Двумерное нормальное распределение

Двумерный случайный вектор <math>\xi=(\xi_1, \xi_2)</math> имеет нормальное распределение, если его плотность равна

<math>

f(x) = \frac{1}{2\pi\sqrt{\mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\}, </math> где

<math>

m=(\mathbf{E}\xi_1, \mathbf{E}\xi_2) </math> — вектор математических ожиданий,

<math>

C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\mathrm{Cov}_{12}\\ \mathrm{Cov}_{21}&\mathrm{Cov}_{22} \end{matrix} \right) </math> — ковариационная матрица.

Плотность двумерного нормального распределения записывается также в виде

<math>

f(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \times </math>

<math>

\times \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x_1-m_1)^2}{\sigma_1^2}-\rho \frac{2(x_1-m_1)(x_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(x_2-m_2)^2}{\sigma_2^2}\right] \right\}, </math> где

<math>

\mathrm{det} C = \mathrm{Cov}_{11} \mathrm{Cov}_{22}-\mathrm{Cov}_{12}^2 = \sigma_1^2\sigma_2^2 (1-\rho^2), </math> — определитель ковариационной матрицы,

<math>

\rho = \frac{\mathrm{Cov}_{12}}{\sigma_1\sigma_2} = \frac{\mathbf{E}(\xi_1-m_1)(\xi_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2} </math> — коэффициент корреляции случайных величин <math>\xi_1</math> и <math>\xi_2</math>.

Многомерное нормальное распределение

Распределение случайного вектора <math>\xi=(\xi_1, \ldots, \xi_k)</math> в <math>\mathbb{R}^k</math> или совместное распределение случайных величин <math>\xi_1, \ldots, \xi_k</math> называется многомерным нормальным, если при любом фиксированном <math>a \in \mathbb{R}^k</math> скалярное произведение

<math>

(a,\xi) = \sum_{i=1}^k a_i\xi_i </math> имеет одномерное нормальное распределение (в том числе и вырожденное одномерное: <math>(a,\xi)=\mathrm{const}</math>).

Многомерный случайный вектор <math>\xi=(\xi_1, \ldots, \xi_k)</math> имеет нормальное распределение, если его плотность равна

<math>

f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \ \mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\}, </math> где

<math>

m=(\mathbf{E}\xi_1, \ldots, \mathbf{E}\xi_k) </math> — вектор математических ожиданий,

<math>

C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\ldots&\mathrm{Cov}_{1k}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\ \mathrm{Cov}_{k1}&\ldots&\mathrm{Cov}_{kk} \end{matrix} \right) </math> — ковариационная матрица.

См.также

• Нормальное распределение

Отрывок, характеризующий Двумерное нормальное распределение

M lle Bourienne, несмотря на беспокойные, бросаемые на нее взгляды княжны Марьи, желавшей с глазу на глаз поговорить с Наташей, не выходила из комнаты и держала твердо разговор о московских удовольствиях и театрах. Наташа была оскорблена замешательством, происшедшим в передней, беспокойством своего отца и неестественным тоном княжны, которая – ей казалось – делала милость, принимая ее. И потом всё ей было неприятно. Княжна Марья ей не нравилась. Она казалась ей очень дурной собою, притворной и сухою. Наташа вдруг нравственно съёжилась и приняла невольно такой небрежный тон, который еще более отталкивал от нее княжну Марью. После пяти минут тяжелого, притворного разговора, послышались приближающиеся быстрые шаги в туфлях. Лицо княжны Марьи выразило испуг, дверь комнаты отворилась и вошел князь в белом колпаке и халате.
– Ах, сударыня, – заговорил он, – сударыня, графиня… графиня Ростова, коли не ошибаюсь… прошу извинить, извинить… не знал, сударыня. Видит Бог не знал, что вы удостоили нас своим посещением, к дочери зашел в таком костюме. Извинить прошу… видит Бог не знал, – повторил он так не натурально, ударяя на слово Бог и так неприятно, что княжна Марья стояла, опустив глаза, не смея взглянуть ни на отца, ни на Наташу. Наташа, встав и присев, тоже не знала, что ей делать. Одна m lle Bourienne приятно улыбалась.
– Прошу извинить, прошу извинить! Видит Бог не знал, – пробурчал старик и, осмотрев с головы до ног Наташу, вышел. M lle Bourienne первая нашлась после этого появления и начала разговор про нездоровье князя. Наташа и княжна Марья молча смотрели друг на друга, и чем дольше они молча смотрели друг на друга, не высказывая того, что им нужно было высказать, тем недоброжелательнее они думали друг о друге.