительного параметра E. Минимум этого функционала по всем параметрам <math>\lambda_i </math> определяет приближение к энергии основного состояния системы. Этот минимум находят из системы уравнений

<math> \frac{\partial \Phi(\lambda_i, E)}{\partial \lambda_j} = 0</math>,

учитывая условие нормировки, или любым другим способом минимизации.

Вариационный метод дает лучшее приближение к энергии основного состояния для данной формы пробной функции. При удачно выбранной пробной функции это приближение может быть достаточно точным, незначительно отличаясь от того, что наблюдается на эксперименте. Удачно выбранная пробная функция позволяет также делать качественные выводы о поведении квантовомеханической системы.

Выбор пробной функции является определенным искусством. Обычно при этом опираются на определенные физические представления о поведении системы. Увеличение числа параметров в пробной функции позволяет улучшить результат, но усложняет задачу, а иногда может привести к отысканию ложного локального минимума .

Отрывок, характеризующий Вариационный метод

И по неопределимой, таинственной связи, поддерживающей во всей армии одно и то же настроение, называемое духом армии и составляющее главный нерв войны, слова Кутузова, его приказ к сражению на завтрашний день, передались одновременно во все концы войска.
Далеко не самые слова, не самый приказ передавались в последней цепи этой связи. Даже ничего не было похожего в тех рассказах, которые передавали друг другу на разных концах армии, на то, что сказал Кутузов; но смысл его слов сообщился повсюду, потому что то, что сказал Кутузов, вытекало не из хитрых соображений, а из чувства, которое лежало в душе главнокомандующего, так же как и в душе каждого русского человека.
И узнав то, что назавтра мы атакуем неприятеля, из высших сфер армии услыхав подтверждение того, чему они хотели верить, измученные, колеблющиеся люди утешались и ободрялись.


Полк князя Андрея был в резервах, которые до второго часа стояли позади Семеновского в бездействии, под сильным огнем артиллерии. Во втором часу полк, потерявший уже более двухсот человек, был двинут вперед на стоптанное овсяное поле, на тот промежуток между Семеновским и курганной батареей, на котором в этот день были побиты тысячи людей и на который во втором часу дня был направлен усиленно сосредоточенный огонь из нескольких сот неприятельских орудий.
Не сходя с этого места и не выпустив ни одного заряда, полк потерял здесь еще третью часть своих людей. Спереди и в особенности с правой стороны, в нерасходившемся дыму, бубухали пушки и из таинственной области дыма, застилавшей всю местность впереди, не переставая, с шипящим быстрым свистом, вылетали ядра и медлительно свистевшие гранаты. Иногда, как бы давая отдых, проходило четверть часа, во время которых все ядра и гранаты перелетали, но иногда в продолжение минуты несколько человек вырывало из полка, и беспрестанно оттаскивали убитых и уносили раненых.
С каждым новым ударом все меньше и меньше случайностей жизни оставалось для тех, которые еще не были убиты. Полк стоял в батальонных колоннах на расстоянии трехсот шагов, но, несмотря на то, все люди полка находились под влиянием одного и того же настроения. Все люди полка одинаково были молчаливы и мрачны. Редко слышался между рядами говор, но говор этот замолкал всякий раз, как слышался попавший удар и крик: «Носилки!» Большую часть времени люди полка по приказанию начальства сидели на земле. Кто, сняв кивер, старательно распускал и опять собирал сборки; кто сухой глиной, распорошив ее в ладонях, начищал штык; кто разминал ремень и перетягивал пряжку перевязи; кто старательно расправлял и перегибал по новому подвертки и переобувался. Некоторые строили домики из калмыжек пашни или плели плетеночки из соломы жнивья. Все казались вполне погружены в эти занятия. Когда ранило и убивало людей, когда тянулись носилки, когда наши возвращались назад, когда виднелись сквозь дым большие массы неприятелей, никто не обращал никакого внимания на эти обстоятельства. Когда же вперед проезжала артиллерия, кавалерия, виднелись движения нашей пехоты, одобрительные замечания слышались со всех сторон. Но самое большое внимание заслуживали события совершенно посторонние, не имевшие никакого отношения к сражению. Как будто внимание этих нравственно измученных людей отдыхало на этих обычных, житейских событиях. Батарея артиллерии прошла пред фронтом полка. В одном из артиллерийских ящиков пристяжная заступила постромку. «Эй, пристяжную то!.. Выправь! Упадет… Эх, не видят!.. – по всему полку одинаково кричали из рядов. В другой раз общее внимание обратила небольшая коричневая собачонка с твердо поднятым хвостом, которая, бог знает откуда взявшись, озабоченной рысцой выбежала перед ряды и вдруг от близко ударившего ядра взвизгнула и, поджав хвост, бросилась в сторону. По всему полку раздалось гоготанье и взвизги. Но развлечения такого рода продолжались минуты, а люди уже более восьми часов стояли без еды и без дела под непроходящим ужасом смерти, и бледные и нахмуренные лица все более бледнели и хмурились.