Гамильтониан (квантовая механика)
Гамильтониа́н (<math>\hat H</math> или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. Функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.
Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для Кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.
Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.
Содержание
Уравнение Шрёдингера
Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если <math> \left| \psi (t) \right\rangle</math> — состояние системы в момент времени t, то
- <math> H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>
Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то
- <math> \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.</math>
Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.
По свойству *-гомоморфизма, оператор
- <math> U = e^{-iHt/\hbar} </math>
унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.
Если Гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.
Выражения для Гамильтониана в координатном представлении
Свободная частица
Если у частицы нет потенциальной энергии, то Гамильтониан самый простой. Для одного измерения:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} </math>
и для трёх измерений:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta </math>
Потенциальная яма
Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени), в одном измерении, Гамильтониан такой:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0 </math>
В трёх измерениях:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_0 </math>
Простой гармонический осциллятор
Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени), как
- <math>V = \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2}{2}x^2 ,</math>
где угловая частота, коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению
- <math>\omega^2 = \frac{k}{m} ,</math>
поэтому Гамильтониан имеет вид
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 .</math>
Для трёх измерений гамильтониан принимает вид
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2 ,</math>
где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:
- <math>r^2 = \bold{r}\cdot\bold{r} = |\bold{r}|^2 = x^2+y^2+z^2 </math>
Полный Гамильтониан — это сумма одномерных Гамильтонианов:
- <math>\begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} (x^2+y^2+z^2) \\
= \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right) \\
\end{align}</math>
В квантовой теории поля
В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергию их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.
Напишите отзыв о статье "Гамильтониан (квантовая механика)"
Ссылки
- [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Blohincev1976ru.djvu Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.]
- Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
- [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dirak1979ru.djvu Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.]
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9.
| ||||||||||
Отрывок, характеризующий Гамильтониан (квантовая механика)
– Послушай, граф, ты довел до того, что за дом ничего не дают, а теперь и все наше – детское состояние погубить хочешь. Ведь ты сам говоришь, что в доме на сто тысяч добра. Я, мой друг, не согласна и не согласна. Воля твоя! На раненых есть правительство. Они знают. Посмотри: вон напротив, у Лопухиных, еще третьего дня все дочиста вывезли. Вот как люди делают. Одни мы дураки. Пожалей хоть не меня, так детей.Граф замахал руками и, ничего не сказав, вышел из комнаты.
– Папа! об чем вы это? – сказала ему Наташа, вслед за ним вошедшая в комнату матери.
– Ни о чем! Тебе что за дело! – сердито проговорил граф.
– Нет, я слышала, – сказала Наташа. – Отчего ж маменька не хочет?
– Тебе что за дело? – крикнул граф. Наташа отошла к окну и задумалась.
– Папенька, Берг к нам приехал, – сказала она, глядя в окно.
Берг, зять Ростовых, был уже полковник с Владимиром и Анной на шее и занимал все то же покойное и приятное место помощника начальника штаба, помощника первого отделения начальника штаба второго корпуса.
Он 1 сентября приехал из армии в Москву.
Ему в Москве нечего было делать; но он заметил, что все из армии просились в Москву и что то там делали. Он счел тоже нужным отпроситься для домашних и семейных дел.
Берг, в своих аккуратных дрожечках на паре сытых саврасеньких, точно таких, какие были у одного князя, подъехал к дому своего тестя. Он внимательно посмотрел во двор на подводы и, входя на крыльцо, вынул чистый носовой платок и завязал узел.
Из передней Берг плывущим, нетерпеливым шагом вбежал в гостиную и обнял графа, поцеловал ручки у Наташи и Сони и поспешно спросил о здоровье мамаши.
– Какое теперь здоровье? Ну, рассказывай же, – сказал граф, – что войска? Отступают или будет еще сраженье?
– Один предвечный бог, папаша, – сказал Берг, – может решить судьбы отечества. Армия горит духом геройства, и теперь вожди, так сказать, собрались на совещание. Что будет, неизвестно. Но я вам скажу вообще, папаша, такого геройского духа, истинно древнего мужества российских войск, которое они – оно, – поправился он, – показали или выказали в этой битве 26 числа, нет никаких слов достойных, чтоб их описать… Я вам скажу, папаша (он ударил себя в грудь так же, как ударял себя один рассказывавший при нем генерал, хотя несколько поздно, потому что ударить себя в грудь надо было при слове «российское войско»), – я вам скажу откровенно, что мы, начальники, не только не должны были подгонять солдат или что нибудь такое, но мы насилу могли удерживать эти, эти… да, мужественные и древние подвиги, – сказал он скороговоркой. – Генерал Барклай до Толли жертвовал жизнью своей везде впереди войска, я вам скажу. Наш же корпус был поставлен на скате горы. Можете себе представить! – И тут Берг рассказал все, что он запомнил, из разных слышанных за это время рассказов. Наташа, не спуская взгляда, который смущал Берга, как будто отыскивая на его лице решения какого то вопроса, смотрела на него.
– Такое геройство вообще, каковое выказали российские воины, нельзя представить и достойно восхвалить! – сказал Берг, оглядываясь на Наташу и как бы желая ее задобрить, улыбаясь ей в ответ на ее упорный взгляд… – «Россия не в Москве, она в сердцах се сынов!» Так, папаша? – сказал Берг.
В это время из диванной, с усталым и недовольным видом, вышла графиня. Берг поспешно вскочил, поцеловал ручку графини, осведомился о ее здоровье и, выражая свое сочувствие покачиваньем головы, остановился подле нее.
– Да, мамаша, я вам истинно скажу, тяжелые и грустные времена для всякого русского. Но зачем же так беспокоиться? Вы еще успеете уехать…
– Я не понимаю, что делают люди, – сказала графиня, обращаясь к мужу, – мне сейчас сказали, что еще ничего не готово. Ведь надо же кому нибудь распорядиться. Вот и пожалеешь о Митеньке. Это конца не будет?
Граф хотел что то сказать, но, видимо, воздержался. Он встал с своего стула и пошел к двери.
Берг в это время, как бы для того, чтобы высморкаться, достал платок и, глядя на узелок, задумался, грустно и значительно покачивая головой.
– А у меня к вам, папаша, большая просьба, – сказал он.
– Гм?.. – сказал граф, останавливаясь.
– Еду я сейчас мимо Юсупова дома, – смеясь, сказал Берг. – Управляющий мне знакомый, выбежал и просит, не купите ли что нибудь. Я зашел, знаете, из любопытства, и там одна шифоньерочка и туалет. Вы знаете, как Верушка этого желала и как мы спорили об этом. (Берг невольно перешел в тон радости о своей благоустроенности, когда он начал говорить про шифоньерку и туалет.) И такая прелесть! выдвигается и с аглицким секретом, знаете? А Верочке давно хотелось. Так мне хочется ей сюрприз сделать. Я видел у вас так много этих мужиков на дворе. Дайте мне одного, пожалуйста, я ему хорошенько заплачу и…
