Полупростой модуль

Полупростые модули (вполне приводимые модули) — общеалгебраические модули, которые можно легко восстановить по их частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом. Важный пример полупростого кольца — групповое кольцо конечной группы над полем характеристики ноль. Структура полупростых колец описывается теоремой Веддербёрна — Артина: все такие кольца являются прямыми произведениями колец матриц.

Определение

Приводятся три эквивалентных определения полупростого (вполне приводимого) модуля: модуль M полупростой, если

1. M изоморфен прямой сумме простых модулей (также называемых неприводимыми).
2. M можно разложить в прямую сумму простых подмодулей M.
3. Для каждого N — подмодуля M существует дополнение P, такое что M = N ⊕ P.

Полная приводимость — более сильное условие, чем вполне разложимость: вполне разложимый модуль — это модуль, который раскладывается в прямую сумму неразложимых. Например, кольцо целых чисел является вполне разложимым (это следует из его неразложимости), однако не является вполне приводимым, так как у него имеются подмодули (к примеру, множество чётных чисел).

Свойства

• Если M полупрост и N — его подмодуль, то N и M/N также полупросты.
• Если все <math>M_i</math> — полупростые модули, то и прямая сумма <math>\bigoplus_i M_i</math> полупроста.
• Модуль M является конечнопорождённым и полупростым тогда и только тогда, когда он является артиновым и его радикал нулевой.

Полупростые кольца

Кольцо называется полупростым (слева) если оно полупросто как (левый) модуль над самим собой. Оказывается, что полупростые слева кольца полупросты справа и наоборот, так что можно говорить о полупростых кольцах.

Полупростые кольца можно охарактеризовать в терминах гомологической алгебры: кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда всякая короткая точная последовательность (левых) R-модулей расщепляется. В частности, модуль над полупростым кольцом инъективен и проективен.

Полупростые кольца являются одновременно артиновыми и нётеровыми. Если существует гомоморфизм из поля в полупростое кольцо, оно называется полупростой алгеброй.

Примеры

• Коммутативное полупростое кольцо изоморфно прямому произведению полей.
• Если k — поле и G — конечная группа порядка n, то групповое кольцо k[G] является полупростым тогда и только тогда, когда характеристика поля не делит n. Этот результат известен как теорема Машке и важен в теории представлений групп.

Теорема Веддербёрна — Артина

Теорема Веддербёрна — Артина утверждает, что любое полупростое кольцо изоморфно прямому произведению колец матриц n_i на n_i с элементами в теле D_i, причем числа n_i определены однозначно, и тела — с точностью до изоморфизма. В частности, простое кольцо изоморфно кольцу матриц над телом.

Оригинальный результат Веддербёрна состоял в том, что простое кольцо, являющееся конечномерной простой алгеброй над телом, изоморфно кольцу матриц. Эмиль Артин обобщил теорему на случай полупростых (артиновых) колец.

Примеры случаев, в которых можно применить теорему Веддербёрна — Артина: каждая конечномерная простая алгебра над R является кольцом матриц над R, C или H (кватернионами), каждая конечномерная простая алгебра над С является кольцом матриц над С.

Литература

• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1838439 1838439], ISBN 978-0-387-95325-0 
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.

Отрывок, характеризующий Полупростой модуль

– Где? где? – спросил Пьер.
– Простым глазом видно. Да вот, вот! – Офицер показал рукой на дымы, видневшиеся влево за рекой, и на лице его показалось то строгое и серьезное выражение, которое Пьер видел на многих лицах, встречавшихся ему.
– Ах, это французы! А там?.. – Пьер показал влево на курган, около которого виднелись войска.
– Это наши.
– Ах, наши! А там?.. – Пьер показал на другой далекий курган с большим деревом, подле деревни, видневшейся в ущелье, у которой тоже дымились костры и чернелось что то.
– Это опять он, – сказал офицер. (Это был Шевардинский редут.) – Вчера было наше, а теперь его.
– Так как же наша позиция?
– Позиция? – сказал офицер с улыбкой удовольствия. – Я это могу рассказать вам ясно, потому что я почти все укрепления наши строил. Вот, видите ли, центр наш в Бородине, вот тут. – Он указал на деревню с белой церковью, бывшей впереди. – Тут переправа через Колочу. Вот тут, видите, где еще в низочке ряды скошенного сена лежат, вот тут и мост. Это наш центр. Правый фланг наш вот где (он указал круто направо, далеко в ущелье), там Москва река, и там мы три редута построили очень сильные. Левый фланг… – и тут офицер остановился. – Видите ли, это трудно вам объяснить… Вчера левый фланг наш был вот там, в Шевардине, вон, видите, где дуб; а теперь мы отнесли назад левое крыло, теперь вон, вон – видите деревню и дым? – это Семеновское, да вот здесь, – он указал на курган Раевского. – Только вряд ли будет тут сраженье. Что он перевел сюда войска, это обман; он, верно, обойдет справа от Москвы. Ну, да где бы ни было, многих завтра не досчитаемся! – сказал офицер.
Старый унтер офицер, подошедший к офицеру во время его рассказа, молча ожидал конца речи своего начальника; но в этом месте он, очевидно, недовольный словами офицера, перебил его.
– За турами ехать надо, – сказал он строго.
Офицер как будто смутился, как будто он понял, что можно думать о том, сколь многих не досчитаются завтра, но не следует говорить об этом.
– Ну да, посылай третью роту опять, – поспешно сказал офицер.
– А вы кто же, не из докторов?
– Нет, я так, – отвечал Пьер. И Пьер пошел под гору опять мимо ополченцев.
– Ах, проклятые! – проговорил следовавший за ним офицер, зажимая нос и пробегая мимо работающих.
– Вон они!.. Несут, идут… Вон они… сейчас войдут… – послышались вдруг голоса, и офицеры, солдаты и ополченцы побежали вперед по дороге.
Из под горы от Бородина поднималось церковное шествие. Впереди всех по пыльной дороге стройно шла пехота с снятыми киверами и ружьями, опущенными книзу. Позади пехоты слышалось церковное пение.
Обгоняя Пьера, без шапок бежали навстречу идущим солдаты и ополченцы.
– Матушку несут! Заступницу!.. Иверскую!..
– Смоленскую матушку, – поправил другой.
Ополченцы – и те, которые были в деревне, и те, которые работали на батарее, – побросав лопаты, побежали навстречу церковному шествию. За батальоном, шедшим по пыльной дороге, шли в ризах священники, один старичок в клобуке с причтом и певчпми. За ними солдаты и офицеры несли большую, с черным ликом в окладе, икону. Это была икона, вывезенная из Смоленска и с того времени возимая за армией. За иконой, кругом ее, впереди ее, со всех сторон шли, бежали и кланялись в землю с обнаженными головами толпы военных.
Взойдя на гору, икона остановилась; державшие на полотенцах икону люди переменились, дьячки зажгли вновь кадила, и начался молебен. Жаркие лучи солнца били отвесно сверху; слабый, свежий ветерок играл волосами открытых голов и лентами, которыми была убрана икона; пение негромко раздавалось под открытым небом. Огромная толпа с открытыми головами офицеров, солдат, ополченцев окружала икону. Позади священника и дьячка, на очищенном месте, стояли чиновные люди. Один плешивый генерал с Георгием на шее стоял прямо за спиной священника и, не крестясь (очевидно, пемец), терпеливо дожидался конца молебна, который он считал нужным выслушать, вероятно, для возбуждения патриотизма русского народа. Другой генерал стоял в воинственной позе и потряхивал рукой перед грудью, оглядываясь вокруг себя. Между этим чиновным кружком Пьер, стоявший в толпе мужиков, узнал некоторых знакомых; но он не смотрел на них: все внимание его было поглощено серьезным выражением лиц в этой толпе солдат и оиолченцев, однообразно жадно смотревших на икону. Как только уставшие дьячки (певшие двадцатый молебен) начинали лениво и привычно петь: «Спаси от бед рабы твоя, богородице», и священник и дьякон подхватывали: «Яко вси по бозе к тебе прибегаем, яко нерушимой стене и предстательству», – на всех лицах вспыхивало опять то же выражение сознания торжественности наступающей минуты, которое он видел под горой в Можайске и урывками на многих и многих лицах, встреченных им в это утро; и чаще опускались головы, встряхивались волоса и слышались вздохи и удары крестов по грудям.