Уравнение Паули
Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году. Не путать с основным кинетическим уравнением, также иногда называемым уравнением Паули.
Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы <math>\psi (r,t)</math> (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:
- <math>
\psi (r,t)=\begin{pmatrix} \psi_1 (r,t)\\ \psi_2 (r,t) \end{pmatrix}. </math>
При поворотах координатных осей <math>\psi_1</math> и <math>\psi_2</math> преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение <math>\psi</math> и <math>\psi'</math> имеет вид
- <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math>
Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.
В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом <math> \vec{s} </math> обладает и магнитным моментом, пропорциональным <math> \vec{s} </math>: <math> \vec{ \mu}=g \vec{s} </math> (g-гиромагнитное отношение). Для орбитального момента <math>g={e \over 2mc}</math>, где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: <math>g={e \over mc}</math>. Во внешнем магнитном поле напряжённости <math> \vec{B} </math> магнитный момент обладает потенциальной энергией <math> U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} </math>, добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами <math> \phi </math> и A приводит к уравнению Паули:
- <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math>
где <math> \hat p</math> — оператор импульса, <math>\hat I</math> — единичный оператор, а <math>\hat \sigma</math> пропорционален оператору спина: <math>\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma</math>.
Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид <math> \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)</math>, где <math> \Phi (r,t)</math> — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор <math> \chi= \begin{pmatrix} \chi_1\\ \chi_2 \end{pmatrix} </math> удовлетворяет уравнению
- <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math>
Из этого уравнения следует, что среднее значение спина <math> \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) </math> прецессирует вокруг направления магнитного поля:
- <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math>
Здесь <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> — циклотронная частота, <math> \vec{n} </math> — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.
Напишите отзыв о статье "Уравнение Паули"
Литература
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
- Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
- Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
- Берестецкий, В. Б., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0.
- Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.
См. также
|
Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Уравнение Паули
Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.
– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.
– Это неприятель?… Нет!… Да, смотрите, он… наверное… Что ж это? – послышались голоса.
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.
«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.
Смешанные, всё увеличивающиеся толпы бежали назад к тому месту, где пять минут тому назад войска проходили мимо императоров. Не только трудно было остановить эту толпу, но невозможно было самим не податься назад вместе с толпой.
Болконский только старался не отставать от нее и оглядывался, недоумевая и не в силах понять того, что делалось перед ним. Несвицкий с озлобленным видом, красный и на себя не похожий, кричал Кутузову, что ежели он не уедет сейчас, он будет взят в плен наверное. Кутузов стоял на том же месте и, не отвечая, доставал платок. Из щеки его текла кровь. Князь Андрей протеснился до него.
– Вы ранены? – спросил он, едва удерживая дрожание нижней челюсти.
– Раны не здесь, а вот где! – сказал Кутузов, прижимая платок к раненой щеке и указывая на бегущих. – Остановите их! – крикнул он и в то же время, вероятно убедясь, что невозможно было их остановить, ударил лошадь и поехал вправо.
Вновь нахлынувшая толпа бегущих захватила его с собой и повлекла назад.
Войска бежали такой густой толпой, что, раз попавши в середину толпы, трудно было из нее выбраться. Кто кричал: «Пошел! что замешкался?» Кто тут же, оборачиваясь, стрелял в воздух; кто бил лошадь, на которой ехал сам Кутузов. С величайшим усилием выбравшись из потока толпы влево, Кутузов со свитой, уменьшенной более чем вдвое, поехал на звуки близких орудийных выстрелов. Выбравшись из толпы бегущих, князь Андрей, стараясь не отставать от Кутузова, увидал на спуске горы, в дыму, еще стрелявшую русскую батарею и подбегающих к ней французов. Повыше стояла русская пехота, не двигаясь ни вперед на помощь батарее, ни назад по одному направлению с бегущими. Генерал верхом отделился от этой пехоты и подъехал к Кутузову. Из свиты Кутузова осталось только четыре человека. Все были бледны и молча переглядывались.
– Остановите этих мерзавцев! – задыхаясь, проговорил Кутузов полковому командиру, указывая на бегущих; но в то же мгновение, как будто в наказание за эти слова, как рой птичек, со свистом пролетели пули по полку и свите Кутузова.
Французы атаковали батарею и, увидав Кутузова, выстрелили по нем. С этим залпом полковой командир схватился за ногу; упало несколько солдат, и подпрапорщик, стоявший с знаменем, выпустил его из рук; знамя зашаталось и упало, задержавшись на ружьях соседних солдат.
Солдаты без команды стали стрелять.
– Ооох! – с выражением отчаяния промычал Кутузов и оглянулся. – Болконский, – прошептал он дрожащим от сознания своего старческого бессилия голосом. – Болконский, – прошептал он, указывая на расстроенный батальон и на неприятеля, – что ж это?
