Квантовая теория поля

Квантовая механика

<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов^[стиль].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

История зарождения

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. Нерелятивистское уравнение Шредингера соответствует классической связи кинетической энергии и импульса частицы <math>E=p^2/2m</math>. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид <math>E^2=p^2c^2+m^2c^4</math>. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Однако, проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса. С учетом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определенному ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют т. н. 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шредингера с гамильтонианом Дирака. Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна-Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

Классический формализм теории поля

Лагранжев формализм

В лагранжевой механике функция Лагранжа <math>L</math> является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы. В случае непрерывной системы, каковым является поле, сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — лагранжевой плотности <math>\mathcal{L}</math>

<math>L(t)=L(x^0)=\int \mathcal{L}(x^0,\mathbf{x})d^3\mathbf{x}</math>.

где жирным выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время.

Действие <math>S</math> по определению есть интеграл по времени от лагранжиана

<math>S=\int dt L(t)=\int dx^0 d^3\mathbf{x}\mathcal{L}(x^0,\mathbf{x} )=\int d^4x\mathcal{L}(x)</math>

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность.

Поле описывается полевой функцией <math>\psi(x)</math>, которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от полевой функции и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и её первых производных

<math>\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}(\psi(x),\partial_{\nu}{\psi}(x))</math>.

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера-Лагранжа,:

<math>\frac {\partial} {\partial x^{\nu}} \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu}\psi)}\right )=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi}</math>

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора <math>\mathcal{L}'(x)=\mathcal{L}(x)+\partial_{\nu}f^{\nu}(x)</math> физически эквивалентны.

Лагранжиан системы полей

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей.

Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободных лагранжианов <math>\mathcal{L}_0</math> и лагранжиана взаимодействия <math>\mathcal{L_I}</math>:

<math>\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\mathcal{L_I}</math>

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называему константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций (общая степень должна быть не ниже третьей).

Гамильтонов формализм

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функция здесь выступает в качестве обобщенной (канонической) координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщенный (канонический) импульс, сопряженный этой координате согласно стандартной формуле:

<math>\pi(t, \mathbf{x})=\frac {{\partial} \mathcal{L}(\psi,\partial_{\nu}{\psi})}{{\partial} \dot{\psi}(t,\mathbf{x})}</math>

Тогда гамильтониан поля (плотность гамильтониана) равен по определению

<math>\mathcal{H}=\pi \dot{\psi}-\mathcal{L}</math>

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид:

<math>\dot{\psi}=\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial \pi}, \dot{\pi}=-\frac {\partial \mathcal{H}}{\partial \psi}</math>

Динамика любых величин <math>F(\psi, \pi)</math> в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

<math>\dot{F}=\{F,\mathcal{H}\}</math>

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона. При этом для самих функций <math>\psi</math> и <math>\pi</math> выполнено следующее:

<math>\{\psi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\}=1, \{\psi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{y},t)\}= \{\pi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\}=0</math>

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов.

Симметрии в квантовой теории поля

Определение и виды симметрий

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат. В противном случае говорят о локальных симметриях. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров.

Дискретные симметрии. CPT-теорема

Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразования:

<math>C</math> — Зарядовое сопряжение — замена полевых функций на сопряженные.

<math>P</math> — Четность — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.

<math>T</math> — Обращение времени — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место <math>CPT</math>-симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трех преобразований.

Непрерывные симметрии. Теорема Нётер

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно <math>s</math>-параметрической группы преобразований приводит к <math>s</math> динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций <math>F^{\mu}(x,\omega)</math>, а полевой функции — с помощью функции <math>U(x,\omega)</math>, где <math>{\omega}</math> — совокупность <math>s</math> параметров. Обозначим <math>u_k</math> значение производной функции <math>U</math> по <math>k</math>-му параметру при нулевом значении параметров, а через <math>f^{\mu}_k</math> — значения производных функций <math>F^{\mu}(x,\omega)</math> по <math>k</math>-му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований.

Тогда нётеровские токи, определенные как <math>J^{\mu}_k=\frac {\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}(\partial_{\nu}\psi f^{\nu}_k-u_k)-f^{\mu}_k \mathcal{L}</math> обладают свойством <math>\partial_{\mu}J^{\mu}_k=0</math>. Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов <math>C_k=\int d^3x J^0_k</math>

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы <math>U(1)</math> — группы умножений на <math>e^{i\alpha}</math>. Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряженных функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель <math>e^{i\alpha}</math> не приводит к каким-либо изменениям.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Симметрия	Нётеровские токи	Нётеровские заряды и законы сохранения
Пространственно-временные трансляции	Тензор энергии-импульса: <math>T^{\mu \nu}=\frac {\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\partial_{\nu}\psi-{g}^{\mu\nu} \mathcal{L}</math>. В частности <math>\mathcal{H}=T^{00}=\frac {\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_{0}\psi)}\partial_{0}\psi-\mathcal{L}</math> — гамильтониан (плотность) поля.	Закон сохранения 4-импульса: <math>P^{\nu}=\int d^3xT^{0 \nu}</math>, в частности энергии (гамильтониана) <math>H=P^{0}</math>
Лоренцевы вращения	Тензор (полного) момента <math>M^{\tau(\rho\sigma)}=M^{\tau(\rho\sigma)}_0+S^{\tau(\rho\sigma)}</math>, где <math>M^{\tau(\rho\sigma)}_0=x^{\sigma}T^{\rho\tau}-x^{\rho}T^{\sigma\tau}</math> — тензор орбитального момента, <math>S^{\tau(\rho\sigma)}=-\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\tau} \psi_i)}A^{j(\rho\sigma)}_i\psi_j</math> — тензор спинового момента (спина), где <math>A^{j(\rho\sigma)}_i</math> — параметры преобразования полевых функций при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей <math>S^{\tau(\rho\sigma)}=0</math>	Закон сохранения полного момента <math>M^{\rho\sigma}=M^{\rho\sigma}_0+S^{\rho\sigma}</math> — пространственного интеграла от <math>M^{0(\rho\sigma)}</math>
Глобальная калибровочная симметрия <math>U(1)</math> — умножение комплексной полевой функции на <math>e^{i\alpha}</math>	4-вектор заряженного тока: <math>J^{\mu} = i \left(\frac {\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi^*)}\psi^*-\frac {\partial \mathcal{L} }{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\psi\right)</math>. Для вещественных полей равны нулю.	Закон сохранения заряда (электрический заряд, барионный заряд, странность, очарование и т. д.): <math>Q=\int d^3\mathbf{x}J^0</math>. Для вещественных полей равен нулю.

Основные характеристики базовых полей

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Полевая функция	<math>\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)+i\phi_2(x))</math> — в общем случае комплексная функция. <math>\phi^*(x)</math> — комплексно-сопряженная функция. Если <math>\phi^*(x)=\phi(x)</math> (то есть <math>\phi_2(x)=0</math>), то имеем вещественное скалярное поле <math>\phi_1(x)</math> (переобозначив её просто как <math>\phi(x)</math>)	<math>A^{\mu}(x)</math> — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства <math>A^*_{\mu}=A_{\mu}</math> (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, деленному на <math>\sqrt{2}</math>)	<math>\psi(x)</math>-четырехкомпонентная функция (биспинор)-столбец, <math>\bar{\psi}=\psi^*\gamma^0</math> — дираковски сопряженная четырёхкомпонентная функция-строка, <math>\gamma^{\mu}</math> — матрицы Дирака
Характер описываемых частиц	Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.	Частицы со спином 1 (проекции <math>0, \pm 1</math>), заряженные или нейтральные	Заряженные частицы со спином 1/2 (<math>\pm 1/2</math>)
Лагранжиан <math>(\mathcal{L})</math>	<math>\partial_{\mu}\phi^*\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^*\phi=\mathcal{L}(\phi_1)+\mathcal{L}(\phi_2)</math>, где <math>\mathcal{L}(\phi)=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^2)</math> — лагранжиан для вещественного поля <math>\phi</math>	<math>-\frac{1}{2}F^*_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+m^2A^*_{\mu}A^{\mu}</math>, где <math>F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}</math> Для вещественного поля <math>-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2A_{\mu}A^{\mu}</math>	<math>\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi</math>
Уравнения движения Эйлера-Лагранжа	<math>(\partial_{\mu}\partial^{\mu}+m^2)\phi=0</math> (уравнение Клейна-Гордона — верно и для сопряженной функции)	<math>-(\partial_{\nu}\partial^{\nu}+m^2)A^{\mu}+\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0</math> (Уравнение Прока) Дифференцирование по <math>x^{\mu}</math> приводит (если <math>m \ne 0</math>) к <math>\partial_{\nu}A^{\nu}=0</math>. С этим условием (Лоренца) <math>(\partial_{\nu}\partial^{\nu}+m^2)A^{\mu}=0</math>	<math>(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0</math> — уравнение Дирака
Тензор энергии-импульса <math>(T^{\mu\nu})</math>, гамильтониан <math>(\mathcal{H}=T^{00})</math>, 4-импульс <math>(P^{\nu}) </math>	<math>\partial^{\mu}\phi^*\partial^{\nu}\phi-g^{\mu \nu}\mathcal{L}</math>, <math>\mathcal{H}=\pi^*\pi+\nabla \phi^*\nabla\phi+m^2 \phi^*\phi</math>, где <math>\pi=\dot{\phi}</math>, для вещественного поля — <math>\frac {1} {2}(\pi^2+(\nabla \phi)^2+m^2 \phi^2)</math>	<math>F^{\mu\sigma}_*\partial^{\nu}A_{\sigma}+\partial^{\nu}A^*_{\sigma}F^{\mu\sigma}-g^{\mu \nu}\mathcal{L}</math>	<math>\frac {i}{2}(\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\partial^{\nu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi)</math>, <math>\mathcal{H}=\frac {i}{2}(\psi^*\dot{\psi}-\dot{\psi}^*\psi)</math>
4-вектор тока <math>(J^{\mu})</math> и зяряд <math>(Q)</math>	<math>J^{\mu}=i(\phi^*\partial^{\mu} \phi- \phi\partial^{\mu} \phi^*)</math>, <math>Q=\int d^3\mathbf{x} (\phi^*\dot{\phi}-\phi\dot{\phi}^*)</math> для вещественного поля равны нулю	<math>i(A^*_{\nu}F^{\mu\nu}-F^{\mu\nu}_*A_{\nu})</math>	<math>J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi</math>, <math>Q=\int d^3\mathbf{x} (\psi^*\psi)</math>
Спин-тензор <math>(S^{\tau(\mu\nu)})</math>	0	<math>A^{\mu}_*F^{\nu\tau}-F^{\mu\tau}_*A^{\nu}+F^{\nu\tau}_*A^{\mu}-A^{\nu}_*F^{\mu\tau}</math>	<math>\frac {1}{4}\bar{\psi}(\gamma^{\tau}\sigma^{\mu\nu}+\sigma^{\mu\nu}\gamma^{\tau})\psi</math>, где <math>\sigma^{\mu\nu}=\frac {1}{2i}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]</math>

Локальные симметрии и калибровочные поля

Локальные преобразования можно определить как умножение полевой функции на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы <math>U(1)</math> — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на <math>e^{i\alpha(x)}</math>. Как отмечалось выше все комплексные поля симметричны относительно аналогичных глобальных преобразований. Однако, они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле <math>A_{\mu}</math> и заменить производную в лагранжиане на т. н. калибровочно-ковариантную производную

<math>D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu}</math>

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований. Однако, полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного <math>A_{\mu}</math>. По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного безмассового векторного поля <math>-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>. В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД):

<math>\mathcal{L}_{QED}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m)\psi-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi+e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi-\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>

То есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД.

<math>\mathcal{L}_{SQED}=(D_{\mu}\phi)^*D^{\mu}\phi -\frac {1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>

Таким образом, требование локальной калибровочной инвариантности лагранжиана относительно фазового преобразования (группа <math>U(1)</math>) приводит к появлению калибровочного поля, в данном случае — электромагнитного поля, с которым взаимодействует «основное» поле.

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид:

<math>D_{\mu}=I\partial_{\mu}-igT^aA^a_{\mu}</math>,

где <math>T^a</math> — генераторы преобразований соответствующей группы (в случае с U(1) был один генератор, равный единице).

С помощью такой ковариантной производной построен, например, лагранжиан квантовой хромодинамики (КХД), соответствующий группе <math>SU(3)</math>:

<math>\mathcal{L}_\mathrm{QCD} = \bar{q} \left( i\gamma^\mu D_\mu - m I\right) q - \frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{\mu \nu}_a</math>, где <math>G^a_{\mu \nu} = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + g f^{a}_{bc} A^b_\mu A^c_\nu \,,</math>,

где <math>f^{a}_{bc}</math> — структурные константы группы, участвующие в коммутаторе генераторов (матриц Гелл-Манна): <math>[T^a,T^b]=if^{ab}_cT^c</math>

Импульсное представление

Для решения уравнений движения можно перейти к так называемому импульсному представлению с помощью преобразования Фурье:

<math>\psi(x)=\frac {1}{(2\pi)^2}\int d^4p f(p)e^{ipx}</math>,

с учетом свойств Фурье-образа <math>f(p)</math>, в частности Фурье-образ производных <math>\partial_{\mu} \psi(x)</math> равен <math>ip_{\mu}f(p)</math>.

Нахождение решения уравнений движения можно показать на примере уравнения Клейна-Гордона.

Решение уравнения и импульсное представление поля Клейна-Гордона  

Переходя к импульсному представлению уравнение Клейна-Гордона для Фурье-образа полевой функции будет иметь вид:

<math>(p^2-m^2)f(p)=0</math>

Следовательно, <math>f(p)=\sqrt{2\pi}\delta(p^2-m^2)\tilde{f}(p)</math> (множитель <math>\sqrt{2\pi}</math> - для удобства), где <math>\tilde{f}(p)</math>- произвольная функция <math>p</math>, определенная на "массовой поверхности" <math>p^2-m^2=0</math> или выделяя временную компоненту <math>p_0=\pm \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}</math> (жирным выделена пространственная часть 4-вектора импульса, то есть обычный импульс). Тогда импульсное представление имеет вид:

<math>\phi(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2

\int d^4p \delta(p^2-m^2)e^{ipx}\tilde{f}(p)</math>

Наличие дельта-функции под знаком интеграла означает, что по существу интегрирование осуществляется не по всему 4-мерному импульсному пространству, а лишь по двум полам трехмерного гиперболоида, определяемого уравнением массовой поверхности. Два знака перед квадратным корнем определяют два независимых решения с помощью которых полевая функция разделяется на две компоненты (каждая в отдельности релятивистки инвариантна)

<math>\phi(x)=\phi^+(x)+\phi^-(x)</math>

Тогда импульсное представление двух независимых решений имеет вид

<math>\phi{\pm}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^4p \delta(p^2-m^2)\tilde{f}^{\pm}(p)e^{\pm ipx}</math>

Интегрируя по временной компоненте <math>p_0</math> получим

<math>\phi^{\pm}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac {d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}} e^{\pm ipx}a^{\pm}(\mathbf{p})</math>, где <math>a^{\pm}=\tilde{f}^{\pm}/\sqrt{2p_0}</math>

 |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
 title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
 content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
 hidden=1

}}

Используя импульсное представление полевых функций можно получить и остальные характеристики поля в импульсном представлении. Покажем это на примере 4-импульса для того же вещественного скалярного поля Клейна-Гордона.

Вывод импульсного представления для 4-импульса поля Клейна-Гордона  

Для получения импульсного представления характеристик поля нужно выразить эти характеристики поля через функции <math>\phi^{\pm}(x)</math>, а затем использовать импульсные предаставления последних функций. Например? гамильтониан поля равен <math>H=\int d^3\mathbf{x}\mathcal{H}=1/2\int d^3\mathbf{x}[(\partial_{\nu}\phi(x))^2+m^2\phi^2(x)]</math>. Если подставить сюда разложение полевой функции на два слагаемых, то получим в квадратных скобках различные попарные произведения положительно и отрицательно частотных полевых функций и их производных. Однако, можно показать, что произведения с одинаковым знаком на самом деле дают нулевой вклад. Для этого нужно использовать импульсное представление и тот факт, что произведение двух интегралов есть двойной интеграл по всевозможным компинациям аргументов:

<math>\int d^3\mathbf{x}[(\partial_{\nu}\phi^{\pm}(x))^2+m^2(\phi^{\pm}(x))^2]=\frac{1}{(2 \pi)^3} \int \int \frac {d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'

{2\sqrt{p_0 p'_0}} a^{\pm}(\mathbf{p})a^{\pm}(\mathbf{p'})e^{\pm i(p_0+p'_0)x_0}(m^2-p_{\nu}p'_{\nu}) \int d^3\mathbf{x} e^{\mp i(\mathbf{p}+\mathbf{p'})}</math>

Последний интеграл в этом выражении равен, как известно, дельта-функции <math>\delta(\mathbf{p}+\mathbf{p'})</math>, следовательно все выражение может быть не равно нулю только если эта дельта-функция не равна нулю, что возможно только при условии <math>\mathbf{p'}=-\mathbf{p}</math> (откуда следует также <math>p_0=p'_0</math>). Но в таком случае выражение в скобках <math>m^2-p_{\nu}p'_{\nu}=m^2-(p^2_0+\mathbf{p}_n\mathbf{p'}_n)=m^2-p^2_0+\mathbf{p}^2</math>, что равно нулю. Следовательно все первоначальное выражение также равно нулю. Таким образом исходный интеграл для гамильтониана должен выражатся только через произведения разнознаковых функций. Применяя аналогичный подход мы получим, что

<math>\int d^3\mathbf{x} [\partial_{\nu}\phi^+(x)\partial_{\nu}\phi^-(x)+m^2\phi^+(x)\phi^-(x)]=\frac{1}{(2 \pi)^3} \int \int \frac {d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0 p'_0}} a^{+}(\mathbf{p})a^{-}(\mathbf{p'})e^{ i(p_0-p'_0)x_0}(m^2+p_{\nu}p'_{\nu}) \int d^3\mathbf{x} e^{- i(\mathbf{p}-\mathbf{p'})}</math>

В таком случае последний интеграл дает дельта-функцию <math>\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'})</math>, следовательно должно быть равенство <math>\mathbf{p}=\mathbf{p'}</math>, чтобы обеспечить ненулевой вклад в интеграл. Тогда <math>m^2+p_{\nu}p'_{\nu}= m^2+p^2_0+\mathbf{p}^2=2p^2_0</math>. Отсюда окончательно получаем

<math>\int d^3\mathbf{x} [\partial_{\nu}\phi^+(x)\partial_{\nu}\phi^-(x)+m^2\phi^+(x)\phi^-(x)]=\frac{1}{(2 \pi)^3} \int d^3\mathbf{p}p_0 a^{+}(\mathbf{p})a^{-}(\mathbf{p})</math>

Аналогично гамильтониану можно получить аналогичное выражение и для других компонент 4-вектора импульса. В итоге получаем общее выражение для 4-импульса:

<math>P^{\mu}=\frac{1}{2}\int d^3\mathbf{p}p^{\mu}(a^+(\mathbf{p})a^-(\mathbf{p})+a^-(\mathbf{p})a^+(\mathbf{p}))=\int d^3\mathbf{p}p^{\mu}a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})</math>

Первое выражение оказывается нужным при квантовании - когда порядок перемножения играет роль в силу некоммутативности операторов в общем случае.

 |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
 title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
 content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
 hidden=1

}}

Характеристика	Скалярное поле	Векторное поле	Спинорное поле
Импульсное представление полевой функции: <math>f(\mathbf{p})</math> в выражении <math>\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int \frac {d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2p_0}} f(\mathbf{p})</math>. <math>a</math> отвечает за частицу, <math>b</math> — за античастицу.	<math>e^{-ipx}a(\mathbf{p})+e^{ipx}b^+(\mathbf{p})</math>, для вещественного поля <math>b=a</math>.	<math> \sum^3_{n=1}e^n_{\mu}(\mathbf{p})(e^{-ipx}a_n(\mathbf{p})+e^{ipx}b_n^+(\mathbf{p}))</math>	<math>\sum^2_{r=1}(e^{-ipx}a_r(\mathbf{p})u_r(\mathbf{p})+e^{ipx}b_r^+(\mathbf{p})v_r(\mathbf{p})</math>
Плотность <math>n(\mathbf{p})</math> частиц с импульсом <math>\mathbf{p}</math>. Общее число частиц <math>N=\int d^3\mathbf{p}n(\mathbf{p})</math>. 4-импульс поля <math>P^{\nu}=\int d^3\mathbf{p}p^{\nu}n(\mathbf{p})</math>	<math>(a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})+b^+(\mathbf{p})b(\mathbf{p}))</math>	<math> \sum^3_{n=1}(a^+_n(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p})+b_n^+(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))</math>	<math> \sum^2_{r=1}(a^+_r(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})-b_r^+(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))</math>
Заряд <math>(Q)</math>	<math>(a^+(\mathbf{p})a(\mathbf{p})-b^+(\mathbf{p})b(\mathbf{p}))</math>, для вещественного поля равен нулю	<math>\sum^3_{n=1}(a^+_n(\mathbf{p})a_n(\mathbf{p})-b_n^+(\mathbf{p})b_n(\mathbf{p}))</math>	<math> \sum^2_{r=1}(a^+_r(\mathbf{p})a_r(\mathbf{p})-b_r^+(\mathbf{p})b_r(\mathbf{p}))</math>
Проекция спина на направление импульса	0	<math>b^+_1a_1-b_1a^+_1+b_2a^+_2-b^+_2a_2</math>, индексы 1 и 2 отвечают частицам с проекциями спина <math>\pm 1</math>, а третий индекс — частицам с нулевой проекцией спина

Квантование полей

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учетом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

<math>[\psi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=[\pi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{x'},t)]=0</math>, <math>[\pi(\mathbf{x},t),\psi(\mathbf{x'},t)]=-i\delta^{(3)}(\mathbf{x-x'})</math>

Это так называемые коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

<math>[A,B]=AB-BA</math>

Коммутационные соотношения Ферми-Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

<math>[A,B]_+=AB+BA</math>

Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщенной координаты) и соответствующего обобщенного импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

<math>[a_{\mathbf{p}},a^+_{\mathbf{p'}}]=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'}), [a_{\mathbf{p}},a_{\mathbf{p'}}]=[a^+_{\mathbf{p}},a^+_{\mathbf{p'}}]=0</math>

Поле как набор гармонических осцилляторов

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна-Гордона. Трехмерный (по трем пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна-Гордона)

<math>\partial^2_t\phi(\mathbf{p},t)+(\mathbf{p}^2+m^2)\phi(\mathbf{p},t)=0</math>

что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой <math>\omega=\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}</math> каждой фиксированной моды <math>\mathbf{p}</math> Фурье-разложения. Для каждого такого квантового гармонического осциллятора, как известно из квантовой механики, стационарные состояния <math>\phi_n</math> можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом

<math>{\hat{a}}^+{\phi}_n={\sqrt{n+1}}{\phi}_{n+1}</math>, <math>{\hat{a}}{\phi}_n={\sqrt{n}}{\phi}_{n-1}</math>

а гамильтониан равен <math>H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}</math>, где <math>\hat{n}={a}^+a</math>. Соответственно энергия осциллятора квантуется <math>E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2)</math>, где <math>n</math>- квантовое число-собственные значения оператора <math>\hat{n}={a}^+a</math>.

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число <math>n</math> на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией <math>{\hbar} {\omega}</math>. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения. Любое состояние с индексом <math>n</math> может быть представлено как действие <math>n</math> операторов рождения на «нулевое» состояние:

<math>{\phi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\phi_0</math>

В случае <math>N</math> осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения <math>\hat{a}^+_k, k=1,...,N</math>. Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения <math>n_k</math> — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

<math>\phi(n_1,...,n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\phi_0</math>

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания вектора состояния как функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Фоковское пространство. Вакуум. Фоковское представление

В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция <math>\psi</math> и <math>\pi</math> в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы (в том числе и гамильтониан) выражаются через эти операторы рождения и уничтожения также как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действую в бесконечномерном пространстве Фока. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) <math>\Phi_0</math> или <math>|0\rangle</math>, по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как

<math>a(\mathbf{p})|0\rangle=\langle0|a^+(\mathbf{p})=0, \langle0|0\rangle=1</math>

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

<math>|f\rangle=\int d^3\mathbf{p_1}d^3\mathbf{p_2}...d^3\mathbf{p_k}f(\mathbf{p_1},\mathbf{p_2},...,\mathbf{p_k})a^+(\mathbf{p_1})a^+(\mathbf{p_2})...a^+(\mathbf{p_k})|0\rangle</math>,

Это и есть фоковское представление для k-частичного состояния. Функции f являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. Однако, состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например, состояние <math>a^+(\mathbf{p})|0\rangle</math> имеет бесконечную норму <math>(\delta(0))</math>, однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определенным импульсом и если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной

Нормальное и хронологическое произведение. Теорема Вика

Из определения вакуума следует, что вакуумное среднее произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно нулю. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется нормальной формой или нормальным упорядочением. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены соответствующие произведения заключаются в скобки из двоеточий, например, <math>:\phi(x)\phi(y):</math> или можно указать под знаком некоторого условного оператора <math>\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}</math>

Нормальная форма, очевидно, связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

<math>\phi(x)\phi(y)= \phi^+(x)\phi^+(y)+\phi^+(x)\phi^-(y)+\phi^-(x)\phi^+(y)+\phi^-(x)\phi^-(y)</math>

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

<math>\phi(x)\phi(y)=(\phi^+(x)\phi^+(y)+\phi^+(x)\phi^-(y)+\phi^+(y)\phi^-(x)+\phi^-(x)\phi^-(y))+(\phi^-(x)\phi^+(y)-\phi^+(y)\phi^-(x))=\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}+[\phi^-(x),\phi^+(y)]</math>

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определятся только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

<math>Tf_1(x_1)f_2(x_2)...f_n(x_n)=(-1)^{\sigma}f_{i_1}(x_{i_1})f_{i_2}(x_{i_2})...f_{i_n}(x_{i_n})</math>, где <math>x^0_{i_1}>x^0_{i_1}>...>x^0_{i_n}</math>

где <math>{\sigma}</math> — число перестановок фермионных полей между собой в ходе T-упорядочения (перестановка бозонных полей не влияет на знак).

Рассмотрим простейший случай произведения пары полевых функций в разных пространственно-временных точках <math>\phi(x)\phi(y)</math>. Как было указано выше данное произведение операторов можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую свертку <math>\overline{\phi(x)\phi(y)}</math>, равную коммутатору <math>[\phi^-(x),\phi^+(y)]</math>, если <math>x^0>y^0</math> и коммутатору <math>[\phi^-(y),\phi^+(x)]</math> если <math>y^0>x^0</math>. Таким образом, хронологическое произведение двух полевых функций равно их произведению в нормальной форме плюс свертка:

<math>\mathcal{T}\{\phi(x)\phi(y)\}=\mathcal{N}\{\phi(x)\phi(y)\}+\overline{\phi(x)\phi(y)}</math>

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

<math>\mathcal{T}\{f_1f_2...f_n)\}=\sum (-1)^{\sigma}\overline{ f_{i_1} f_{i_2} }...\overline{f_{i_{k-1}} f_{i_k}} \mathcal{N}\{ f_{i_{k+1}}...f_{i_n} \}</math>.

где сумма берется по всем возможным попарным сверткам функций (<math>k</math> — четные числа от 0 до <math>n</math>).

Основные коммутационные соотношения

Определим явное выражение для вакуумного среднего от произведения полевых операторов скалярного поля Клейна-Гордона с учетом сказанного выше

<math>\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle=\langle0|[\phi^-(x)\phi^+(y)]|0\rangle=[\phi^-(x)\phi^+(y)]=\frac {1}{(2\pi)^3}\int\int \frac{d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0p'_0}}e^{-ip(x-y)}[a(\mathbf{p})a^+(\mathbf{p})]=</math>
<math>=\frac {1}{(2\pi)^3}\int\int \frac{d^3\mathbf{p}d^3\mathbf{p'}}{2\sqrt{p_0p'_0}}e^{-ip(x-y)}\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p'})=\frac {1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}e^{-ip(x-y)}</math>

Обозначим эту функцию как <math>D^-(x-y)</math>. Это амплитуда распространения частицы из точки <math>y</math> в точку <math>x</math>. Можно показать, что эта функция лоренц-инвариантна. Очевидно коммутатор полевых функций выражается через эту функцию следующим образом:

<math>[\phi(x )\phi(y)]=D^-(x-y)-D^-(y-x)=D(x-y)=\frac {1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf{p}}{2p_0}(e^{-ip(x-y)}-e^{-ip(y-x)})</math>

Для любого пространственноподобного интервала <math>(x-y)^2<0</math> можно выбрать систему отчета так, чтобы <math>x-y</math> сменил знак, а в силу лоренц-инвариантности это значает, что соответствующий коммутатор равен нулю. Это означает, что в точках, разделенных пространственноподобным интервалом возможны измерения и они не влияют друг на друга. То есть никакое измерение не может повлиять на другое измерение вне светового конуса. Это означает соблюдение принципа причинности в квантовой теории поля. Для комплексных полей принцип причинности требует наличия пары частица-античастица с одинаковыми массами и противоположными «зарядами».

Коммутаторы полевых операторов с операторами рождения и уничтожения вывести легче. Приведем без вывода эти коммутационные соотношения.

Для скалярного поля <math>[a^{\pm}(\mathbf{p}),\phi(x)]=\pm \frac {e^{\pm ipx}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2p_0}}</math>

Для спинорного поля <math>[a_r(\mathbf{p}),\bar{\psi}(x)]= \frac {e^{ipx}\bar{u}_r(\mathbf{p})}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2p_0}}</math>

Для электромагнитного поля <math>[a_{\lambda}(\mathbf{p}),A_{\mu}(x)]= -\frac {e^{ipx}e^{\lambda}_{\mu}(\mathbf{p})}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2p_0}}</math>

Пропагаторы

Рассмотрим вакуумное среднее от хронологического произведения двух полевых операторов скалярного поля:

<math>D^c(x-y)=i\langle0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle=i(\theta(x_0-y_0)D^-(x-y)+\theta(y_0-x_0)D^-(y-x))=\frac {i}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{2p_0}(\theta(x_0-y_0)e^{-ip(x-y)}+\theta(y_0-x_0)e^{-ip(y-x)})</math>

Очевидно, функция <math>D^c(x)</math> является четной. Непосредственно можно убедиться, что данная функция является функцией Грина для оператора Клейна-Гордона, то есть

<math>(\partial^2+m^2)D^c(x)=\delta(x)</math>

Следовательно 4-мерный фурье-образ этой функции должен быть пропорционален <math>(m^2-p^2)^{-1}</math>. Однако, в силу неопределенности в точках на массовой поверхности <math>m^2-p^2=0</math> импульсное представление данной функции записывают следующим образом:

<math>D^c(x)=\frac {1}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ipx}}{m^2-p^2-i\epsilon}</math>

где <math>\epsilon</math> — бесконечно малая величина, которая задает обходы полюсов <math>p_0=\pm \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2}</math> при интегрировании по <math>p_0</math>.

Пропагаторы базовых полей (ненулевыми являются только свертки одинаковых полей противоположных зарядов)

Поле	Величина	Формула
Вещественное или комплексное скалярное поле	<math>\langle0|T\phi(x)\phi^*(y)|0\rangle</math>	<math>-iD^c(x-y)=\frac {i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}</math>
Спинорное поле	<math>\langle0|T\psi(x)\bar{\psi}(y)|0\rangle</math>	<math>(\hat{\partial}_x-im)D^c(x-y)=\frac {i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}(\hat{p}+m)}{p^2-m^2+i\epsilon}</math>
Массивное векторное поле	<math>\langle0|TU_{\mu}(x)U_{\nu}^*(y)|0\rangle</math>	<math>\frac {-i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}(g_{\mu\nu}-p_{\mu}p_{\nu}/m^2)}{p^2-m^2+i\epsilon}</math>
Вещественное безмассовое векторное (электромагнитное) поле	<math>\langle0|TA_{\mu}(x)A_{\nu}(y)|0\rangle</math>	<math>\frac {-i}{(2\pi)^4}\int \frac {d^4pe^{-ip(x-y)}g_{\mu\nu}}{p^2+i\epsilon}</math>

S-матрица

Пусть задано начальное состояние полей <math>|in\rangle</math> в «далеком» прошлом и конечное состояние в «далеком» будущем <math>|out\rangle</math>. Предполагается, что в «далеком» прошлом и будущем взаимодействие отсутствует, а «включается» оно в некоторой конечной пространственно-временной области. Оператор <math>S</math>, переводящий начальное состояние в конечное называется оператором рассеяния:

<math>|out\rangle=S|in\rangle</math>

Соответственно, амплитуда <math>\mathcal{M}</math> перехода из начального состояния в конечное состояние равна:

<math>\mathcal{M}=\langle out|S|in \rangle</math>

Оператор рассеяния можно выразить через матричные элементы в некотором базисе. Соответствующая бесконечномерная матрица называется матрицей рассеяния или <math>S</math>-матрицей. Квадраты модулей матричных элементов определяют вероятности переходов между базисными векторами начального и конечного состояний.

Исходя из общих требований релятивистской ковариантности, причинности, унитарности, а также принципа соответствия можно показать, что <math>S</math>-матрица (оператор) выражается через лагранжиан взаимодействия следующим образом (эту формулу иногда также получают с помощью теории возмущений):

<math>S=Te^{i\int d^4x \mathcal{L}_I (\phi(x))}=\sum_n \frac {i^n}{n!}T(\int d^4x\mathcal{L}_I(x))^n=\sum_n \frac {i^n}{n!}\int T\prod^n_{j=1}d^4x_j\mathcal{L}_I(x_j)</math>

<math>Te</math> — хронологическая экспонента, <math>T</math>-экспонента, понимаемая как разложение в указанный выше бесконечный ряд по <math>T</math>-произведениям (хронологическим произведениям) <math>T\prod^n_{j=1}</math>.

Пусть начальное состояние имеет вид <math>|in\rangle=a^+(\mathbf{p_1})...a^+(\mathbf{p_s})|0\rangle</math>, а конечное состояние <math>|out\rangle=a^+(\mathbf{p'_1})...a^+(\mathbf{p'_r})|0\rangle</math>. Тогда вклад <math>n</math>-го порядка теории возмущений будет равен вакуумному среднему следующего вида (константа связи <math>g</math> выведена из лагранжиана взаимодействия):

<math>\frac {i^ng^n}{n!}\langle0|a(\mathbf{p'_1})...a(\mathbf{p'_r})\int T\prod^n_{j=1}d^4x_j\mathcal{L}_I(x_j)a^+(\mathbf{p_1})...a^+(\mathbf{p_s})|0\rangle</math>

С учетом теоремы Вика такого рода вакуумные средение будут разложены на слагаемые, в которых за знак вакуумного среденего будут выведены все свертки в этих слагаемых, а оставшиеся полевые операторы в нормальной форме будут участвовать только в (анти)коммутаторах с операторами начального и конечного состояния, порождая стандартные вклады от таких коммутаторов. Ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, в которых количество и тип полей под знаком нормального произведения будет соответствовать типу и общему числу частиц в начальном и конечном состояниях. Эти ненулевые вклады также выводятся за знак вакуумного среднего (ибо они не являются операторами тоже) и в этих слагаемых остаются множители с вакуумными обкладками без операторов <math>\langle0|0\rangle</math>, что равно единице по определению. В конечных выражениях, таким образом не остается операторов и вакуумных обкладок, остаются свертки и выражения для коммутаторов полевых операторов с операторами начальных и конечных состояний. Свертки заменяются их импульсными представлениями — пропагаторами, а интегрирование по пространственно-временным координатам устраняет все экспоненты, заменяя их на дельта-функции от сумм 4-импульсов. Интегралы по импульсам также уничтожают большую чать этих дельта-функций. Какие именно конечные выражения получаются можно формализовать с помощью правил и соответствующих диаграмм Фейнмана.

Аксиоматическая квантовая теория поля

Подход Боголюбова

Подход Уайтмана

Подход Хаага-Рюэля

Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени

Квантовая теория поля может быть обобщена на случай слабоискривлённого пространства-времени. Это позволяет учесть некоторые существенные гравитационные эффекты, хотя и не является последовательной теорией квантовой гравитации. Квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени справедлива в области, где искривление пространства-времени мало по сравнению с планковскими масштабами.

См. также

• Теория всего

Литература

• [www.femto.com.ua/articles/part_1/1562.html Квантовая теория поля] // Физическая энциклопедия (гл. редактор А. М. Прохоров).
• Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие принципы квантовой теории поля. — Москва: Наука, 1987. — 616 с.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. [kolho3.tiera.ru/P_Physics/PQft_Quantum%20field%20theory/PQtb_QFT%20textbooks/Bogolyubov%20N.N.,%20Shirkov%20D.V.%20%20Vvedenie%20v%20teoriju%20kvantovannyh%20polej%20(4e%20izd.,%20Nauka,%201984)(ru)(K)(T)(604s).djvu Введение в теорию квантованных полей]. — М.: Наука, 1984. — 600 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — 296+408 с.
• Вайнберг С. Квантовая теория поля. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1, 2. — 648+528 с.
• Вайнберг С. Квантовая теория полей. — М.: Фазис, 2002. — Т. 3. — 458 с.
• Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.: ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.
• Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. / Ред. пер. А. А. Белавин. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 512 с.
• Фейнман Р. [ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/ked.htm КЭД — странная теория света и вещества]. — М.: Наука, 1988. — 144 с.

Видео лекции по КТП

• [www.inp.nsk.su/students/theor/videolectures/videolectures.html#QED Видео Лекции: Квантовая электродинамика (профессор Фадин В. С., 2013 г.) ]
• [www.inp.nsk.su/students/theor/videolectures/videolectures.html#EWI Видео Лекции: Теория электрослабых взаимодействий (профессор Черняк В. Л., 2013 г.) ]
• [www.inp.nsk.su/students/theor/videolectures/videolectures.html#QCD Видео Лекции: Теория сильных взаимодействий (профессор Фадин В. С., 2014 г.)]
• [www.inp.nsk.su/students/theor/videolectures/videolectures.html#SUSY Видео Лекции: Суперсимметрия в квантовой теории поля. Спецкурс проф. Черняка В. Л. (2013 г.) ]

Отрывок, характеризующий Квантовая теория поля

На заре 16 числа эскадрон Денисова, в котором служил Николай Ростов, и который был в отряде князя Багратиона, двинулся с ночлега в дело, как говорили, и, пройдя около версты позади других колонн, был остановлен на большой дороге. Ростов видел, как мимо его прошли вперед казаки, 1 й и 2 й эскадрон гусар, пехотные батальоны с артиллерией и проехали генералы Багратион и Долгоруков с адъютантами. Весь страх, который он, как и прежде, испытывал перед делом; вся внутренняя борьба, посредством которой он преодолевал этот страх; все его мечтания о том, как он по гусарски отличится в этом деле, – пропали даром. Эскадрон их был оставлен в резерве, и Николай Ростов скучно и тоскливо провел этот день. В 9 м часу утра он услыхал пальбу впереди себя, крики ура, видел привозимых назад раненых (их было немного) и, наконец, видел, как в середине сотни казаков провели целый отряд французских кавалеристов. Очевидно, дело было кончено, и дело было, очевидно небольшое, но счастливое. Проходившие назад солдаты и офицеры рассказывали о блестящей победе, о занятии города Вишау и взятии в плен целого французского эскадрона. День был ясный, солнечный, после сильного ночного заморозка, и веселый блеск осеннего дня совпадал с известием о победе, которое передавали не только рассказы участвовавших в нем, но и радостное выражение лиц солдат, офицеров, генералов и адъютантов, ехавших туда и оттуда мимо Ростова. Тем больнее щемило сердце Николая, напрасно перестрадавшего весь страх, предшествующий сражению, и пробывшего этот веселый день в бездействии.
– Ростов, иди сюда, выпьем с горя! – крикнул Денисов, усевшись на краю дороги перед фляжкой и закуской.
Офицеры собрались кружком, закусывая и разговаривая, около погребца Денисова.
– Вот еще одного ведут! – сказал один из офицеров, указывая на французского пленного драгуна, которого вели пешком два казака.
Один из них вел в поводу взятую у пленного рослую и красивую французскую лошадь.
– Продай лошадь! – крикнул Денисов казаку.
– Изволь, ваше благородие…
Офицеры встали и окружили казаков и пленного француза. Французский драгун был молодой малый, альзасец, говоривший по французски с немецким акцентом. Он задыхался от волнения, лицо его было красно, и, услыхав французский язык, он быстро заговорил с офицерами, обращаясь то к тому, то к другому. Он говорил, что его бы не взяли; что он не виноват в том, что его взяли, а виноват le caporal, который послал его захватить попоны, что он ему говорил, что уже русские там. И ко всякому слову он прибавлял: mais qu'on ne fasse pas de mal a mon petit cheval [Но не обижайте мою лошадку,] и ласкал свою лошадь. Видно было, что он не понимал хорошенько, где он находится. Он то извинялся, что его взяли, то, предполагая перед собою свое начальство, выказывал свою солдатскую исправность и заботливость о службе. Он донес с собой в наш арьергард во всей свежести атмосферу французского войска, которое так чуждо было для нас.
Казаки отдали лошадь за два червонца, и Ростов, теперь, получив деньги, самый богатый из офицеров, купил ее.
– Mais qu'on ne fasse pas de mal a mon petit cheval, – добродушно сказал альзасец Ростову, когда лошадь передана была гусару.
Ростов, улыбаясь, успокоил драгуна и дал ему денег.
– Алё! Алё! – сказал казак, трогая за руку пленного, чтобы он шел дальше.
– Государь! Государь! – вдруг послышалось между гусарами.
Всё побежало, заторопилось, и Ростов увидал сзади по дороге несколько подъезжающих всадников с белыми султанами на шляпах. В одну минуту все были на местах и ждали. Ростов не помнил и не чувствовал, как он добежал до своего места и сел на лошадь. Мгновенно прошло его сожаление о неучастии в деле, его будничное расположение духа в кругу приглядевшихся лиц, мгновенно исчезла всякая мысль о себе: он весь поглощен был чувством счастия, происходящего от близости государя. Он чувствовал себя одною этою близостью вознагражденным за потерю нынешнего дня. Он был счастлив, как любовник, дождавшийся ожидаемого свидания. Не смея оглядываться во фронте и не оглядываясь, он чувствовал восторженным чутьем его приближение. И он чувствовал это не по одному звуку копыт лошадей приближавшейся кавалькады, но он чувствовал это потому, что, по мере приближения, всё светлее, радостнее и значительнее и праздничнее делалось вокруг него. Всё ближе и ближе подвигалось это солнце для Ростова, распространяя вокруг себя лучи кроткого и величественного света, и вот он уже чувствует себя захваченным этими лучами, он слышит его голос – этот ласковый, спокойный, величественный и вместе с тем столь простой голос. Как и должно было быть по чувству Ростова, наступила мертвая тишина, и в этой тишине раздались звуки голоса государя.
– Les huzards de Pavlograd? [Павлоградские гусары?] – вопросительно сказал он.
– La reserve, sire! [Резерв, ваше величество!] – отвечал чей то другой голос, столь человеческий после того нечеловеческого голоса, который сказал: Les huzards de Pavlograd?
Государь поровнялся с Ростовым и остановился. Лицо Александра было еще прекраснее, чем на смотру три дня тому назад. Оно сияло такою веселостью и молодостью, такою невинною молодостью, что напоминало ребяческую четырнадцатилетнюю резвость, и вместе с тем это было всё таки лицо величественного императора. Случайно оглядывая эскадрон, глаза государя встретились с глазами Ростова и не более как на две секунды остановились на них. Понял ли государь, что делалось в душе Ростова (Ростову казалось, что он всё понял), но он посмотрел секунды две своими голубыми глазами в лицо Ростова. (Мягко и кротко лился из них свет.) Потом вдруг он приподнял брови, резким движением ударил левой ногой лошадь и галопом поехал вперед.
Молодой император не мог воздержаться от желания присутствовать при сражении и, несмотря на все представления придворных, в 12 часов, отделившись от 3 й колонны, при которой он следовал, поскакал к авангарду. Еще не доезжая до гусар, несколько адъютантов встретили его с известием о счастливом исходе дела.
Сражение, состоявшее только в том, что захвачен эскадрон французов, было представлено как блестящая победа над французами, и потому государь и вся армия, особенно после того, как не разошелся еще пороховой дым на поле сражения, верили, что французы побеждены и отступают против своей воли. Несколько минут после того, как проехал государь, дивизион павлоградцев потребовали вперед. В самом Вишау, маленьком немецком городке, Ростов еще раз увидал государя. На площади города, на которой была до приезда государя довольно сильная перестрелка, лежало несколько человек убитых и раненых, которых не успели подобрать. Государь, окруженный свитою военных и невоенных, был на рыжей, уже другой, чем на смотру, энглизированной кобыле и, склонившись на бок, грациозным жестом держа золотой лорнет у глаза, смотрел в него на лежащего ничком, без кивера, с окровавленною головою солдата. Солдат раненый был так нечист, груб и гадок, что Ростова оскорбила близость его к государю. Ростов видел, как содрогнулись, как бы от пробежавшего мороза, сутуловатые плечи государя, как левая нога его судорожно стала бить шпорой бок лошади, и как приученная лошадь равнодушно оглядывалась и не трогалась с места. Слезший с лошади адъютант взял под руки солдата и стал класть на появившиеся носилки. Солдат застонал.
– Тише, тише, разве нельзя тише? – видимо, более страдая, чем умирающий солдат, проговорил государь и отъехал прочь.
Ростов видел слезы, наполнившие глаза государя, и слышал, как он, отъезжая, по французски сказал Чарторижскому:
– Какая ужасная вещь война, какая ужасная вещь! Quelle terrible chose que la guerre!
Войска авангарда расположились впереди Вишау, в виду цепи неприятельской, уступавшей нам место при малейшей перестрелке в продолжение всего дня. Авангарду объявлена была благодарность государя, обещаны награды, и людям роздана двойная порция водки. Еще веселее, чем в прошлую ночь, трещали бивачные костры и раздавались солдатские песни.
Денисов в эту ночь праздновал производство свое в майоры, и Ростов, уже довольно выпивший в конце пирушки, предложил тост за здоровье государя, но «не государя императора, как говорят на официальных обедах, – сказал он, – а за здоровье государя, доброго, обворожительного и великого человека; пьем за его здоровье и за верную победу над французами!»
– Коли мы прежде дрались, – сказал он, – и не давали спуску французам, как под Шенграбеном, что же теперь будет, когда он впереди? Мы все умрем, с наслаждением умрем за него. Так, господа? Может быть, я не так говорю, я много выпил; да я так чувствую, и вы тоже. За здоровье Александра первого! Урра!
– Урра! – зазвучали воодушевленные голоса офицеров.
И старый ротмистр Кирстен кричал воодушевленно и не менее искренно, чем двадцатилетний Ростов.
Когда офицеры выпили и разбили свои стаканы, Кирстен налил другие и, в одной рубашке и рейтузах, с стаканом в руке подошел к солдатским кострам и в величественной позе взмахнув кверху рукой, с своими длинными седыми усами и белой грудью, видневшейся из за распахнувшейся рубашки, остановился в свете костра.
– Ребята, за здоровье государя императора, за победу над врагами, урра! – крикнул он своим молодецким, старческим, гусарским баритоном.
Гусары столпились и дружно отвечали громким криком.
Поздно ночью, когда все разошлись, Денисов потрепал своей коротенькой рукой по плечу своего любимца Ростова.
– Вот на походе не в кого влюбиться, так он в ца'я влюбился, – сказал он.
– Денисов, ты этим не шути, – крикнул Ростов, – это такое высокое, такое прекрасное чувство, такое…
– Ве'ю, ве'ю, д'ужок, и 'азделяю и одоб'яю…
– Нет, не понимаешь!
И Ростов встал и пошел бродить между костров, мечтая о том, какое было бы счастие умереть, не спасая жизнь (об этом он и не смел мечтать), а просто умереть в глазах государя. Он действительно был влюблен и в царя, и в славу русского оружия, и в надежду будущего торжества. И не он один испытывал это чувство в те памятные дни, предшествующие Аустерлицкому сражению: девять десятых людей русской армии в то время были влюблены, хотя и менее восторженно, в своего царя и в славу русского оружия.


На следующий день государь остановился в Вишау. Лейб медик Вилье несколько раз был призываем к нему. В главной квартире и в ближайших войсках распространилось известие, что государь был нездоров. Он ничего не ел и дурно спал эту ночь, как говорили приближенные. Причина этого нездоровья заключалась в сильном впечатлении, произведенном на чувствительную душу государя видом раненых и убитых.
На заре 17 го числа в Вишау был препровожден с аванпостов французский офицер, приехавший под парламентерским флагом, требуя свидания с русским императором. Офицер этот был Савари. Государь только что заснул, и потому Савари должен был дожидаться. В полдень он был допущен к государю и через час поехал вместе с князем Долгоруковым на аванпосты французской армии.
Как слышно было, цель присылки Савари состояла в предложении свидания императора Александра с Наполеоном. В личном свидании, к радости и гордости всей армии, было отказано, и вместо государя князь Долгоруков, победитель при Вишау, был отправлен вместе с Савари для переговоров с Наполеоном, ежели переговоры эти, против чаяния, имели целью действительное желание мира.
Ввечеру вернулся Долгоруков, прошел прямо к государю и долго пробыл у него наедине.
18 и 19 ноября войска прошли еще два перехода вперед, и неприятельские аванпосты после коротких перестрелок отступали. В высших сферах армии с полдня 19 го числа началось сильное хлопотливо возбужденное движение, продолжавшееся до утра следующего дня, 20 го ноября, в который дано было столь памятное Аустерлицкое сражение.
До полудня 19 числа движение, оживленные разговоры, беготня, посылки адъютантов ограничивались одной главной квартирой императоров; после полудня того же дня движение передалось в главную квартиру Кутузова и в штабы колонных начальников. Вечером через адъютантов разнеслось это движение по всем концам и частям армии, и в ночь с 19 на 20 поднялась с ночлегов, загудела говором и заколыхалась и тронулась громадным девятиверстным холстом 80 титысячная масса союзного войска.
Сосредоточенное движение, начавшееся поутру в главной квартире императоров и давшее толчок всему дальнейшему движению, было похоже на первое движение серединного колеса больших башенных часов. Медленно двинулось одно колесо, повернулось другое, третье, и всё быстрее и быстрее пошли вертеться колеса, блоки, шестерни, начали играть куранты, выскакивать фигуры, и мерно стали подвигаться стрелки, показывая результат движения.
Как в механизме часов, так и в механизме военного дела, так же неудержимо до последнего результата раз данное движение, и так же безучастно неподвижны, за момент до передачи движения, части механизма, до которых еще не дошло дело. Свистят на осях колеса, цепляясь зубьями, шипят от быстроты вертящиеся блоки, а соседнее колесо так же спокойно и неподвижно, как будто оно сотни лет готово простоять этою неподвижностью; но пришел момент – зацепил рычаг, и, покоряясь движению, трещит, поворачиваясь, колесо и сливается в одно действие, результат и цель которого ему непонятны.
Как в часах результат сложного движения бесчисленных различных колес и блоков есть только медленное и уравномеренное движение стрелки, указывающей время, так и результатом всех сложных человеческих движений этих 1000 русских и французов – всех страстей, желаний, раскаяний, унижений, страданий, порывов гордости, страха, восторга этих людей – был только проигрыш Аустерлицкого сражения, так называемого сражения трех императоров, т. е. медленное передвижение всемирно исторической стрелки на циферблате истории человечества.
Князь Андрей был в этот день дежурным и неотлучно при главнокомандующем.
В 6 м часу вечера Кутузов приехал в главную квартиру императоров и, недолго пробыв у государя, пошел к обер гофмаршалу графу Толстому.
Болконский воспользовался этим временем, чтобы зайти к Долгорукову узнать о подробностях дела. Князь Андрей чувствовал, что Кутузов чем то расстроен и недоволен, и что им недовольны в главной квартире, и что все лица императорской главной квартиры имеют с ним тон людей, знающих что то такое, чего другие не знают; и поэтому ему хотелось поговорить с Долгоруковым.
– Ну, здравствуйте, mon cher, – сказал Долгоруков, сидевший с Билибиным за чаем. – Праздник на завтра. Что ваш старик? не в духе?
– Не скажу, чтобы был не в духе, но ему, кажется, хотелось бы, чтоб его выслушали.
– Да его слушали на военном совете и будут слушать, когда он будет говорить дело; но медлить и ждать чего то теперь, когда Бонапарт боится более всего генерального сражения, – невозможно.
– Да вы его видели? – сказал князь Андрей. – Ну, что Бонапарт? Какое впечатление он произвел на вас?
– Да, видел и убедился, что он боится генерального сражения более всего на свете, – повторил Долгоруков, видимо, дорожа этим общим выводом, сделанным им из его свидания с Наполеоном. – Ежели бы он не боялся сражения, для чего бы ему было требовать этого свидания, вести переговоры и, главное, отступать, тогда как отступление так противно всей его методе ведения войны? Поверьте мне: он боится, боится генерального сражения, его час настал. Это я вам говорю.
– Но расскажите, как он, что? – еще спросил князь Андрей.
– Он человек в сером сюртуке, очень желавший, чтобы я ему говорил «ваше величество», но, к огорчению своему, не получивший от меня никакого титула. Вот это какой человек, и больше ничего, – отвечал Долгоруков, оглядываясь с улыбкой на Билибина.
– Несмотря на мое полное уважение к старому Кутузову, – продолжал он, – хороши мы были бы все, ожидая чего то и тем давая ему случай уйти или обмануть нас, тогда как теперь он верно в наших руках. Нет, не надобно забывать Суворова и его правила: не ставить себя в положение атакованного, а атаковать самому. Поверьте, на войне энергия молодых людей часто вернее указывает путь, чем вся опытность старых кунктаторов.
– Но в какой же позиции мы атакуем его? Я был на аванпостах нынче, и нельзя решить, где он именно стоит с главными силами, – сказал князь Андрей.
Ему хотелось высказать Долгорукову свой, составленный им, план атаки.
– Ах, это совершенно всё равно, – быстро заговорил Долгоруков, вставая и раскрывая карту на столе. – Все случаи предвидены: ежели он стоит у Брюнна…
И князь Долгоруков быстро и неясно рассказал план флангового движения Вейротера.
Князь Андрей стал возражать и доказывать свой план, который мог быть одинаково хорош с планом Вейротера, но имел тот недостаток, что план Вейротера уже был одобрен. Как только князь Андрей стал доказывать невыгоды того и выгоды своего, князь Долгоруков перестал его слушать и рассеянно смотрел не на карту, а на лицо князя Андрея.
– Впрочем, у Кутузова будет нынче военный совет: вы там можете всё это высказать, – сказал Долгоруков.
– Я это и сделаю, – сказал князь Андрей, отходя от карты.
– И о чем вы заботитесь, господа? – сказал Билибин, до сих пор с веселой улыбкой слушавший их разговор и теперь, видимо, собираясь пошутить. – Будет ли завтра победа или поражение, слава русского оружия застрахована. Кроме вашего Кутузова, нет ни одного русского начальника колонн. Начальники: Неrr general Wimpfen, le comte de Langeron, le prince de Lichtenstein, le prince de Hohenloe et enfin Prsch… prsch… et ainsi de suite, comme tous les noms polonais. [Вимпфен, граф Ланжерон, князь Лихтенштейн, Гогенлое и еще Пришпршипрш, как все польские имена.]
– Taisez vous, mauvaise langue, [Удержите ваше злоязычие.] – сказал Долгоруков. – Неправда, теперь уже два русских: Милорадович и Дохтуров, и был бы 3 й, граф Аракчеев, но у него нервы слабы.
– Однако Михаил Иларионович, я думаю, вышел, – сказал князь Андрей. – Желаю счастия и успеха, господа, – прибавил он и вышел, пожав руки Долгорукову и Бибилину.
Возвращаясь домой, князь Андрей не мог удержаться, чтобы не спросить молчаливо сидевшего подле него Кутузова, о том, что он думает о завтрашнем сражении?
Кутузов строго посмотрел на своего адъютанта и, помолчав, ответил:
– Я думаю, что сражение будет проиграно, и я так сказал графу Толстому и просил его передать это государю. Что же, ты думаешь, он мне ответил? Eh, mon cher general, je me mele de riz et des et cotelettes, melez vous des affaires de la guerre. [И, любезный генерал! Я занят рисом и котлетами, а вы занимайтесь военными делами.] Да… Вот что мне отвечали!


В 10 м часу вечера Вейротер с своими планами переехал на квартиру Кутузова, где и был назначен военный совет. Все начальники колонн были потребованы к главнокомандующему, и, за исключением князя Багратиона, который отказался приехать, все явились к назначенному часу.
Вейротер, бывший полным распорядителем предполагаемого сражения, представлял своею оживленностью и торопливостью резкую противоположность с недовольным и сонным Кутузовым, неохотно игравшим роль председателя и руководителя военного совета. Вейротер, очевидно, чувствовал себя во главе.движения, которое стало уже неудержимо. Он был, как запряженная лошадь, разбежавшаяся с возом под гору. Он ли вез, или его гнало, он не знал; но он несся во всю возможную быстроту, не имея времени уже обсуждать того, к чему поведет это движение. Вейротер в этот вечер был два раза для личного осмотра в цепи неприятеля и два раза у государей, русского и австрийского, для доклада и объяснений, и в своей канцелярии, где он диктовал немецкую диспозицию. Он, измученный, приехал теперь к Кутузову.
Он, видимо, так был занят, что забывал даже быть почтительным с главнокомандующим: он перебивал его, говорил быстро, неясно, не глядя в лицо собеседника, не отвечая на деланные ему вопросы, был испачкан грязью и имел вид жалкий, измученный, растерянный и вместе с тем самонадеянный и гордый.
Кутузов занимал небольшой дворянский замок около Остралиц. В большой гостиной, сделавшейся кабинетом главнокомандующего, собрались: сам Кутузов, Вейротер и члены военного совета. Они пили чай. Ожидали только князя Багратиона, чтобы приступить к военному совету. В 8 м часу приехал ординарец Багратиона с известием, что князь быть не может. Князь Андрей пришел доложить о том главнокомандующему и, пользуясь прежде данным ему Кутузовым позволением присутствовать при совете, остался в комнате.
– Так как князь Багратион не будет, то мы можем начинать, – сказал Вейротер, поспешно вставая с своего места и приближаясь к столу, на котором была разложена огромная карта окрестностей Брюнна.
Кутузов в расстегнутом мундире, из которого, как бы освободившись, выплыла на воротник его жирная шея, сидел в вольтеровском кресле, положив симметрично пухлые старческие руки на подлокотники, и почти спал. На звук голоса Вейротера он с усилием открыл единственный глаз.
– Да, да, пожалуйста, а то поздно, – проговорил он и, кивнув головой, опустил ее и опять закрыл глаза.
Ежели первое время члены совета думали, что Кутузов притворялся спящим, то звуки, которые он издавал носом во время последующего чтения, доказывали, что в эту минуту для главнокомандующего дело шло о гораздо важнейшем, чем о желании выказать свое презрение к диспозиции или к чему бы то ни было: дело шло для него о неудержимом удовлетворении человеческой потребности – .сна. Он действительно спал. Вейротер с движением человека, слишком занятого для того, чтобы терять хоть одну минуту времени, взглянул на Кутузова и, убедившись, что он спит, взял бумагу и громким однообразным тоном начал читать диспозицию будущего сражения под заглавием, которое он тоже прочел:
«Диспозиция к атаке неприятельской позиции позади Кобельница и Сокольница, 20 ноября 1805 года».
Диспозиция была очень сложная и трудная. В оригинальной диспозиции значилось:
Da der Feind mit seinerien linken Fluegel an die mit Wald bedeckten Berge lehnt und sich mit seinerien rechten Fluegel laengs Kobeinitz und Sokolienitz hinter die dort befindIichen Teiche zieht, wir im Gegentheil mit unserem linken Fluegel seinen rechten sehr debordiren, so ist es vortheilhaft letzteren Fluegel des Feindes zu attakiren, besondere wenn wir die Doerfer Sokolienitz und Kobelienitz im Besitze haben, wodurch wir dem Feind zugleich in die Flanke fallen und ihn auf der Flaeche zwischen Schlapanitz und dem Thuerassa Walde verfolgen koennen, indem wir dem Defileen von Schlapanitz und Bellowitz ausweichen, welche die feindliche Front decken. Zu dieserien Endzwecke ist es noethig… Die erste Kolonne Marieschirt… die zweite Kolonne Marieschirt… die dritte Kolonne Marieschirt… [Так как неприятель опирается левым крылом своим на покрытые лесом горы, а правым крылом тянется вдоль Кобельница и Сокольница позади находящихся там прудов, а мы, напротив, превосходим нашим левым крылом его правое, то выгодно нам атаковать сие последнее неприятельское крыло, особливо если мы займем деревни Сокольниц и Кобельниц, будучи поставлены в возможность нападать на фланг неприятеля и преследовать его в равнине между Шлапаницем и лесом Тюрасским, избегая вместе с тем дефилеи между Шлапаницем и Беловицем, которою прикрыт неприятельский фронт. Для этой цели необходимо… Первая колонна марширует… вторая колонна марширует… третья колонна марширует…] и т. д., читал Вейротер. Генералы, казалось, неохотно слушали трудную диспозицию. Белокурый высокий генерал Буксгевден стоял, прислонившись спиною к стене, и, остановив свои глаза на горевшей свече, казалось, не слушал и даже не хотел, чтобы думали, что он слушает. Прямо против Вейротера, устремив на него свои блестящие открытые глаза, в воинственной позе, оперев руки с вытянутыми наружу локтями на колени, сидел румяный Милорадович с приподнятыми усами и плечами. Он упорно молчал, глядя в лицо Вейротера, и спускал с него глаза только в то время, когда австрийский начальник штаба замолкал. В это время Милорадович значительно оглядывался на других генералов. Но по значению этого значительного взгляда нельзя было понять, был ли он согласен или несогласен, доволен или недоволен диспозицией. Ближе всех к Вейротеру сидел граф Ланжерон и с тонкой улыбкой южного французского лица, не покидавшей его во всё время чтения, глядел на свои тонкие пальцы, быстро перевертывавшие за углы золотую табакерку с портретом. В середине одного из длиннейших периодов он остановил вращательное движение табакерки, поднял голову и с неприятною учтивостью на самых концах тонких губ перебил Вейротера и хотел сказать что то; но австрийский генерал, не прерывая чтения, сердито нахмурился и замахал локтями, как бы говоря: потом, потом вы мне скажете свои мысли, теперь извольте смотреть на карту и слушать. Ланжерон поднял глаза кверху с выражением недоумения, оглянулся на Милорадовича, как бы ища объяснения, но, встретив значительный, ничего не значущий взгляд Милорадовича, грустно опустил глаза и опять принялся вертеть табакерку.
– Une lecon de geographie, [Урок из географии,] – проговорил он как бы про себя, но довольно громко, чтобы его слышали.
Пржебышевский с почтительной, но достойной учтивостью пригнул рукой ухо к Вейротеру, имея вид человека, поглощенного вниманием. Маленький ростом Дохтуров сидел прямо против Вейротера с старательным и скромным видом и, нагнувшись над разложенною картой, добросовестно изучал диспозиции и неизвестную ему местность. Он несколько раз просил Вейротера повторять нехорошо расслышанные им слова и трудные наименования деревень. Вейротер исполнял его желание, и Дохтуров записывал.
Когда чтение, продолжавшееся более часу, было кончено, Ланжерон, опять остановив табакерку и не глядя на Вейротера и ни на кого особенно, начал говорить о том, как трудно было исполнить такую диспозицию, где положение неприятеля предполагается известным, тогда как положение это может быть нам неизвестно, так как неприятель находится в движении. Возражения Ланжерона были основательны, но было очевидно, что цель этих возражений состояла преимущественно в желании дать почувствовать генералу Вейротеру, столь самоуверенно, как школьникам ученикам, читавшему свою диспозицию, что он имел дело не с одними дураками, а с людьми, которые могли и его поучить в военном деле. Когда замолк однообразный звук голоса Вейротера, Кутузов открыл глава, как мельник, который просыпается при перерыве усыпительного звука мельничных колес, прислушался к тому, что говорил Ланжерон, и, как будто говоря: «а вы всё еще про эти глупости!» поспешно закрыл глаза и еще ниже опустил голову.
Стараясь как можно язвительнее оскорбить Вейротера в его авторском военном самолюбии, Ланжерон доказывал, что Бонапарте легко может атаковать, вместо того, чтобы быть атакованным, и вследствие того сделать всю эту диспозицию совершенно бесполезною. Вейротер на все возражения отвечал твердой презрительной улыбкой, очевидно вперед приготовленной для всякого возражения, независимо от того, что бы ему ни говорили.
– Ежели бы он мог атаковать нас, то он нынче бы это сделал, – сказал он.
– Вы, стало быть, думаете, что он бессилен, – сказал Ланжерон.
– Много, если у него 40 тысяч войска, – отвечал Вейротер с улыбкой доктора, которому лекарка хочет указать средство лечения.
– В таком случае он идет на свою погибель, ожидая нашей атаки, – с тонкой иронической улыбкой сказал Ланжерон, за подтверждением оглядываясь опять на ближайшего Милорадовича.
Но Милорадович, очевидно, в эту минуту думал менее всего о том, о чем спорили генералы.
– Ma foi, [Ей Богу,] – сказал он, – завтра всё увидим на поле сражения.
Вейротер усмехнулся опять тою улыбкой, которая говорила, что ему смешно и странно встречать возражения от русских генералов и доказывать то, в чем не только он сам слишком хорошо был уверен, но в чем уверены были им государи императоры.
– Неприятель потушил огни, и слышен непрерывный шум в его лагере, – сказал он. – Что это значит? – Или он удаляется, чего одного мы должны бояться, или он переменяет позицию (он усмехнулся). Но даже ежели бы он и занял позицию в Тюрасе, он только избавляет нас от больших хлопот, и распоряжения все, до малейших подробностей, остаются те же.
– Каким же образом?.. – сказал князь Андрей, уже давно выжидавший случая выразить свои сомнения.
Кутузов проснулся, тяжело откашлялся и оглянул генералов.
– Господа, диспозиция на завтра, даже на нынче (потому что уже первый час), не может быть изменена, – сказал он. – Вы ее слышали, и все мы исполним наш долг. А перед сражением нет ничего важнее… (он помолчал) как выспаться хорошенько.
Он сделал вид, что привстает. Генералы откланялись и удалились. Было уже за полночь. Князь Андрей вышел.

Военный совет, на котором князю Андрею не удалось высказать свое мнение, как он надеялся, оставил в нем неясное и тревожное впечатление. Кто был прав: Долгоруков с Вейротером или Кутузов с Ланжероном и др., не одобрявшими план атаки, он не знал. «Но неужели нельзя было Кутузову прямо высказать государю свои мысли? Неужели это не может иначе делаться? Неужели из за придворных и личных соображений должно рисковать десятками тысяч и моей, моей жизнью?» думал он.
«Да, очень может быть, завтра убьют», подумал он. И вдруг, при этой мысли о смерти, целый ряд воспоминаний, самых далеких и самых задушевных, восстал в его воображении; он вспоминал последнее прощание с отцом и женою; он вспоминал первые времена своей любви к ней! Вспомнил о ее беременности, и ему стало жалко и ее и себя, и он в нервично размягченном и взволнованном состоянии вышел из избы, в которой он стоял с Несвицким, и стал ходить перед домом.
Ночь была туманная, и сквозь туман таинственно пробивался лунный свет. «Да, завтра, завтра! – думал он. – Завтра, может быть, всё будет кончено для меня, всех этих воспоминаний не будет более, все эти воспоминания не будут иметь для меня более никакого смысла. Завтра же, может быть, даже наверное, завтра, я это предчувствую, в первый раз мне придется, наконец, показать всё то, что я могу сделать». И ему представилось сражение, потеря его, сосредоточение боя на одном пункте и замешательство всех начальствующих лиц. И вот та счастливая минута, тот Тулон, которого так долго ждал он, наконец, представляется ему. Он твердо и ясно говорит свое мнение и Кутузову, и Вейротеру, и императорам. Все поражены верностью его соображения, но никто не берется исполнить его, и вот он берет полк, дивизию, выговаривает условие, чтобы уже никто не вмешивался в его распоряжения, и ведет свою дивизию к решительному пункту и один одерживает победу. А смерть и страдания? говорит другой голос. Но князь Андрей не отвечает этому голосу и продолжает свои успехи. Диспозиция следующего сражения делается им одним. Он носит звание дежурного по армии при Кутузове, но делает всё он один. Следующее сражение выиграно им одним. Кутузов сменяется, назначается он… Ну, а потом? говорит опять другой голос, а потом, ежели ты десять раз прежде этого не будешь ранен, убит или обманут; ну, а потом что ж? – «Ну, а потом, – отвечает сам себе князь Андрей, – я не знаю, что будет потом, не хочу и не могу знать: но ежели хочу этого, хочу славы, хочу быть известным людям, хочу быть любимым ими, то ведь я не виноват, что я хочу этого, что одного этого я хочу, для одного этого я живу. Да, для одного этого! Я никогда никому не скажу этого, но, Боже мой! что же мне делать, ежели я ничего не люблю, как только славу, любовь людскую. Смерть, раны, потеря семьи, ничто мне не страшно. И как ни дороги, ни милы мне многие люди – отец, сестра, жена, – самые дорогие мне люди, – но, как ни страшно и неестественно это кажется, я всех их отдам сейчас за минуту славы, торжества над людьми, за любовь к себе людей, которых я не знаю и не буду знать, за любовь вот этих людей», подумал он, прислушиваясь к говору на дворе Кутузова. На дворе Кутузова слышались голоса укладывавшихся денщиков; один голос, вероятно, кучера, дразнившего старого Кутузовского повара, которого знал князь Андрей, и которого звали Титом, говорил: «Тит, а Тит?»
– Ну, – отвечал старик.
– Тит, ступай молотить, – говорил шутник.
– Тьфу, ну те к чорту, – раздавался голос, покрываемый хохотом денщиков и слуг.
«И все таки я люблю и дорожу только торжеством над всеми ими, дорожу этой таинственной силой и славой, которая вот тут надо мной носится в этом тумане!»


Ростов в эту ночь был со взводом во фланкёрской цепи, впереди отряда Багратиона. Гусары его попарно были рассыпаны в цепи; сам он ездил верхом по этой линии цепи, стараясь преодолеть сон, непреодолимо клонивший его. Назади его видно было огромное пространство неясно горевших в тумане костров нашей армии; впереди его была туманная темнота. Сколько ни вглядывался Ростов в эту туманную даль, он ничего не видел: то серелось, то как будто чернелось что то; то мелькали как будто огоньки, там, где должен быть неприятель; то ему думалось, что это только в глазах блестит у него. Глаза его закрывались, и в воображении представлялся то государь, то Денисов, то московские воспоминания, и он опять поспешно открывал глаза и близко перед собой он видел голову и уши лошади, на которой он сидел, иногда черные фигуры гусар, когда он в шести шагах наезжал на них, а вдали всё ту же туманную темноту. «Отчего же? очень может быть, – думал Ростов, – что государь, встретив меня, даст поручение, как и всякому офицеру: скажет: „Поезжай, узнай, что там“. Много рассказывали же, как совершенно случайно он узнал так какого то офицера и приблизил к себе. Что, ежели бы он приблизил меня к себе! О, как бы я охранял его, как бы я говорил ему всю правду, как бы я изобличал его обманщиков», и Ростов, для того чтобы живо представить себе свою любовь и преданность государю, представлял себе врага или обманщика немца, которого он с наслаждением не только убивал, но по щекам бил в глазах государя. Вдруг дальний крик разбудил Ростова. Он вздрогнул и открыл глаза.
«Где я? Да, в цепи: лозунг и пароль – дышло, Ольмюц. Экая досада, что эскадрон наш завтра будет в резервах… – подумал он. – Попрошусь в дело. Это, может быть, единственный случай увидеть государя. Да, теперь недолго до смены. Объеду еще раз и, как вернусь, пойду к генералу и попрошу его». Он поправился на седле и тронул лошадь, чтобы еще раз объехать своих гусар. Ему показалось, что было светлей. В левой стороне виднелся пологий освещенный скат и противоположный, черный бугор, казавшийся крутым, как стена. На бугре этом было белое пятно, которого никак не мог понять Ростов: поляна ли это в лесу, освещенная месяцем, или оставшийся снег, или белые дома? Ему показалось даже, что по этому белому пятну зашевелилось что то. «Должно быть, снег – это пятно; пятно – une tache», думал Ростов. «Вот тебе и не таш…»
«Наташа, сестра, черные глаза. На… ташка (Вот удивится, когда я ей скажу, как я увидал государя!) Наташку… ташку возьми…» – «Поправей то, ваше благородие, а то тут кусты», сказал голос гусара, мимо которого, засыпая, проезжал Ростов. Ростов поднял голову, которая опустилась уже до гривы лошади, и остановился подле гусара. Молодой детский сон непреодолимо клонил его. «Да, бишь, что я думал? – не забыть. Как с государем говорить буду? Нет, не то – это завтра. Да, да! На ташку, наступить… тупить нас – кого? Гусаров. А гусары в усы… По Тверской ехал этот гусар с усами, еще я подумал о нем, против самого Гурьева дома… Старик Гурьев… Эх, славный малый Денисов! Да, всё это пустяки. Главное теперь – государь тут. Как он на меня смотрел, и хотелось ему что то сказать, да он не смел… Нет, это я не смел. Да это пустяки, а главное – не забывать, что я нужное то думал, да. На – ташку, нас – тупить, да, да, да. Это хорошо». – И он опять упал головой на шею лошади. Вдруг ему показалось, что в него стреляют. «Что? Что? Что!… Руби! Что?…» заговорил, очнувшись, Ростов. В то мгновение, как он открыл глаза, Ростов услыхал перед собою там, где был неприятель, протяжные крики тысячи голосов. Лошади его и гусара, стоявшего подле него, насторожили уши на эти крики. На том месте, с которого слышались крики, зажегся и потух один огонек, потом другой, и по всей линии французских войск на горе зажглись огни, и крики всё более и более усиливались. Ростов слышал звуки французских слов, но не мог их разобрать. Слишком много гудело голосов. Только слышно было: аааа! и рррр!
– Что это? Ты как думаешь? – обратился Ростов к гусару, стоявшему подле него. – Ведь это у неприятеля?
Гусар ничего не ответил.
– Что ж, ты разве не слышишь? – довольно долго подождав ответа, опять спросил Ростов.
– А кто ё знает, ваше благородие, – неохотно отвечал гусар.
– По месту должно быть неприятель? – опять повторил Ростов.
– Може он, а може, и так, – проговорил гусар, – дело ночное. Ну! шали! – крикнул он на свою лошадь, шевелившуюся под ним.
Лошадь Ростова тоже торопилась, била ногой по мерзлой земле, прислушиваясь к звукам и приглядываясь к огням. Крики голосов всё усиливались и усиливались и слились в общий гул, который могла произвести только несколько тысячная армия. Огни больше и больше распространялись, вероятно, по линии французского лагеря. Ростову уже не хотелось спать. Веселые, торжествующие крики в неприятельской армии возбудительно действовали на него: Vive l'empereur, l'empereur! [Да здравствует император, император!] уже ясно слышалось теперь Ростову.
– А недалеко, – должно быть, за ручьем? – сказал он стоявшему подле него гусару.
Гусар только вздохнул, ничего не отвечая, и прокашлялся сердито. По линии гусар послышался топот ехавшего рысью конного, и из ночного тумана вдруг выросла, представляясь громадным слоном, фигура гусарского унтер офицера.
– Ваше благородие, генералы! – сказал унтер офицер, подъезжая к Ростову.
Ростов, продолжая оглядываться на огни и крики, поехал с унтер офицером навстречу нескольким верховым, ехавшим по линии. Один был на белой лошади. Князь Багратион с князем Долгоруковым и адъютантами выехали посмотреть на странное явление огней и криков в неприятельской армии. Ростов, подъехав к Багратиону, рапортовал ему и присоединился к адъютантам, прислушиваясь к тому, что говорили генералы.
– Поверьте, – говорил князь Долгоруков, обращаясь к Багратиону, – что это больше ничего как хитрость: он отступил и в арьергарде велел зажечь огни и шуметь, чтобы обмануть нас.
– Едва ли, – сказал Багратион, – с вечера я их видел на том бугре; коли ушли, так и оттуда снялись. Г. офицер, – обратился князь Багратион к Ростову, – стоят там еще его фланкёры?
– С вечера стояли, а теперь не могу знать, ваше сиятельство. Прикажите, я съезжу с гусарами, – сказал Ростов.
Багратион остановился и, не отвечая, в тумане старался разглядеть лицо Ростова.
– А что ж, посмотрите, – сказал он, помолчав немного.
– Слушаю с.
Ростов дал шпоры лошади, окликнул унтер офицера Федченку и еще двух гусар, приказал им ехать за собою и рысью поехал под гору по направлению к продолжавшимся крикам. Ростову и жутко и весело было ехать одному с тремя гусарами туда, в эту таинственную и опасную туманную даль, где никто не был прежде его. Багратион закричал ему с горы, чтобы он не ездил дальше ручья, но Ростов сделал вид, как будто не слыхал его слов, и, не останавливаясь, ехал дальше и дальше, беспрестанно обманываясь, принимая кусты за деревья и рытвины за людей и беспрестанно объясняя свои обманы. Спустившись рысью под гору, он уже не видал ни наших, ни неприятельских огней, но громче, яснее слышал крики французов. В лощине он увидал перед собой что то вроде реки, но когда он доехал до нее, он узнал проезженную дорогу. Выехав на дорогу, он придержал лошадь в нерешительности: ехать по ней, или пересечь ее и ехать по черному полю в гору. Ехать по светлевшей в тумане дороге было безопаснее, потому что скорее можно было рассмотреть людей. «Пошел за мной», проговорил он, пересек дорогу и стал подниматься галопом на гору, к тому месту, где с вечера стоял французский пикет.
– Ваше благородие, вот он! – проговорил сзади один из гусар.
И не успел еще Ростов разглядеть что то, вдруг зачерневшееся в тумане, как блеснул огонек, щелкнул выстрел, и пуля, как будто жалуясь на что то, зажужжала высоко в тумане и вылетела из слуха. Другое ружье не выстрелило, но блеснул огонек на полке. Ростов повернул лошадь и галопом поехал назад. Еще раздались в разных промежутках четыре выстрела, и на разные тоны запели пули где то в тумане. Ростов придержал лошадь, повеселевшую так же, как он, от выстрелов, и поехал шагом. «Ну ка еще, ну ка еще!» говорил в его душе какой то веселый голос. Но выстрелов больше не было.
Только подъезжая к Багратиону, Ростов опять пустил свою лошадь в галоп и, держа руку у козырька, подъехал к нему.
Долгоруков всё настаивал на своем мнении, что французы отступили и только для того, чтобы обмануть нас, разложили огни.
– Что же это доказывает? – говорил он в то время, как Ростов подъехал к ним. – Они могли отступить и оставить пикеты.
– Видно, еще не все ушли, князь, – сказал Багратион. – До завтрашнего утра, завтра всё узнаем.
– На горе пикет, ваше сиятельство, всё там же, где был с вечера, – доложил Ростов, нагибаясь вперед, держа руку у козырька и не в силах удержать улыбку веселья, вызванного в нем его поездкой и, главное, звуками пуль.
– Хорошо, хорошо, – сказал Багратион, – благодарю вас, г. офицер.
– Ваше сиятельство, – сказал Ростов, – позвольте вас просить.
– Что такое?
– Завтра эскадрон наш назначен в резервы; позвольте вас просить прикомандировать меня к 1 му эскадрону.
– Как фамилия?
– Граф Ростов.
– А, хорошо. Оставайся при мне ординарцем.
– Ильи Андреича сын? – сказал Долгоруков.
Но Ростов не отвечал ему.
– Так я буду надеяться, ваше сиятельство.
– Я прикажу.
«Завтра, очень может быть, пошлют с каким нибудь приказанием к государю, – подумал он. – Слава Богу».

Крики и огни в неприятельской армии происходили оттого, что в то время, как по войскам читали приказ Наполеона, сам император верхом объезжал свои бивуаки. Солдаты, увидав императора, зажигали пуки соломы и с криками: vive l'empereur! бежали за ним. Приказ Наполеона был следующий:
«Солдаты! Русская армия выходит против вас, чтобы отмстить за австрийскую, ульмскую армию. Это те же баталионы, которые вы разбили при Голлабрунне и которые вы с тех пор преследовали постоянно до этого места. Позиции, которые мы занимаем, – могущественны, и пока они будут итти, чтоб обойти меня справа, они выставят мне фланг! Солдаты! Я сам буду руководить вашими баталионами. Я буду держаться далеко от огня, если вы, с вашей обычной храбростью, внесете в ряды неприятельские беспорядок и смятение; но если победа будет хоть одну минуту сомнительна, вы увидите вашего императора, подвергающегося первым ударам неприятеля, потому что не может быть колебания в победе, особенно в тот день, в который идет речь о чести французской пехоты, которая так необходима для чести своей нации.
Под предлогом увода раненых не расстроивать ряда! Каждый да будет вполне проникнут мыслию, что надо победить этих наемников Англии, воодушевленных такою ненавистью против нашей нации. Эта победа окончит наш поход, и мы можем возвратиться на зимние квартиры, где застанут нас новые французские войска, которые формируются во Франции; и тогда мир, который я заключу, будет достоин моего народа, вас и меня.
Наполеон».


В 5 часов утра еще было совсем темно. Войска центра, резервов и правый фланг Багратиона стояли еще неподвижно; но на левом фланге колонны пехоты, кавалерии и артиллерии, долженствовавшие первые спуститься с высот, для того чтобы атаковать французский правый фланг и отбросить его, по диспозиции, в Богемские горы, уже зашевелились и начали подниматься с своих ночлегов. Дым от костров, в которые бросали всё лишнее, ел глаза. Было холодно и темно. Офицеры торопливо пили чай и завтракали, солдаты пережевывали сухари, отбивали ногами дробь, согреваясь, и стекались против огней, бросая в дрова остатки балаганов, стулья, столы, колеса, кадушки, всё лишнее, что нельзя было увезти с собою. Австрийские колонновожатые сновали между русскими войсками и служили предвестниками выступления. Как только показывался австрийский офицер около стоянки полкового командира, полк начинал шевелиться: солдаты сбегались от костров, прятали в голенища трубочки, мешочки в повозки, разбирали ружья и строились. Офицеры застегивались, надевали шпаги и ранцы и, покрикивая, обходили ряды; обозные и денщики запрягали, укладывали и увязывали повозки. Адъютанты, батальонные и полковые командиры садились верхами, крестились, отдавали последние приказания, наставления и поручения остающимся обозным, и звучал однообразный топот тысячей ног. Колонны двигались, не зная куда и не видя от окружавших людей, от дыма и от усиливающегося тумана ни той местности, из которой они выходили, ни той, в которую они вступали.